Porcentagens

[Sequence 1: (a) Contextualized Situation] # Porcentagens Imagine que você e sua família estão num sábado de compras em um mercado popular da cidade. Ao passar por uma banca de frutas, sua mãe para diante de uma placa: **"Maçãs — de R$ 8,00 por R$ 6,00 o quilo."** Ela sorri satisfeita e coloca as maçãs no carrinho. Um pouco adiante, uma vitrine de roupas anuncia: **"30% de desconto em toda a loja."** Sua irmã olha para você e pergunta, em voz baixa: "Esse desconto é bom mesmo?" Essa cena, simples e cotidiana, esconde uma pergunta matemática que atravessa praticamente todas as decisões financeiras da vida: de quanto é a variação? Qual é o preço real? Saber calcular porcentagens é, antes de tudo, uma ferramenta de autonomia — ela permite que você compreenda o que está por trás de um número seguido do símbolo %, e que tome decisões mais conscientes para si e para sua família. Neste capítulo, você vai explorar o significado de porcentagem, aprender a calcular valores percentuais e a determinar variações de aumento ou desconto. Ao longo desse percurso, vale manter uma pergunta em mente: quando alguém apresenta um número em porcentagem, o que exatamente está sendo comunicado — e o que pode estar sendo omitido? **Images:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images-v2/c0db62f7-53e5-431d-aeb2-80d6db670a40/imported/v2_0_16.jpg — Vitrine de loja com manequins e faixas vermelhas de promoção com desconto percentual visível | Attribution: Fonte: Desconhecido - "Retail Promotion Display" - Manually imported --- [Sequence 2] **O que você já sabe sobre porcentagens?** Antes de seguir em frente, reflita sobre as questões abaixo. Não há resposta certa ou errada neste momento — o objetivo é mapear o que você já conhece e perceber como esse conteúdo já aparece no seu cotidiano. a) Você já viu alguma etiqueta com desconto percentual numa loja? Como você calculou — ou tentaria calcular — o preço final? b) O que significa dizer que 50% dos estudantes de uma turma escolheram matemática como matéria favorita? Tente explicar com suas próprias palavras. c) Observe as três formas a seguir: **1/4**, **0,25** e **25%**. O que elas têm em comum? Em que situações cada uma delas é mais usada? --- [Sequence 4] ## O que é porcentagem? Voltando à cena do mercado: sua irmã queria saber se 30% de desconto era realmente vantajoso. Para responder a isso com segurança, é preciso entender o que porcentagem significa — e como calculá-la. A palavra *porcentagem* vem do latim *per centum*, que significa "por cem".[[1]] Quando dizemos que 30% dos ingressos de um show já foram vendidos, estamos dizendo que, de cada 100 ingressos disponíveis, 30 já foram comercializados. A porcentagem é, portanto, uma forma de expressar uma proporção em que o total de referência é sempre 100. Essa representação faz parte de um trio de notações equivalentes: **fração**, **decimal** e **porcentagem**.[[4]] O número 25%, por exemplo, é a mesma quantidade que a fração $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ e que o decimal $0{,}25$. As três formas descrevem a mesma relação proporcional — apenas a linguagem muda.[[5]] Em matemática, calculamos "p% de n" pela expressão: $$p\% \text{ de } n = \frac{p}{100} \times n$$ **Exemplo resolvido:** Em uma escola com 800 alunos, 35% participam de alguma atividade esportiva. Quantos alunos são esses? $$35\% \text{ de } 800 = \frac{35}{100} \times 800 = 0{,}35 \times 800 = 280 \text{ alunos}$$ Perceba que multiplicamos o valor de referência (800) pelo equivalente decimal da taxa percentual (0,35). Essa é a operação central do cálculo de porcentagens. **Images:** - PLOT: Diagrama de barra dividida em 100 partes iguais, com 35 partes destacadas em cor diferente, representando 35% de um total de 800 alunos. Inclua legenda clara indicando "35% = 280 alunos" e "65% = 520 alunos". Paleta de cores acessível, fundo branco. | porcentagem-barra.png | 16:9 [chapter-section: Para refletir] Pesquisas mostram que muitos estudantes sabem calcular porcentagens corretamente, mas têm dificuldade em explicar o que o resultado significa.[[1]] Calcular 35% de 800 e obter 280 é uma habilidade; entender que isso representa a proporção de alunos em relação ao total é compreensão. Em que situações do cotidiano você precisaria não apenas do número, mas do seu significado? --- ## Variações percentuais: aumento e desconto Além de calcular uma parte de um valor, a porcentagem é amplamente usada para expressar **variações**: um produto ficou mais caro? Mais barato? Em quanto percentual?