Porcentagens Sucessivas

# Porcentagens Sucessivas [Sequence 4] Você já sabe que cada variação percentual pode ser expressa como um fator multiplicativo: um aumento de p% corresponde ao fator 1 + p/100, e um desconto de p% ao fator 1 − p/100. Agora o desafio é outro: o que acontece quando **duas ou mais variações percentuais se aplicam uma após a outra** sobre o mesmo valor? Pense na seguinte situação: um produto custa R$ 100,00. A loja aumenta o preço em 20% e, no mês seguinte, aplica um desconto de 20% sobre o novo preço. Muita gente intui que o preço volta ao original. Será que isso é verdade? - Após o aumento de 20%: R$ 100,00 × 1,20 = **R$ 120,00** - Após o desconto de 20% sobre R$ 120,00: R$ 120,00 × 0,80 = **R$ 96,00** O preço final é R$ 96,00 — não R$ 100,00. Por que isso acontece? Porque cada percentual incide sobre o resultado da etapa anterior, não sobre o valor original.[[3]] **A regra das porcentagens sucessivas** Quando aplicamos porcentagens uma após a outra, o fator resultante é o **produto** dos fatores individuais: $$\text{Fator total} = f_1 \times f_2 \times f_3 \times \ldots$$ No exemplo acima: 1,20 × 0,80 = 0,96, representando uma redução líquida de 4% em relação ao preço original. A ordem das operações não altera o fator total, mas o valor intermediário muda a cada etapa.[[5]] **Images:** - PLOT: Diagrama de fluxo horizontal mostrando: R$100 → (×1,20) → R$120 → (×0,80) → R$96. Abaixo, fator total: 1,20 × 0,80 = 0,96 → variação líquida de −4%. Inclua uma seta vermelha tracejada mostrando o "erro aditivo" (+20% − 20% = 0%) com um ✗. Estilo limpo, fundo branco, cores azul (#4772B3) e laranja (#D4790A), textos em português. | porcentagens-sucessivas-fluxo.png | 16:9 [INTERACTIVE: a1-mm | Explore o mapa mental interativo sobre porcentagens sucessivas e fatores multiplicativos na plataforma Teachy] [Sequence 5] ## Na prática **Exercício 1** [I1] Uma loja de celulares busca aumentar suas vendas. O gerente teve a ideia de fazer uma promoção privilegiando pagamentos à vista e aniversariantes do mês. Então, anunciou: > Desconto de $10\%$ no preço de qualquer modelo de celular, e mais $10\%$ sobre o novo preço para aniversariantes do mês! Uma pessoa escolheu comprar um modelo de celular que, inicialmente, custava R$ 3.500,00. Decidiu pagar à vista. Quando o vendedor calculou o novo preço, o comprador mostrou seu documento comprovando que faria aniversário naquele mês e o vendedor aplicou ao novo preço mais $10\%$ de desconto. Qual foi o preço final pago pelo comprador na compra desse celular? a) R$ 2.800,00 b) R$ 3.150,00 c) R$ 2.835,00 d) R$ 3.480,00 **Gabarito:** c) R$ 2.835,00 **Resolução:** Primeiro desconto de 10%: R$ 3.500,00 × 0,90 = R$ 3.150,00. Segundo desconto de 10% sobre o novo preço: R$ 3.150,00 × 0,90 = **R$ 2.835,00**. O desconto total não é 20%, mas 19% — porque o segundo desconto incide sobre um valor já reduzido. (Fonte: IFSP) --- **Exercício 2** [P1] Uma cooperativa de artesanato vendeu uma peça por R$ 80,00. No mês seguinte, o preço sofreu um aumento de 25%. Dois meses depois, a cooperativa decidiu aplicar um desconto de 10% sobre o preço atualizado. a) Calcule o fator multiplicativo de cada operação e o fator total da variação. b) Qual é o preço final da peça? c) O preço final ficou acima ou abaixo dos R$ 80,00 originais? Em quanto? **Gabarito:** a) Aumento de 25%: fator = 1,25. Desconto de 10%: fator = 0,90. Fator total = 1,25 × 0,90 = **1,125**. b) R$ 80,00 × 1,125 = **R$ 90,00**. c) O preço final ficou **acima** do original em R$ 10,00 — um aumento líquido de 12,5%. --- [Sequence 6] ## Exercícios **Exercício 1** [P2] Em setembro, um comerciante colocou o seguinte cartaz em sua loja: > Em outubro, compras à vista terão $40\%$ de desconto no valor total. Porém, ao abrir a loja no dia primeiro de outubro, esse comerciante havia remarcado os preços de todos os produtos, aumentando-os em $60\%$. Qual a variação no preço à vista de uma mercadoria qualquer no mês de outubro em relação ao preço de setembro? a) $4\%$ mais barato. b) $20\%$ mais barato. c) $24\%$ mais caro. d) $4\%$ mais caro. e) $20\%$ mais caro. **Gabarito:** a) $4\%$ mais barato. **Resolução:** Seja $P$ o preço em setembro. Após o aumento de 60%: $P \times 1{,}60$. Após o desconto de 40%: $1{,}60P \times 0{,}60 = 0{,}96P$. O preço final é 96% do original — $4\%$ mais barato. O fator total é 1,60 × 0,60 = 0,96. (Fonte: CMC) --- **Exercício 2** [P3] No Colégio Militar de Curitiba, a lojinha de artigos militares vende o conjunto completo do uniforme esportivo por R$ 200,00. Para incentivar os alunos a adquirirem o conjunto completo, foi autorizado um desconto de $20\%$. Após algum tempo, a lojinha aplicou ainda um novo desconto de $15\%$ sobre o valor já reduzido. Marque a alternativa que corresponde ao percentual do desconto total em relação ao valor original. a) $32\%$ b) $33\%$ c) $34\%$ d) $35\%$ e) $36\%$ **Gabarito:** a) $32\%$ **Resolução:** Fator total = 0,80 × 0,85 = 0,68. Preço final = R$ 200,00 × 0,68 = R$ 136,00. Desconto total = R$ 64,00, ou seja, $\frac{64}{200} \times 100\% = 32\%$. Somar os percentuais (20% + 15% = 35%) seria o erro aditivo. (Fonte: CMC) --- **Exercício 3** [D1] Uma loja resolveu fazer uma promoção de um determinado produto que custava R$ 100,00 em fevereiro da seguinte maneira: em março, ela deu um desconto de 10% sobre o preço do produto em fevereiro; em abril, deu mais 10% de desconto sobre o preço do produto em março. Tendo obtido uma venda substancial, a loja resolveu aumentar o preço do produto da seguinte maneira: em maio, a loja aumentou em 10% o preço de abril e, em junho, aumentou em mais 10% o preço de maio. Desta forma, o preço deste produto no final de junho era: a) R$ 100,00. b) R$ 99,00. c) R$ 97,20. d) R$ 96,00. e) R$ 98,01. **Gabarito:** e) R$ 98,01. **Resolução:** Fator total = 0,90 × 0,90 × 1,10 × 1,10 = 0,9801. Preço final = R$ 100,00 × 0,9801 = **R$ 98,01**. Quatro variações de 10% com sinais alternados não se cancelam. --- **Exercício 4** [D2] A turma de Letícia investigou os preços de ingredientes para uma receita de bolo típico de festa junina. Eles descobriram que o milho verde em lata havia sofrido dois reajustes nos últimos meses: primeiro, um aumento de 15% por causa do custo do transporte; depois, um desconto de 8% numa ação promocional da rede de supermercados. O preço original da lata era R$ 4,50. a) Usando fatores multiplicativos, calcule o preço após cada etapa e o preço final. b) Qual foi a variação percentual líquida em relação ao preço original? O produto ficou mais caro ou mais barato? c) Letícia disse: "No total, o preço aumentou 7%, porque 15% − 8% = 7%." Identifique o erro de raciocínio dela e explique com suas próprias palavras por que isso está incorreto. **Gabarito:** a) Após +15%: R$ 4,50 × 1,15 = **R$ 5,175** (≈ R$ 5,18). Após −8%: R$ 5,175 × 0,92 = **≈ R$ 4,76**. Fator total = 1,15 × 0,92 = 1,058. b) O produto ficou **mais caro** em relação ao original, com variação líquida de +5,8%. c) Letícia aplicou raciocínio aditivo: tratou as duas porcentagens como se incidissem sobre o mesmo valor de R$ 4,50. Mas o desconto de 8% foi calculado sobre R$ 5,175 — não sobre o preço original. Em porcentagens sucessivas, cada etapa tem uma base diferente. --- **Exercício 5** [R1] [chapter-section: Você acredita?] Uma confecção do interior da Bahia participou de uma feira de artesanato e marcou os preços dos seus produtos com uma margem de 40% acima do custo de produção. Ao final da feira, para não carregar estoque, a dona da confecção fez um desconto de 40% sobre o preço marcado. Você acredita que ela vendeu os produtos pelo custo de produção? Investigue com os fatores multiplicativos e explique o que aconteceu de fato com o lucro ou o prejuízo. **Gabarito:** Não. Seja $C$ o custo de produção. Preço marcado: $C \times 1{,}40$. Preço com desconto: $C \times 1{,}40 \times 0{,}60 = C \times 0{,}84$. A dona vendeu por **84% do custo**, sofrendo um **prejuízo de 16%** por unidade. O desconto de 40% incidiu sobre o preço marcado — maior que o custo — não sobre o custo. [INTERACTIVE: d-rp | Responda os exercícios desta seção na plataforma Teachy e receba correção automática com feedback detalhado] --- [Sequence 7] [chapter-section: Seu caminho] Você acabou de resolver situações que mostram como as porcentagens sucessivas nos surpreendem — e viu que o raciocínio aditivo costuma nos enganar. Que tal agora criar ou investigar uma situação do seu próprio cotidiano? Escolha **uma** das três opções abaixo: **Opção A — Investigação de campo** Pesquise em dois aplicativos de compras (como Shopee, Mercado Livre ou Amazon) um produto que aparece com desconto. Verifique se o preço "original" indicado é real ou se houve remarcação antes do desconto. Calcule os fatores multiplicativos e escreva um parágrafo explicando se a oferta é, de fato, vantajosa. **Opção B — Criação de problema** Crie uma situação-problema realista com pelo menos duas porcentagens sucessivas (pode envolver compras, salário, inflação ou crescimento de seguidores em redes sociais). Resolva o problema passo a passo e inclua um "erro comum" que alguém poderia cometer — mostrando por que esse erro está errado. **Opção C — Infográfico investigativo** Em dupla, construam um infográfico (em papel ou digital) que explique para estudantes do 7º ano o que são porcentagens sucessivas, por que não se pode somá-las diretamente e como os fatores multiplicativos resolvem o problema. Incluam pelo menos dois exemplos com contextos do cotidiano brasileiro. --- [Sequence 8] Lembra do produto que custava R$ 100,00 e recebeu um aumento de 20% seguido de um desconto de 20%? Esse foi o ponto de partida deste capítulo. Agora você tem as ferramentas para explicar com precisão por que o preço final foi R$ 96,00 — e não R$ 100,00. O aumento gerou um novo valor de R$ 120,00, e o desconto de 20% incidiu sobre esse valor maior, removendo R$ 24,00 — não apenas R$ 20,00. Resultado: fator total 1,20 × 0,80 = 0,96, uma redução líquida de 4%. Pense agora em uma variação ainda mais drástica: **se um produto recebe um aumento de 50% e depois um desconto de 50%, qual é a variação líquida?** Fator total = 1,50 × 0,50 = 0,75. O produto termina valendo **75% do preço original** — uma **redução de 25%**. A resposta intuitiva de "0%" seria verdadeira apenas se os percentuais incidissem sempre sobre o mesmo valor de referência. Mas o desconto de 50% atua sobre o preço já aumentado, que é maior — e por isso a queda absoluta supera o ganho absoluto. Esse raciocínio vale para qualquer sequência de variações: os fatores se multiplicam, e cada base é diferente da anterior. Não existe atalho aditivo que funcione de forma consistente. --- **O que você aprendeu neste capítulo?** Reflita sobre as três habilidades trabalhadas e responda com honestidade: 1. Consigo calcular uma porcentagem de aumento ou desconto diretamente sobre um valor, sem ajuda? 2. Sei transformar qualquer variação percentual em um fator multiplicativo e usá-lo para chegar ao valor final de forma eficiente? 3. Consigo aplicar dois ou mais fatores em sequência e calcular o efeito total sobre um valor — sem cair no erro de somar os percentuais? Para cada habilidade, escolha: **Sim, com segurança / Quase lá / Preciso revisar.** Compartilhe suas respostas com um colega e discutam: onde ainda há dúvidas? O que pode ajudar a resolver? [INTERACTIVE: a2-rt | Acesse o tutor de revisão na plataforma Teachy para reforçar os conceitos de porcentagens sucessivas e tirar suas dúvidas]