Porcentagens Sucessivas

# Porcentagens Sucessivas [Section 4] Nos capítulos anteriores, você aprendeu a usar o fator multiplicativo para calcular aumentos e descontos percentuais com uma única multiplicação. Agora vamos avançar para situações em que **dois ou mais reajustes são aplicados em sequência** sobre um mesmo valor — o que chamamos de **porcentagens sucessivas**. Esse tipo de situação aparece com frequência no cotidiano: uma loja já em promoção anuncia mais desconto; um salário que recebeu aumento no ano passado recebe novo reajuste neste ano; um produto sofre reajuste de preço em março e novamente em junho. Em todos esses casos, cada porcentagem é aplicada sobre o valor resultante do reajuste anterior, nunca sobre o valor original. ## Quando as porcentagens se acumulam Imagine que uma mochila custa R$ 200,00. Na primeira semana de promoção, a loja aplica um desconto de 20%. Na semana seguinte, reduz o preço resultante em mais 10%. Qual é o preço final? O caminho correto é aplicar cada desconto sobre o valor vigente naquele momento: - Após o primeiro desconto: R$ 200,00 × 0,80 = **R$ 160,00** - Após o segundo desconto: R$ 160,00 × 0,90 = **R$ 144,00** O preço final é R$ 144,00 — e não R$ 120,00, que seria o resultado de aplicar 30% diretamente sobre os R$ 200,00 originais. Dois descontos de 20% e 10% aplicados em sequência equivalem a um desconto de **28%**, não de 30%, pois o segundo desconto incide sobre um valor já reduzido. **Images:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images-v2/03900d99-3e7a-4b0b-8ee0-a7e8455ff29d/generated/v2_0_8.jpg — Corredor de supermercado com produtos etiquetados com preços e descontos, ilustrando situações reais de reajustes sucessivos de preços ## O fator composto Para tornar o cálculo ainda mais eficiente, você pode multiplicar todos os fatores de uma só vez e obter o **fator composto** — um único número que representa o efeito de todas as porcentagens aplicadas juntas. No exemplo da mochila, basta multiplicar os fatores que você já conhece: 0,80 × 0,90 = **0,72** Assim: R$ 200,00 × 0,72 = **R$ 144,00** — o mesmo resultado, em uma etapa só. O fator composto 0,72 também revela diretamente que o desconto total equivale a 28% sobre o preço original (pois 1 − 0,72 = 0,28). Essa lógica se aplica a qualquer combinação de aumentos e descontos: basta multiplicar os fatores individuais de cada etapa para obter o fator composto da sequência inteira. **[PLOT]** - Diagrama de fluxo horizontal com fundo branco. Três caixas retangulares ligadas por setas: "Valor inicial (R$ 200,00)" → seta rotulada "× 0,80" → "R$ 160,00" → seta rotulada "× 0,90" → "R$ 144,00". Abaixo das duas setas individuais, uma seta curva pontilhada conecta diretamente "Valor inicial" a "R$ 144,00" com o rótulo "× 0,72 (fator composto)". Fonte legível, estilo editorial limpo. | fator-composto-sucessivo.png | 16:9 ## Exemplo resolvido **Situação:** Uma peça de vestuário custava R$ 150,00. O varejista aplicou um aumento de 12% na entrada do verão e, dois meses depois, concedeu um desconto de 15%. **Resolução:** - Fator do aumento (12%): 1,12 - Fator do desconto (15%): 0,85 - Fator composto: 1,12 × 0,85 = **0,952** - Valor final: R$ 150,00 × 0,952 = **R$ 142,80** A peça ficou mais barata do que o preço original, mesmo passando por um aumento seguido de desconto. Isso ocorre porque o desconto percentual (15%) foi maior que o aumento (12%) e, nesse caso, o fator composto resultou menor que 1. [chapter-callout-label: Zoom] Observe os fatores 1,12 e 0,85 no exemplo acima. O que aconteceria se a ordem fosse invertida — primeiro o desconto de 15% e depois o aumento de 12%? O fator composto seria 0,85 × 1,12 = 0,952 — exatamente o mesmo resultado. A multiplicação é comutativa, então a **ordem de aplicação não altera o valor final** quando os fatores são multiplicados entre si. --- [INTERACTIVE: A1 | mapa mental | Acesse o mapa mental interativo sobre porcentagens sucessivas e fatores multiplicativos compostos na plataforma Teachy] [Section 5] Agora que você conhece o fator composto, vamos praticar a sua construção e aplicação. Os exercícios a seguir avançam gradualmente: começam por situações com dois fatores e chegam a contextos que misturam aumentos e descontos ou envolvem três etapas. **Pratique** [chapter-callout-label: Sabia?] Um erro muito comum é somar as porcentagens em vez de multiplicar os fatores. Por exemplo: dois aumentos de 10% e 5% **não** equivalem a um único aumento de 15%. O fator composto é 1,10 × 1,05 = 1,155, o que corresponde a um aumento de **15,5%** — ligeiramente maior. Sempre multiplique os fatores; nunca some as porcentagens. --- [P1] Uma peça de roupa sofre um aumento de 15% e, depois, outro aumento de 10%. Calcule o fator multiplicativo equivalente às duas variações aplicadas em sequência e determine o valor final se o preço original era R$ 80,00. _Dica: Multiplique os dois fatores individuais para obter o fator composto. Em seguida, aplique-o ao valor original._ [P2] Uma aplicação financeira cresce 8% no primeiro mês e 5% no segundo mês. Moisés tem R$ 2.000,00 investidos. Qual é o saldo após os dois meses? Calcule usando o fator multiplicativo resultante das porcentagens sucessivas. _Dica: O fator composto é obtido pelo produto 1,08 × 1,05. Aplique esse fator ao valor inicial._ [P3] Um produto sofre três reajustes sucessivos de preço: aumento de 10% em janeiro, desconto de 5% em fevereiro e aumento de 8% em março. Se o preço inicial era R$ 200,00, calcule o preço final utilizando o fator composto das três variações. _Dica: O fator composto é 1,10 × 0,95 × 1,08. Calcule primeiro o produto dos três fatores e depois aplique ao preço inicial._ [P4] Uma loja anuncia "segunda peça com 40% de desconto". Tamiris compra dois blusões idênticos que custam R$ 120,00 cada. Usando fatores multiplicativos, calcule o valor total pago e determine qual é o percentual médio de desconto sobre o valor cheio de duas peças. _Dica: A primeira peça não tem desconto (fator 1,00) e a segunda tem desconto de 40% (fator 0,60). Some os dois valores resultantes e compare com o valor total sem desconto para calcular o percentual médio._ --- [Section 6] ## Exercícios [I1] Uma loja de eletrodomésticos coloca à venda uma geladeira com preço original de R$ 1.800,00. Na primeira semana, aplica um desconto de 15%. Na semana seguinte, reduz o preço resultante em mais 10%. Calcule o preço final da geladeira após os dois descontos sucessivos, utilizando fatores multiplicativos. [LINES: 5] [I2] Uma confecção adquire tecido por R$ 400,00 o metro. No primeiro trimestre, o fornecedor aplica um reajuste de 20%. No segundo trimestre, aplica mais 5% sobre o preço já reajustado. a) Determine o fator multiplicativo equivalente aos dois reajustes sucessivos. b) Calcule o novo preço do metro de tecido após os dois reajustes. [LINES: 6] [I3] O gráfico a seguir representa a variação no preço de uma mochila ao longo de dois momentos: primeiro um aumento de 30%, depois um desconto de 20% sobre o preço já reajustado. O preço inicial da mochila era R$ 120,00. **[PLOT]** - Gráfico de barras verticais com três barras lado a lado: "Preço inicial: R$ 120,00" (azul), "Após aumento de 30%: R$ 