[[3]] ### Aumento percentual Quando um preço ou quantidade *aumenta* em p%, o novo valor é calculado por: $$\text{Valor final} = \text{Valor inicial} \times \left(1 + \frac{p}{100}\right)$$ **Exemplo resolvido:** Uma cesta básica que custava R$ 250,00 sofreu um aumento de 12%. Qual é o novo preço? $$\text{Valor final} = 250 \times \left(1 + \frac{12}{100}\right) = 250 \times 1{,}12 = \text{R\$\,}280{,}00$$ ### Desconto percentual Quando um preço ou quantidade *diminui* em p%, o novo valor é: $$\text{Valor final} = \text{Valor inicial} \times \left(1 - \frac{p}{100}\right)$$ **Exemplo resolvido:** Um tênis que custa R$ 180,00 está com 15% de desconto. Qual é o preço com desconto? $$\text{Valor final} = 180 \times \left(1 - \frac{15}{100}\right) = 180 \times 0{,}85 = \text{R\$\,}153{,}00$$ ### Calculando a variação percentual Nem sempre o enunciado fornece a taxa — às vezes é necessário *descobrir* qual foi a variação. Para isso, usamos: $$\text{Variação percentual} = \frac{\text{Valor final} - \text{Valor inicial}}{\text{Valor inicial}} \times 100\%$$ **Exemplo resolvido:** O número de alunos matriculados em uma escola passou de 500 para 575. Qual foi a variação percentual? $$\text{Variação} = \frac{575 - 500}{500} \times 100\% = \frac{75}{500} \times 100\% = 15\%$$ A matrícula cresceu 15%. Um detalhe fundamental: o valor de referência é sempre o valor *inicial* — aquele que representa os 100%. Usar o valor final como base é o erro mais comum nesse tipo de cálculo.[[2]] **Images:** - PLOT: Linha dupla numérica (double number line) mostrando correspondência entre valores absolutos (R$ 0 a R$ 250) e percentuais (0% a 100%), com marcação de 12% de aumento destacando R$ 30 de acréscimo e o novo valor de R$ 280. Fontes legíveis, layout horizontal, fundo branco. | variacao-percentual-linha.png | 16:9 [INTERACTIVE: a1-mm | Explore o mapa mental interativo sobre porcentagens — conceito, frações equivalentes e variações percentuais — na plataforma Teachy] --- [Sequence 5] ## Na prática Agora é hora de aplicar o que foi estudado. Os exercícios a seguir partem de situações simples e avançam progressivamente. **1.** [I1] Em cada item abaixo, calcule a porcentagem indicada. a) 20% de R$ 450,00 b) 5% de 1.200 habitantes c) 75% de R$ 80,00 d) 8% de 650 kg **2.** [I2] Complete a tabela a seguir, calculando o novo valor após o aumento ou desconto indicado. | Valor inicial | Taxa | Tipo | Valor final | |:---|:---|:---|:---| | R$ 200,00 | 10% | Aumento | | | R$ 350,00 | 20% | Desconto | | | R$ 1.200,00 | 15% | Aumento | | | R$ 560,00 | 25% | Desconto | | **3.** [P1] Uma loja de material escolar anunciou 30% de desconto em mochilas. Joana encontrou uma mochila com preço original de R$ 120,00. a) Qual é o valor do desconto em reais? b) Quanto Joana pagará pela mochila? c) Que porcentagem do preço original Joana está pagando? **4.** [P2] O preço do quilograma de feijão era R$ 7,50 em janeiro. Em março, passou a custar R$ 9,00. a) Quanto o preço aumentou em reais? b) Qual foi a variação percentual? Ao resolver este problema, você identificou o valor de referência corretamente? Como garantir que está usando o preço inicial — e não o final — como base do cálculo? --- [Sequence 6] ## Exercícios **Images:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images-v2/492bc318-530a-4881-bdd3-7387979a8064/imported/v2_0_7.jpg — Ambiente de supermercado com faixas de promoção e clientes realizando compras, ilustrando o contexto de descontos e variações de preço | Attribution: Fonte: Desconhecido - "Supermarket in Jakarta, Indonesia" - Manually imported **1.** [I3] Numa pesquisa realizada em uma escola pública de Recife, 480 dos 600 alunos afirmaram ter acesso à internet em casa. a) Que porcentagem dos alunos tem acesso à internet em casa? b) Que porcentagem *não* tem acesso? c) Se a escola tivesse 900 alunos e a mesma proporção se mantivesse, quantos não teriam acesso à internet? **2.** [P3] Uma cooperativa de agricultores familiares produziu 3.200 kg de tomate neste mês. Devido a boas condições climáticas, a produção do mês seguinte deverá ter um aumento de 25%. a) Calcule a produção esperada para o mês seguinte. b) Se, ao contrário, houvesse uma seca que reduzisse a produção em 30%, qual seria a nova quantidade? c) Compare os dois cenários. Qual seria a diferença, em quilogramas, entre o maior e o menor resultado? **3.** [P4] Leia a situação a seguir e responda às questões. > Dona Conceição vende artesanato numa feira livre. Ela comprou um metro de tecido por R$ 12,00 e pretende revendê-lo com 40% de lucro. a) Por quanto ela pretende vender o tecido? b) No final do dia, como ainda tinha estoque, ela decidiu dar um desconto de 10% para o último cliente. Qual foi o preço final pago por esse cliente? c) Esse preço final é maior ou menor que o preço de compra de R$ 12,00? Qual foi a variação percentual em relação ao preço original de compra? **4.** [D1] Analise as afirmações abaixo e indique se cada uma é verdadeira (V) ou falsa (F). Para as falsas, corrija o erro. ( ) 25% de R$ 200,00 é igual a R$ 25,00. ( ) Se um produto tem 20% de desconto e custa R$ 80,00, o preço original era R$ 100,00. ( ) Um aumento de 50% sobre R$ 60,00 resulta em R$ 90,00. ( ) Para calcular 15% de um valor, basta dividir o valor por 15. **5.** [R1] Uma pesquisa de 2024 indicou que o número de ciclistas nas ciclovias de Curitiba cresceu de 18.000 para 22.500 por semana entre 2022 e 2024. a) Qual foi o aumento absoluto (em número de ciclistas)? b) Qual foi a variação percentual nesse período? c) Se esse mesmo crescimento percentual se repetir nos dois anos seguintes, qual será o número esperado de ciclistas em 2026? (Calcule apenas um aumento, não dois sucessivos.) [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática]