Gráfico de Linha e Ogiva

[Sequence 4] Eu já mostrei a você, nas aulas anteriores, como o gráfico de setores revela as partes de um todo e como o histograma organiza dados agrupados em classes. Agora, vamos investigar juntos duas ferramentas que respondem perguntas diferentes: o **gráfico de linha** e a **ogiva**. Em Hogwarts, aprendi que cada tipo de magia serve a um propósito específico — e com os gráficos, acontece exatamente o mesmo. ## Gráfico de Linha: mostrando a evolução dos dados O gráfico de linha é ideal quando os dados têm uma sequência ordenada, especialmente ao longo do tempo. Cada valor observado é marcado como um ponto no plano cartesiano, e os pontos consecutivos são unidos por segmentos de reta, formando uma linha contínua que revela tendências e variações. Ele pode representar tanto a **frequência absoluta** — o número bruto de ocorrências em cada período — quanto a **frequência relativa** — a proporção de cada categoria em relação ao total, geralmente expressa em porcentagem, útil para comparar pesquisas de tamanhos diferentes sem que o número de participantes distorça a análise. Por exemplo, imagine que uma escola pública registrou o número de alunos matriculados ao longo de cinco anos. No eixo horizontal colocamos os anos; no eixo vertical, o número de alunos. Cada par (ano, nº de alunos) vira um ponto, e ligamos esses pontos em sequência. A linha resultante mostra imediatamente se as matrículas subiram, caíram ou oscilaram. Em resumo, use o gráfico de linha quando quiser visualizar como um valor **evolui** ao longo de uma sequência ordenada. **Images:** - PLOT: Gráfico de linha com frequência absoluta mostrando o número de alunos matriculados em uma escola de 2019 a 2023, com os valores: 2019→320, 2020→295, 2021→310, 2022→340, 2023→375. Eixo x: "Ano" (2019 a 2023), eixo y: "Número de alunos" (250 a 400). Pontos marcados e unidos por segmentos de reta. Título: "Matrículas na Escola Municipal — 2019 a 2023". | grafico-linha-matriculas.png | 4:3 [chapter-section: Zoom] O gráfico de linha com frequência relativa e o gráfico de linha com frequência absoluta representam os mesmos dados em escalas diferentes. Se você trocasse o eixo *y* de um pelo do outro, a forma da curva mudaria? Por quê? ## Frequência Acumulada e a Ogiva Frequência absoluta e relativa medem **quantos casos** ou **qual proporção** pertencem a cada categoria. Mas e quando a pergunta é "quantos chegaram *até* aqui"? Para isso, existe a **frequência acumulada**: a soma de todas as frequências absolutas da primeira classe até a classe atual, inclusive. Como se fosse um feitiço que vai acumulando força a cada passo, ela só cresce — nunca diminui. Veja com um exemplo. Uma pesquisa registrou as notas de 40 alunos em uma prova: | Intervalo de notas | Freq. absoluta | Freq. acumulada | |-------------------|----------------|-----------------| | 0 a 2 | 3 | 3 | | 2 a 4 | 7 | 10 | | 4 a 6 | 12 | 22 | | 6 a 8 | 13 | 35 | | 8 a 10 | 5 | 40 | A frequência acumulada da classe "4 a 6" é 22, porque 3 + 7 + 12 = 22. Isso responde: "Quantos alunos tiraram nota abaixo de 6?" — e é exatamente esse tipo de pergunta que a **ogiva** foi feita para responder visualmente. A **ogiva** (polígono de frequências acumuladas) é um gráfico de linha construído a partir das frequências acumuladas. Para criá-la, seguimos estes passos: **Passo 1:** Calcule a frequência acumulada de cada classe na tabela. **Passo 2:** Marque o ponto inicial: o limite inferior da primeira classe com frequência acumulada zero. **Passo 3:** Para cada classe, marque o ponto cujo *x* é o **limite superior** da classe e cujo *y* é a frequência acumulada correspondente. **Passo 4:** Una todos os pontos com segmentos de reta em ordem crescente. O resultado é uma curva que sempre sobe (ou fica horizontal) — nunca desce. Se um trecho da ogiva descesse, isso indicaria erro nos cálculos. Em resumo, a ogiva transforma a tabela de frequências acumuladas em uma imagem que permite responder, de relance, perguntas do tipo "quantos chegaram até este valor?". **Images:** - PLOT: Ogiva com frequência acumulada das notas de 40 alunos, com os pontos: (0,0), (2,3), (4,10), (6,22), (8,35), (10,40). Eixo x: "Nota" (0 a 10), eixo y: "Frequência acumulada" (0 a 40). Pontos marcados como círculos e unidos por segmentos de reta. Título: "Ogiva das Notas de Matemática — 40 alunos". | ogiva-notas.png | 4:3 [chapter-section: Comparando...] O gráfico de linha e a ogiva parecem iguais à primeira vista — ambos ligam pontos com retas. Mas o que cada um mostra é diferente: o gráfico de linha representa a frequência de **cada classe separadamente**, revelando onde os dados se concentram; a ogiva representa a frequência **acumulada até aquela classe**, respondendo "quantos chegaram até aqui?". Por isso, a ogiva sempre começa em zero e nunca decresce, enquanto um gráfico de linha comum pode subir e descer livremente. [INTERACTIVE: a1-mm | Explore o mapa mental interativo sobre gráfico de linha e ogiva na plataforma Teachy para visualizar as diferenças entre frequência absoluta, relativa e acumulada] [Sequence 5] ## Na prática