Porcentagens Sucessivas

# Porcentagens Sucessivas [Sequence 4] Nas aulas anteriores, você aprendeu a calcular variações percentuais e a usar fatores multiplicativos para encontrar o valor final após um aumento ou desconto. Agora é hora de aprofundar esse conhecimento. Neste capítulo, você vai aplicá-lo a situações em que duas ou mais variações percentuais ocorrem em sequência, cada uma incidindo sobre o resultado da etapa anterior. ## Porcentagens Aplicadas em Sequência Quando um valor sofre mais de uma variação percentual consecutiva, cada nova taxa incide sobre a base que resultou da etapa anterior, não sobre o valor original[[1]]. Esse comportamento multiplicativo é o que diferencia as porcentagens sucessivas da simples adição de taxas. Para calcular o efeito combinado de variações sucessivas, multiplicam-se os fatores correspondentes[[1]]: - Aumento de $$p\%$$: fator $$= 1 + \dfrac{p}{100}$$ - Desconto de $$q\%$$: fator $$= 1 - \dfrac{q}{100}$$ - Fator combinado: produto de todos os fatores individuais Por exemplo, um produto que aumenta $$20\%$$ e depois sofre desconto de $$20\%$$ tem fator combinado $$1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96$$, ou seja, termina com $$4\%$$ a menos do que o valor original, e não com o mesmo valor. Essa assimetria é uma consequência direta da estrutura multiplicativa: o segundo percentual é sempre calculado sobre uma base diferente da inicial[[1]]. Vale destacar que a ordem das variações não altera o resultado final[[1]]. Isso porque a multiplicação é comutativa: $$1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}80 \times 1{,}20 = 0{,}96$$. O que muda entre as etapas é apenas o valor intermediário; o produto dos fatores permanece igual. **Images:** - [PLOT] Diagrama de linha do tempo mostrando um valor R$ 100,00 passando por dois fatores sucessivos: primeiro fator (1,20) resultando em R$ 120,00, depois fator (0,80) resultando em R$ 96,00 — com seta indicando fator combinado 0,96 sobre o valor original | porcentagens-sucessivas-timeline.png | 16:9 ### Exemplos resolvidos **Exemplo 1:** Uma peça de roupa custava R$ 150,00. A loja aplicou um aumento de $$30\%$$ e, em seguida, um desconto de $$25\%$$. Qual é o preço final? - Fator do aumento: $$1 + \dfrac{30}{100} = 1{,}30$$ - Fator do desconto: $$1 - \dfrac{25}{100} = 0{,}75$$ - Fator combinado: $$1{,}30 \times 0{,}75 = 0{,}975$$ - Preço final: $$150 \times 0{,}975 = \text{R\$} \ 146{,}25$$ O preço final ficou ligeiramente abaixo do original, pois o desconto de $$25\%$$ foi aplicado sobre um valor já inflacionado. **Exemplo 2:** O salário de Beatriz era R$ 2.400,00. Ela recebeu um reajuste de $$15\%$$ em março e mais $$10\%$$ sobre o novo salário em agosto. Qual é o salário de Beatriz após os dois reajustes? - Fator de março: $$1{,}15$$ - Fator de agosto: $$1{,}10$$ - Fator combinado: $$1{,}15 \times 1{,}10 = 1{,}265$$ - Salário final: $$2.400 \times 1{,}265 = \text{R\$} \ 3.036{,}00$$ Dois reajustes de $$15\%$$ e $$10\%$$ resultam em aumento total de $$26{,}5\%$$, e não de $$25\%$$. A diferença, embora pareça pequena, revela a natureza multiplicativa das porcentagens sucessivas[[4]]. **Images:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images-v2/c0db62f7-53e5-431d-aeb2-80d6db670a40/imported/v2_0_16.jpg — Vitrine de loja com cartazes de promoção (SALE) em mannequins, mostrando descontos de diferentes percentuais em contexto real de varejo | Attribution: Fonte: Manualmente importado [INTERACTIVE: a1-mm | Explore o mapa mental interativo sobre porcentagens sucessivas e fatores multiplicativos na plataforma Teachy] [Sequence 5] ## Na prática Nos exercícios a seguir, você praticará o cálculo de porcentagens sucessivas em situações graduadas. Leia cada enunciado com atenção e aplique os fatores multiplicativos. **1.** [I1] Uma camiseta custava R$ 80,00. O dono da loja aumentou o preço em $$10\%$$. Qual é o novo preço da camiseta? a) R$ 8,00 b) R$ 88,00 c) R$ 90,00 d) R$ 108,00 **Gabarito:** b) R$ 88,00. **Solução:** Fator de aumento de $$10\%$$: $$1{,}10$$. Preço final: $$80 \times 1{,}10 = \text{R\$} \ 88{,}00$$. --- **2.** [P1] Em setembro, um comerciante colocou o seguinte cartaz em sua loja: *"Em outubro, compras à vista terão $$40\%$$ de desconto no valor total."* Porém, ao abrir a loja no dia primeiro de outubro, esse comerciante havia remarcado os preços de todos os produtos, aumentando-os em $$60\%$$. Qual a variação no preço à vista de uma mercadoria qualquer no mês de outubro em relação ao preço de setembro? a) $$4\%$$ mais barato. b) $$20\%$$ mais barato. c) $$24\%$$ mais caro. d) $$4\%$$ mais caro. e) $$20\%$$ mais caro. **Gabarito:** a) $$4\%$$ mais barato. **Solução:** Considere o preço original em setembro como $$P$$. Em outubro, o preço foi aumentado em $$60\%$$: novo preço $$= 1{,}60P$$. Aplicando o desconto de $$40\%$$ sobre esse valor: $$1{,}60P \times 0{,}60 = 0{,}96P$$. O preço final é $$0{,}96P$$, ou seja, $$4\%$$ menor que o preço original de setembro. (Fonte: CMC) --- **3.** [P2] O preço de um produto artesanal sofreu um desconto de $$12\%$$ na safra e um aumento de $$18\%$$ fora da safra, sempre sobre o valor vigente na etapa anterior. a) Qual é o fator multiplicativo correspondente ao desconto de $$12\%$$? b) Qual é o fator multiplicativo correspondente ao aumento de $$18\%$$? c) Se o preço original era R$ 50,00, qual é o preço após as duas variações? **Gabarito:** a) $$0{,}88$$ b) $$1{,}18$$ c) Fator combinado: $$0{,}88 \times 1{,}18 = 1{,}0384$$. Preço final: $$50 \times 1{,}0384 = \text{R\$} \ 51{,}92$$. --- **4.** [P3] Isadora comprou um livro em uma livraria que anunciava "$$20\%$$ de desconto em todos os títulos, e mais $$10\%$$ sobre o novo preço para pagamento à vista". O preço original do livro era R$ 60,00, e Isadora pagou à vista. Qual dos caminhos abaixo representa corretamente o cálculo do preço pago por Isadora? a) $$60 \times 0{,}80 \times 0{,}90$$ b) $$60 \times (0{,}80 + 0{,}90)$$ c) $$60 \times (1 - 0{,}30)$$ d) $$60 \times 0{,}20 \times 0{,}10$$ **Gabarito:** a) $$60 \times 0{,}80 \times 0{,}90 = \text{R\$} \ 43{,}20$$. **Solução:** O primeiro desconto de $$20\%$$ resulta no fator $$0{,}80$$; o segundo desconto de $$10\%$$ resulta no fator $$0{,}90$$. Como cada desconto incide sobre o valor da etapa anterior, multiplica-se: $$60 \times 0{,}80 \times 0{,}90 = \text{R\$} \ 43{,}20$$. A alternativa c) seria equivalente apenas se os descontos fossem aditivos (o que seria incorreto: $$20\% + 10\% = 30\%$$). --- Você chegou ao preço final multiplicando os fatores, passo a passo. Como poderia verificar se esse resultado faz sentido? Uma boa estratégia é checar a direção da variação: se os descontos foram maiores que os aumentos, o preço final deve ser menor que o original — e vice-versa. [Sequence 6] ## Exercícios Nesta seção, você praticará de forma independente, resolvendo situações que exigem análise, interpretação e aplicação dos conceitos de porcentagens sucessivas. **1.** [I2] Um telefone celular custava R$ 2.000,00 em janeiro. Em abril, seu preço foi reajustado em $$10\%$$. Em junho, o preço foi novamente reajustado em $$10\%$$. Numa promoção, em novembro, Rogério finalmente comprou, com um desconto de $$20\%$$, o celular. Quanto ele pagou pelo aparelho? a) R$ 1.896,00. b) R$ 1.936,00. c) R$ 2.000,00. d) R$ 2.052,00. **Gabarito:** b) R$ 1.936,00. **Solução:** Fator combinado: $$1{,}10 \times 1{,}10 \times 0{,}80 = 0{,}968$$. Preço final: $$2.000 \times 0{,}968 = \text{R\$} \ 1.936{,}00$$. (Fonte: UNICAMP) --- **2.** [P4] O preço $$\mathbf{p}$$ de determinado produto aumentou $$10\%$$. Após esse aumento, um comprador obteve desconto de $$10\%$$ no novo preço. Esse comprador pagou: a) $$0{,}97\mathbf{p}$$ b) $$0{,}98\mathbf{p}$$ c) $$0{,}99\mathbf{p}$$ d) $$\mathbf{p}$$ e) $$1{,}01\mathbf{p}$$ **Gabarito:** c) $$0{,}99\mathbf{p}$$. **Solução:** Após o aumento de $$10\%$$, o preço torna-se $$1{,}10p$$. O desconto de $$10\%$$ sobre esse novo valor resulta em $$1{,}10p \times 0{,}90 = 0{,}99p$$. O produto final é $$0{,}99p$$, ou seja, o comprador paga $$1\%$$ a menos do que o preço original. O valor não retorna ao preço inicial porque o desconto foi calculado sobre uma base maior. (Fonte: IFES) --- **3.** [P5] A bolsa de estudos de Camila valia R$ 500,00 por mês. Em março, a instituição comunicou um aumento de $$20\%$$. Em outubro do mesmo ano, em razão de cortes no orçamento, foi aplicado um desconto de $$20\%$$ sobre o valor vigente. a) Calcule o valor da bolsa após o aumento de março. b) Calcule o valor da bolsa após o desconto de outubro. c) O valor final é igual ao valor original de R$ 500,00? Justifique sua resposta usando os fatores multiplicativos. **Gabarito:** a) $$500 \times 1{,}20 = \text{R\$} \ 600{,}00$$ b) $$600 \times 0{,}80 = \text{R\$} \ 480{,}00$$ c) Não. O fator combinado é $$1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96$$, e $$500 \times 0{,}96 = \text{R\$} \ 480{,}00$$. Como o desconto de $$20\%$$ incidiu sobre R$ 600,00 (e não sobre R$ 500,00), a redução em reais foi maior do que o aumento — resultando em um valor final menor que o original. --- **4.** [D1] No Colégio Militar de Curitiba, a lojinha de artigos militares vende o conjunto completo do uniforme esportivo por R$ 200,00. Para incentivar os alunos a adquirirem o conjunto completo, foi autorizado um desconto de $$20\%$$. Após algum tempo, a lojinha aplicou ainda um novo desconto de $$15\%$$ sobre o valor já reduzido. Marque a alternativa que corresponde ao percentual do desconto total em relação ao valor original. a) $$32\%$$ b) $$33\%$$ c) $$34\%$$ d) $$35\%$$ e) $$36\%$$ **Gabarito:** a) $$32\%$$. **Solução:** Valor após o primeiro desconto: $$200 \times 0{,}80 = \text{R\$} \ 160{,}00$$. Valor final após o segundo desconto: $$160 \times 0{,}85 = \text{R\$} \ 136{,}00$$. Desconto total em reais: $$200 - 136 = \text{R\$} \ 64{,}00$$. Percentual de desconto total: $$\dfrac{64}{200} \times 100\% = 32\%$$. O fator combinado é $$0{,}80 \times 0{,}85 = 0{,}68$$, o que confirma que o preço final representa $$68\%$$ do original — ou seja, um desconto efetivo de $$32\%$$. (Fonte: CMC) --- **5.** [D2] Uma cooperativa de agricultores familiares do interior de Minas Gerais produz queijo artesanal. Em 2025, o preço do quilo era R$ 40,00. Em janeiro de 2026, houve um aumento de $$15\%$$ por causa da alta do leite. Em junho, durante a safra, a cooperativa concedeu um desconto de $$8\%$$ sobre o preço vigente para estimular as vendas. a) Determine o fator combinado das duas variações. b) Calcule o preço final do quilo de queijo em junho de 2026. c) O preço final ficou acima ou abaixo do valor original de R$ 40,00? Em quanto? **Gabarito:** a) $$1{,}15 \times 0{,}92 = 1{,}058$$ b) $$40 \times 1{,}058 = \text{R\$} \ 42{,}32$$ c) Acima: o preço final é R$ 2,32 maior que o original (aumento líquido de $$5{,}8\%$$). **Images:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images-v2/492bc318-530a-4881-bdd3-7387979a8064/imported/v2_0_7.jpg — Supermercado movimentado com clientes e faixas de promoção visíveis, ilustrando o contexto real de variações de preços em estabelecimentos comerciais | Attribution: Fonte: Manualmente importado [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática com feedback detalhado] [Sequence 8] [chapter-section: Para refletir] Imagine que você é responsável por administrar o orçamento de uma família. Ao longo do ano, os preços de alimentos, transporte e energia sofrem reajustes sucessivos. Saber calcular o efeito acumulado dessas variações permite tomar decisões mais conscientes sobre o que consumir, quando comprar e como planejar os gastos. Pense: de que forma o domínio das porcentagens sucessivas pode contribuir para decisões financeiras mais justas e responsáveis dentro de uma família ou comunidade? ## O que aprendemos Neste capítulo, você percorreu o caminho das porcentagens sucessivas, compreendendo que cada nova variação percentual incide sobre a base modificada pela etapa anterior. Esse princípio multiplicativo revela uma diferença fundamental entre somar taxas e multiplicar fatores[[1]][[4]]. Você aprendeu que: - O fator multiplicativo de um aumento de $$p\%$$ é $$1 + \dfrac{p}{100}$$, e de um desconto de $$q\%$$ é $$1 - \dfrac{q}{100}$$. - O efeito combinado de variações sucessivas é o **produto** dos fatores individuais. - Aumentos e descontos iguais não se cancelam: após um aumento de $$20\%$$ e um desconto de $$20\%$$, o valor fica $$4\%$$ menor que o original. - A ordem das variações não altera o resultado final, pois a multiplicação é comutativa[[1]]. Essas ideias têm alcance bem além da sala de aula. Preços, salários, inflação, bolsas de estudo e tarifas públicas mudam ao longo do tempo de forma acumulada. Compreender como essas variações se combinam é uma forma concreta de exercer autonomia e responsabilidade nas escolhas cotidianas[[5]]. **Auto-avaliação:** Para cada habilidade abaixo, marque seu nível de confiança: | Habilidade | Ainda preciso praticar | Já consigo fazer | Domino completamente | | :--- | :---: | :---: | :---: | | Calcular a variação percentual (aumento ou desconto) sobre um valor dado | ( ) | ( ) | ( ) | | Identificar e aplicar o fator multiplicativo correto para um aumento ou desconto | ( ) | ( ) | ( ) | | Calcular o valor final após porcentagens sucessivas multiplicando os fatores | ( ) | ( ) | ( ) | | Explicar por que aumentos e descontos iguais não se cancelam | ( ) | ( ) | ( ) | Das habilidades acima, qual você considera mais desafiadora? O que você pode fazer para reforçar o seu aprendizado nessa área?