Porcentagens

# Porcentagens [Sequence 1] Porcentagem é uma razão de denominador 100 utilizada para expressar variações e relações relativas entre grandezas. Este capítulo formaliza o conceito, estabelece o procedimento de cálculo de *p%* de um valor e apresenta os casos de aumento e desconto percentual com identificação correta do valor de referência. [Sequence 2] **Pré-requisito:** razões e frações equivalentes. Uma razão *a*:*b* é a comparação entre duas grandezas; porcentagem é o caso particular em que *b* = 100. [Sequence 4] ## Definição e representações equivalentes > **Porcentagem é uma razão cujo denominador é 100.** Dado um número real *p*, a notação *p%* representa a fração *p*/100, equivalentemente o número decimal *p* ÷ 100.[[1]][[4]] Dessa definição decorrem três representações equivalentes: - **Percentual:** *p%* (ex.: 35%) - **Fracionária centesimal:** *p*/100 (ex.: 35/100) - **Decimal:** *p* ÷ 100 (ex.: 0,35) A conversão da forma percentual para a decimal — dividindo por 100 — é o passo operacional que antecede qualquer cálculo.[[4]] **Images:** - [PLOT] Diagrama com três nós circulares conectados por setas bidirecionais: nó "35%" à esquerda, nó "35/100" acima, nó "0,35" à direita. Setas rotuladas "÷ 100" (de percentual para decimal) e "× 100" (de decimal para percentual). Paleta neutra em tons de azul (#4772B3) e cinza, bordas definidas, sem elementos decorativos. Estilo de livro-texto de matemática. | porcentagem-tres-representacoes | 4:3 **Exemplo 1.** Converta 7,5% para fração centesimal e para decimal. - Fração centesimal: 7,5% = 7,5/100 = 75/1000 = 3/40 - Decimal: 7,5 ÷ 100 = 0,075 **Exemplo 2.** Expresse 3/8 como porcentagem. - Divisão: 3 ÷ 8 = 0,375 - Conversão: 0,375 × 100 = 37,5% Portanto, 3/8 = 37,5%. [INTERACTIVE: a1-mm | Mapa mental interativo com a síntese formal das representações equivalentes de porcentagem e sua conversão para decimal e fração.] ## Cálculo de *p%* de um valor A relação fundamental que governa o cálculo percentual é:[[4]][[5]] > **Parte = (p/100) × Todo** Para calcular *p%* de um valor *V*, multiplica-se *V* pelo decimal correspondente a *p%*: > *p%* de *V* = (*p*/100) × *V* O quociente *p*/100 é a **taxa percentual** na forma decimal. A operação é sempre uma multiplicação. **Images:** - [PLOT] Diagrama de cálculo percentual: retângulo dividido em duas partes rotuladas "Parte = (p/100) × V" (menor, em azul preenchido) e "Resto = V − Parte" (maior, em cinza). Abaixo do retângulo, equação "p% de V = (p ÷ 100) × V". Paleta neutra em tons de azul (#4772B3) e cinza, bordas definidas, estilo de livro-texto de matemática. | diagrama-calculo-parte-todo | 4:3 **Exemplo 3.** Calcule 18% de 450. - Taxa decimal: 18% = 0,18 - Cálculo: 0,18 × 450 = **81** Logo, 18% de 450 é igual a 81. **Exemplo 4.** Em uma escola com 800 alunos, 35% participam de atividades extracurriculares. Determine quantos alunos participam. - Taxa decimal: 35% = 0,35 - Cálculo: 0,35 × 800 = **280** Portanto, 280 alunos participam de atividades extracurriculares. [chapter-section: Zoom 🔬] **ZOOM** **A base é sempre o referencial da porcentagem.** Um erro frequente ocorre quando o aluno aplica a taxa percentual sobre o valor errado. Considere: "30 é quantos por cento de 150?". O valor de referência (base) é 150. O cálculo correto é 30/150 = 0,2 = 20%. Se o aluno inverte e calcula 150/30, obtém 500% — resultado que indica a parte supera o todo, contradizendo o enunciado. Identifique *qual* grandeza é o "todo" antes de calcular. ## Variação percentual: aumento e desconto Quando um valor *V* sofre um **aumento** de *i%*, o novo valor *V'* é: > *V'* = *V* × **(1 + *i*/100)** Quando *V* sofre um **desconto** de *i%*, o novo valor é: > *V'* = *V* × **(1 − *i*/100)** Os fatores (1 + *i*/100) e (1 − *i*/100) são, respectivamente, o **fator de aumento** e o **fator de desconto**. Ambos têm a mesma estrutura multiplicativa — a diferença está no sinal do segundo termo.