Agora é a sua vez de colocar esses conceitos em ação. Vamos começar identificando o gráfico adequado para depois construir e avaliar representações. [P1] Observe a tabela abaixo, que apresenta o número de alunos matriculados em uma escola pública ao longo de cinco anos: | Ano | Número de alunos | |-----|-----------------| | 2019 | 320 | | 2020 | 295 | | 2021 | 310 | | 2022 | 340 | | 2023 | 375 | Identifique qual tipo de gráfico é mais adequado para representar esses dados e justifique sua escolha em uma frase. [P2] Uma pesquisa registrou as notas de 40 alunos em uma prova de Matemática, organizadas na tabela de frequências abaixo: | Intervalo de notas | Frequência absoluta | Frequência acumulada | |-------------------|--------------------|--------------------| | 0 a 2 | 3 | 3 | | 2 a 4 | 7 | 10 | | 4 a 6 | 12 | 22 | | 6 a 8 | 13 | 35 | | 8 a 10 | 5 | 40 | Represente as frequências acumuladas em um esboço de ogiva, marcando os pontos no plano cartesiano e unindo-os com segmentos de reta. Indique os valores nos eixos. *Dica: No eixo horizontal, coloque os limites superiores dos intervalos; no eixo vertical, coloque os valores de frequência acumulada. O primeiro ponto parte do limite inferior do primeiro intervalo com frequência acumulada zero.* [P3] Maria afirmou: "O gráfico de linha e a ogiva são sempre iguais, porque os dois usam pontos ligados por retas." Avalie se a afirmação de Maria está correta ou incorreta. *Dica: Pense na diferença entre frequência absoluta/relativa e frequência acumulada — o que cada uma delas mede?* Em resumo, o segredo para não confundir os dois gráficos está em perguntar: o eixo vertical mostra a frequência de **cada** classe ou a frequência **até** aquela classe? [Sequence 6] ## Exercícios Chegou a hora de mostrar o que você aprendeu, aplicando os conceitos em situações novas. [I1] *O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realiza pesquisas periódicas sobre o rendimento mensal das famílias brasileiras. Em uma edição, foram coletados dados de 200 famílias de um município e organizados em intervalos de salário mínimo (SM), conforme a tabela a seguir:* | Renda familiar (SM) | Nº de famílias | Freq. acumulada | |--------------------|---------------|----------------| | Até 1 SM | 40 | 40 | | 1 a 2 SM | 70 | 110 | | 2 a 3 SM | 50 | 160 | | 3 a 5 SM | 25 | 185 | | Mais de 5 SM | 15 | 200 | *Dois pesquisadores discutem qual gráfico usar para apresentar os resultados:* - *Pesquisadora A quer mostrar em que faixa de renda está concentrada a maior parte das famílias.* - *Pesquisador B quer responder: "Quantas famílias têm renda de até 3 salários mínimos?"* Considerando as finalidades de cada pesquisador, assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, o gráfico mais adequado para A e para B. (A) Gráfico de setores para A; gráfico de barras para B. (B) Gráfico de linha com frequência absoluta para A; ogiva para B. (C) Ogiva para A; gráfico de linha com frequência relativa para B. (D) Histograma para A; gráfico de setores para B. (E) Gráfico de linha com frequência relativa para A; histograma para B. **Gabarito:** B [I2] *Uma turma do 8º ano realizou uma pesquisa sobre o tempo gasto, em minutos, que os colegas levam para chegar à escola. Os dados foram organizados na tabela abaixo:* | Tempo (min) | Freq. absoluta | Freq. relativa | Freq. acumulada | |------------|---------------|---------------|----------------| | 0 a 10 | 5 | 16,7% | 5 | | 10 a 20 | 9 | 30,0% | 14 | | 20 a 30 | 10 | 33,3% | 24 | | 30 a 40 | 4 | 13,3% | 28 | | 40 a 50 | 2 | 6,7% | 30 | | **Total** | **30** | **100%** | — | *Um aluno quer saber: "Qual a proporção de estudantes que levam até 20 minutos para chegar à escola?" Outro quer saber: "Quantos estudantes, no total acumulado, levam até 30 minutos?"* a) Identifique qual coluna da tabela cada aluno deve consultar para responder à sua pergunta. b) Calcule as respostas de cada aluno com base na tabela. [LINES: 6] [I3] *O gráfico abaixo representa a ogiva de uma pesquisa feita em uma escola sobre o número de horas semanais que os alunos dedicam à leitura. O eixo horizontal indica as horas e o eixo vertical indica a frequência acumulada. A ogiva parte do ponto (0, 0) e passa pelos pontos (2, 10), (4, 25), (6, 40), (8, 50), atingindo o total de 50 alunos.* **Images:** - PLOT: Ogiva da pesquisa de horas de leitura semanal, com os pontos: (0,0), (2,10), (4,25), (6,40), (8,50). Eixo x: "Horas semanais de leitura" (0 a 8), eixo y: "Frequência acumulada" (0 a 50). Pontos marcados e unidos por segmentos de reta. Título: "Horas Semanais de Leitura — Ogiva". | ogiva-leitura.png | 4:3 a) Explique o que representa o ponto (4, 25) nessa ogiva. b) Avalie se seria mais adequado usar um gráfico de linha com frequência absoluta ou a ogiva para responder à pergunta: "Mais da metade dos alunos lê pelo menos 4 horas por semana?" Justifique sua escolha. [LINES: 8] Em resumo, a escolha entre gráfico de linha e ogiva depende sempre da pergunta que você quer responder: evolução por classe ou acumulação até determinado ponto. [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática]