Fatores Multiplicativos nas Porcentagens

# Fatores Multiplicativos nas Porcentagens [Sequence 4] Nas páginas anteriores, você aprendeu o que é porcentagem, suas formas equivalentes de representação e como calcular aumentos e descontos com as fórmulas Valor final = Valor inicial × (1 + p/100) e Valor final = Valor inicial × (1 − p/100). Agora, vamos nomear e aprofundar o núcleo dessas fórmulas: o número que multiplica o valor original chama-se **fator multiplicativo**. Compreender esse conceito transforma o cálculo em um único passo direto e revela a natureza multiplicativa das porcentagens, o que faz toda a diferença quando os problemas se tornam mais complexos.[[1]] ## O que é o fator multiplicativo Um **fator multiplicativo** é um número decimal que, ao ser multiplicado pelo valor original, fornece diretamente o valor final após um aumento ou desconto percentual[[1]]. Ele resulta do seguinte raciocínio: se o valor original representa 100%, o valor final após a variação representa uma porcentagem diferente desse original. - **Aumento de p%:** o valor final corresponde a (100 + p)% do original. O fator multiplicativo é **1 + p/100**. - **Desconto de p%:** o valor final corresponde a (100 − p)% do original. O fator multiplicativo é **1 − p/100**. O número 1 representa o valor inteiro, e a fração decimal representa a variação. Ao somar ou subtrair essa fração à unidade, você obtém um único número que transforma o valor original diretamente no valor final. **Exemplos de fatores multiplicativos:** | Variação | Raciocínio | Fator multiplicativo | |----------|-----------|---------------------| | Aumento de 10% | 100% + 10% = 110% → 1,10 | **1,10** | | Aumento de 25% | 100% + 25% = 125% → 1,25 | **1,25** | | Desconto de 15% | 100% − 15% = 85% → 0,85 | **0,85** | | Desconto de 30% | 100% − 30% = 70% → 0,70 | **0,70** | Uma forma prática de verificar o resultado: se o valor final for maior que o original, o fator é de aumento (maior que 1); se for menor, é de desconto (menor que 1)[[1]]. **Images:** - [PLOT] Diagrama de reta numérica horizontal com o ponto 0 à esquerda, o ponto 1 no centro (rotulado "valor original = 100%") e setas apontando para a direita (fator > 1, "aumento") e para a esquerda (fator < 1, "desconto"), com exemplos 0,70 e 1,25 posicionados sobre a reta | fator-multiplicativo-reta.png | 16:9 ## Como calcular com o fator multiplicativo O procedimento para usar o fator multiplicativo é direto[[1]]: **Passo 1 — Identifique a variação:** a situação envolve aumento ou desconto? Qual é a taxa percentual? **Passo 2 — Calcule o fator:** para aumento, some 1 à fração decimal da taxa (1 + p/100); para desconto, subtraia da unidade (1 − p/100). **Passo 3 — Multiplique:** valor final = valor original × fator multiplicativo. Esse processo resume em uma única multiplicação o que, pela abordagem tradicional, exigiria dois passos: calcular o valor da variação e depois somar ou subtrair. ### Exemplo resolvido 1 Uma peça de roupa custa R$ 120,00. A loja anuncia um desconto de 25%. Qual é o preço final da peça? Um desconto de 25% significa que o comprador pagará 100% − 25% = 75% do preço original. O fator multiplicativo correspondente a 75% é 0,75. Preço final = 120 × 0,75 = **R$ 90,00** Perceba que, com o fator multiplicativo, chegamos ao resultado em um único passo: multiplicamos o valor original pelo fator e já obtemos o preço final, sem precisar calcular o desconto separadamente para depois subtrair. ### Exemplo resolvido 2 O salário de uma funcionária era R$ 2.000,00 e recebeu um aumento de 15%. Qual é o novo salário? Um aumento de 15% significa que o novo valor corresponde a 100% + 15% = 115% do salário original. O fator multiplicativo correspondente é 1,15. Novo salário = 2.000 × 1,15 = **R$ 2.300,00** O fator multiplicativo para aumentos é sempre maior do que 1; para descontos, é sempre menor do que 1. Esse raciocínio ajuda a verificar se o resultado faz sentido antes mesmo de calcular. **Images:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/b48e6b242ef7755b02267c9586bfd7cc.jpg — Homem usando calculadora, visto de cima, em mesa branca | Attribution: Fonte: KamranAydinov - Freepik [chapter-section: Para refletir] Quando uma loja anuncia "30% de desconto", está dizendo que você pagará apenas 70% do preço original. O fator 0,70 carrega essa informação de modo completo. Em que momentos do seu cotidiano essa capacidade de interpretar porcentagens poderia ajudá-lo a tomar decisões mais conscientes como consumidor? [INTERACTIVE: a1-mm | Acesse o mapa mental interativo sobre fatores multiplicativos em porcentagens na plataforma Teachy] [Sequence 5] ## Na prática **[I1]** O gerente de uma loja de móveis resolveu fazer uma liquidação de seus produtos, então multiplicou o preço de todos os produtos por 0,68. Isso equivale a dizer que o gerente ofereceu um desconto de A) $$32 \%$$. B) $$3,2 \%$$. C) $$68 \%$$. D) $$132 \%$$. E) $$168 \%$$. **Resposta:** A **Comentário:** Multiplicar por 0,68 significa que o novo preço corresponde a 68% do original. O desconto é $$100\% - 68\% = 32\%$$. O fator multiplicativo 0,68 já "embute" o desconto: basta lembrar que fator = 1 − taxa de desconto. (Fonte: CMCG) --- **[I2]** Em setembro, um comerciante colocou o seguinte cartaz em sua loja: "Em outubro, todos os produtos com 30% de desconto." Porém, ao abrir a loja no dia primeiro de outubro, esse comerciante havia remarcado os preços de todos os seus produtos, aumentando-os em 40%. Pode-se, então, afirmar que, no mês de outubro, o preço de uma mercadoria qualquer estava, em relação ao preço de setembro: A) $$10\%$$ mais barato. B) $$12\%$$ mais barato. C) $$8\%$$ mais caro. D) $$2\%$$ mais barato. E) $$10\%$$ mais caro. **Resposta:** D **Comentário:** Chamando o preço de setembro de P, o aumento de 40% gera fator 1,40; o desconto de 30% gera fator 0,70. Preço final = P × 1,40 × 0,70 = 0,98P. O preço ficou 2% mais barato. Perceba que aumentar 40% e descontar 30% não "se cancela": os fatores são multiplicados, não somados. (Fonte: CMRJ) --- **[P1]** Uma loja de eletrônicos está vendendo um notebook que custava R$ 3.500,00. No Dia do Consumidor, a loja anuncia 20% de desconto. Escreva o fator multiplicativo correspondente a esse desconto e calcule o preço final do notebook. **Resposta esperada:** O desconto de 20% resulta em um fator multiplicativo de 1 − 0,20 = 0,80. Preço final = 3.500 × 0,80 = R$ 2.800,00. --- **[P2]** Uma padaria reajustou o preço do pão de queijo em 8%. Se o preço anterior era R$ 0,50 por unidade, qual é o novo preço? Escreva o fator multiplicativo utilizado no cálculo. **Resposta esperada:** Fator multiplicativo = 1 + 0,08 = 1,08. Novo preço = 0,50 × 1,08 = R$ 0,54. --- [Sequence 6] ## Exercícios **[I3]** Em setembro, um comerciante colocou o seguinte cartaz em sua loja: *"Em outubro, compras à vista terão $$40 \%$$ de desconto no valor total."* Porém, ao abrir a loja no dia primeiro de outubro, esse comerciante havia remarcado os preços de todos os seus produtos, aumentando-os em $$60 \%$$. Qual a variação no preço à vista de uma mercadoria qualquer no mês de outubro em relação ao preço de setembro? A) $$4 \%$$ mais barato. B) $$20 \%$$ mais barato. C) $$24 \%$$ mais caro. D) $$4 \%$$ mais caro. E) $$20 \%$$ mais caro. **Resposta:** A **Comentário:** Preço original P. Após aumento de $$60\%$$: fator 1,60, resultando em $$1,60P$$. Após desconto de $$40\%$$: fator 0,60, resultando em $$1,60P \times 0,60 = 0,96P$$. O preço final é $$0,96P$$, ou seja, $$4\%$$ mais barato que setembro. Isso acontece porque os fatores se multiplicam: $$1,60 \times 0,60 = 0,96$$, e não 1 como seria se os efeitos se cancelassem. (Fonte: CMC) --- **[P3]** O preço $$\mathbf{p}$$ de determinado produto aumentou $$10 \%$$. Após esse aumento, um comprador obteve desconto de $$10\%$$ no novo preço. Esse comprador pagou: A) $$0,97 \mathbf{p}$$ B) $$0,98 \mathbf{p}$$ C) $$0,99 \mathbf{p}$$ D) $$\mathbf{p}$$ E) $$1,01 \mathbf{p}$$ **Resposta:** C **Comentário:** O aumento de $$10\%$$ aplica o fator 1,10: novo preço = $$1,10p$$. O desconto de $$10\%$$ sobre esse novo preço aplica o fator 0,90: preço final = $$1,10p \times 0,90 = 0,99p$$. O comprador pagou menos do que o preço original, mas não pagou exatamente p. Aumentar e depois descontar o mesmo percentual não retorna ao valor inicial, pois a base muda a cada operação. (Fonte: IFES) --- **[P4]** Uma cooperativa de agricultores do interior de Minas Gerais vende queijo artesanal a R$ 45,00 o quilo. Em época de safra, o preço cai 12%. Fora da safra, o preço sobe 18% em relação ao valor de safra. a) Calcule o preço do queijo durante a safra, usando o fator multiplicativo correspondente. b) Calcule o preço do queijo fora da safra, usando o fator multiplicativo sobre o preço de safra. c) O preço fora da safra é maior, menor ou igual ao preço original de R$ 45,00? Justifique sua resposta usando os fatores multiplicativos. **Resposta esperada:** a) Fator de desconto de 12%: 1 − 0,12 = 0,88. Preço na safra = 45 × 0,88 = R$ 39,60. b) Fator de aumento de 18%: 1 + 0,18 = 1,18. Preço fora da safra = 39,60 × 1,18 = R$ 46,73 (arredondado). c) O preço fora da safra (R$ 46,73) é maior do que o original (R$ 45,00). O fator do primeiro passo é 0,88 e o do segundo é 1,18; o produto 0,88 × 1,18 = 1,0384 representa uma elevação de aproximadamente 3,84% em relação ao preço original. Isso ocorre porque os percentuais incidem sobre bases diferentes em cada etapa. --- **[D1]** Leia a situação e reflita: Yasmin descobriu que a bolsa escolar de sua amiga Rebeca recebeu um "aumento" de 20% no início do ano, mas que, em junho, houve um "desconto" de 20% para reequilibrar o orçamento da escola. A diretora afirmou: *"Não se preocupem — o valor voltou ao que era antes."* Usando fatores multiplicativos, verifique se a afirmação da diretora está correta. Explique por escrito o que você encontrou e por que o resultado te parece justo ou injusto para as famílias que dependem dessa bolsa. **Resposta esperada:** Fator do aumento de 20%: 1,20. Fator do desconto de 20%: 0,80. Produto: 1,20 × 0,80 = 0,96. O valor final é apenas 96% do original, uma redução de 4%. A afirmação da diretora está incorreta: o "desconto" incidiu sobre um valor maior (já aumentado), e por isso o resultado é menor do que o ponto de partida. A resposta reflexiva é aberta: o estudante pode argumentar que a redução prejudica famílias que organizaram seu orçamento contando com o valor original, ou que o erro foi involuntário e merece correção. O importante é que o raciocínio matemático fundamente a posição. [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder a questão 4 na plataforma Teachy e receber correção com comentários] **Images:** - [PLOT] Infográfico com dois caminhos a partir de R$ 100: no caminho superior, fator 1,20 leva a R$ 120 e depois fator 0,80 leva a R$ 96; no caminho inferior, fator 0,80 leva a R$ 80 e depois fator 1,20 leva a R$ 96. Ambos os caminhos chegam ao mesmo resultado | fatores-multiplicativos-combinados.png | 4:3