[[4]] **Images:** - [GENERATE] Diagrama acadêmico com dois fluxos paralelos sobre fundo branco. Fluxo superior: caixa "V" → seta para direita rotulada "× (1 + i/100)" → caixa "V' > V" com rótulo "AUMENTO". Fluxo inferior: caixa "V" → seta para direita rotulada "× (1 − i/100)" → caixa "V' < V" com rótulo "DESCONTO". Paleta de tons de azul (#4772B3) e cinza, tipografia clara, bordas definidas, sem elementos decorativos. Registro de livro-texto de matemática. | diagrama-aumento-desconto | 16:9 **Exemplo 5.** Um produto que custava R\$ 360,00 recebeu um aumento de 25%. Determine o novo preço. - Fator de aumento: 1 + 25/100 = **1,25** - Cálculo: 360 × 1,25 = **R\$ 450,00** **Exemplo 6.** Uma mercadoria de R\$ 520,00 está com desconto de 15%. Qual é o preço com desconto? - Fator de desconto: 1 − 15/100 = **0,85** - Cálculo: 520 × 0,85 = **R\$ 442,00** [chapter-section: Comparando... 🆚] **COMPARANDO** **Fator de aumento e fator de desconto** compartilham a mesma estrutura algébrica. A distinção opera no sinal do segundo termo — positivo para acréscimo, negativo para redução — e determina se o fator resultante é maior ou menor que 1. Um fator maior que 1 indica aumento; um fator entre 0 e 1, desconto. Quando *i* = 0, ambos os fatores valem 1 e o valor permanece inalterado. Quando *i* = 100, o fator de aumento vale 2 (dobra o valor) e o de desconto vale 0 (anula o valor). A verificação do valor numérico do fator permite identificar imediatamente o tipo de variação antes mesmo de aplicá-lo. **Images:** - [PLOT] Gráfico de linhas com eixo horizontal "i (%)" de 0 a 100 e eixo vertical "Fator" de 0 a 2. Linha azul crescente rotulada "Fator de aumento: 1 + i/100" partindo de (0, 1) e chegando em (100, 2). Linha laranja decrescente rotulada "Fator de desconto: 1 − i/100" partindo de (0, 1) e chegando em (100, 0). Linha tracejada horizontal em y = 1 rotulada "Valor inalterado". Paleta neutra com azul (#4772B3) para aumento e laranja (#D4790A) para desconto, bordas definidas, estilo de livro-texto de matemática. | grafico-fatores-aumento-desconto | 4:3 ## Determinação do valor de referência (base) Em problemas de variação percentual, é fundamental identificar corretamente o **valor de referência**, isto é, a grandeza à qual a porcentagem é aplicada.[[2]] Dado o valor final *V'* após uma variação de *i%*, o valor original *V* é obtido por divisão: > *V* = *V'* ÷ (1 + *i*/100) (se houve aumento) > *V* = *V'* ÷ (1 − *i*/100) (se houve desconto) Esse tipo de problema exige que o aluno reconheça que o valor fornecido é a *parte pós-variação*, não a base, e que, portanto, a operação inversa é a divisão pelo fator correspondente — não a subtração ou adição da porcentagem diretamente. **Exemplo 7.** Após um aumento de 20%, um produto passou a custar R\$ 288,00. Qual era o preço original? - Fator de aumento: 1 + 20/100 = 1,20 - *V* = 288 ÷ 1,20 = **R\$ 240,00** **Exemplo 8.** Após um desconto de 30%, uma peça de roupa custa R\$ 168,00. Qual era o preço original? - Fator de desconto: 1 − 30/100 = 0,70 - *V* = 168 ÷ 0,70 = **R\$ 240,00** Observe que em ambos os casos o valor original é R\$ 240,00, mas os caminhos são opostos: no primeiro, o produto custava menos e foi elevado; no segundo, o produto custava mais e foi reduzido. A distinção entre os dois casos reside no fator utilizado na divisão. **Images:** - [PLOT] Diagrama de fluxo em duas linhas paralelas. Linha superior (aumento): caixa "V = 240" → seta "× 1,20" → caixa "V' = 288", e seta inversa "÷ 1,20". Linha inferior (desconto): caixa "V = 240" → seta "× 0,70" → caixa "V' = 168", e seta inversa "÷ 0,70". Cores: azul (#4772B3) para setas de aumento, laranja (#D4790A) para setas de desconto. Bordas definidas, tipografia clara, fundo branco, estilo de livro-texto de matemática. | diagrama-calculo-base | 16:9