156,00" (laranja), "Após desconto de 20%: R$ 124,80" (verde). Valores indicados sobre cada barra. Eixo y rotulado em reais, título "Variação de preço da mochila", fundo branco, estilo editorial limpo. | grafico-variacao-mochila.png | 4:3 Com base nos dados do gráfico, explique por que o preço final (R$ 124,80) é diferente do preço original (R$ 120,00), mesmo tendo sido aplicado um aumento e depois um desconto com porcentagens próximas. [LINES: 5] [I4] Uma empresa de cosméticos lança uma promoção em que oferece 25% de desconto em um creme facial e, na semana seguinte, anuncia mais 20% de desconto sobre o preço já reduzido. Uma cliente lê o anúncio e conclui: "Com dois descontos, o produto terá ao todo 45% de desconto em relação ao preço original." Com base no conceito de porcentagens sucessivas e fatores multiplicativos, essa conclusão está: (A) Correta, pois 25% + 20% = 45%, e a soma de porcentagens sempre fornece o desconto total correto. (B) Incorreta, pois o segundo desconto é calculado sobre o preço original, resultando em desconto total superior a 40%. (C) Incorreta, pois os descontos sucessivos devem ser calculados por meio do produto dos fatores (0,75 × 0,80), resultando em desconto total de 40%. (D) Correta, pois ao aplicar os dois fatores multiplicativos em sequência obtém-se exatamente 45% de desconto sobre o preço original. (E) Incorreta, pois porcentagens sucessivas de desconto sempre resultam em desconto total inferior à soma das porcentagens individuais, sendo neste caso igual a 45%. **Gabarito:** C [I5] Carla e Diego recebem o mesmo salário de R$ 3.500,00. A empresa anuncia um reajuste em duas etapas: primeiro um aumento de 10%, depois um aumento de 5% sobre o valor já reajustado. Carla comemora dizendo que vai receber o equivalente a um aumento de 15%; Diego discorda e diz que o aumento real é diferente. a) Calcule o salário final de Carla e Diego após as duas etapas de reajuste, usando fatores multiplicativos. b) Explique quem está certo, justificando com o resultado obtido. [LINES: 8] [INTERACTIVE: D | responda na plataforma | Escaneie para responder os exercícios desta seção na Teachy e receber correção automática] --- [Section 8] Com este capítulo, você completou o estudo das porcentagens: desde o cálculo direto e as variações percentuais, passando pelos fatores multiplicativos, até a aplicação de reajustes em sequência. O conceito central que diferencia este capítulo dos anteriores é que **porcentagens sucessivas não se somam** — elas se compõem por meio do produto dos fatores multiplicativos. Antes de avançar, verifique se seu raciocínio faz sentido: ao aplicar porcentagens sucessivas de desconto, o valor final deve sempre ser maior que zero e menor do que se os descontos fossem somados diretamente. Se o resultado indicar desconto total idêntico à soma das porcentagens, revise qual valor foi usado como base em cada etapa. Para cada habilidade abaixo, marque seu nível de confiança: | Habilidade | Ainda preciso praticar | Já consigo fazer | Domino completamente | |:---|:---|:---|:---| | Calcular o fator composto de duas ou mais porcentagens aplicadas em sequência | ( ) | ( ) | ( ) | | Obter o valor final após porcentagens sucessivas de aumento ou desconto | ( ) | ( ) | ( ) | | Explicar por que porcentagens sucessivas não equivalem à soma direta das porcentagens | ( ) | ( ) | ( ) | Em uma frase, complete: "Porcentagens sucessivas são diferentes de somar porcentagens porque..." [INTERACTIVE: A2 | tutor de revisao | Acesse o tutor de revisão interativo sobre porcentagens na plataforma Teachy para consolidar seus aprendizados]