Porcentagens Sucessivas

[Sequence 4] # Porcentagens Sucessivas A aplicação de fatores multiplicativos, formalizada nos subcapítulos anteriores, estende-se naturalmente ao caso de variações consecutivas. Quando um valor sofre duas ou mais variações percentuais em sequência, cada percentual incide sobre o valor resultante da variação anterior — e não sobre o valor original. O fator composto é obtido pelo **produto** dos fatores individuais, nunca pela soma ou subtração das taxas percentuais.[[1]] ## Composição de Fatores Multiplicativos > **Porcentagens sucessivas — definição.** Dados os fatores $f_1, f_2, \ldots, f_n$, o valor final $V'$ obtido a partir de um valor original $V$ após $n$ variações percentuais consecutivas é: > > $$V' = V \times f_1 \times f_2 \times \cdots \times f_n$$ > > onde $f_i = 1 + p_i/100$ para acréscimos e $f_i = 1 - p_i/100$ para descontos. O produto $f_1 \times f_2 \times \cdots \times f_n$ é o **fator composto** e representa a variação percentual líquida equivalente à sequência de variações. Note que a soma algébrica das taxas $p_1 + p_2 + \cdots + p_n$ não resulta no fator composto correto. Por exemplo, dois descontos de 20% e 15% aplicados sucessivamente produzem um fator composto de $0{,}80 \times 0{,}85 = 0{,}68$, equivalente a um desconto total de 32% — e não de 35%. O segundo desconto incide sobre o valor já reduzido pelo primeiro, de modo que cada fator opera sobre uma base diferente.[[2]] **Images:** - [PLOT] Diagrama de fluxo horizontal mostrando a composição de fatores multiplicativos em três etapas: caixa "V₀" → seta rotulada "×f₁" → caixa "V₁ = V₀·f₁" → seta rotulada "×f₂" → caixa "V₂ = V₁·f₂ = V₀·f₁·f₂". Abaixo do diagrama, equação em destaque: V' = V × f₁ × f₂. Paleta em azul (#4772B3) e cinza, bordas definidas, registro acadêmico de livro-texto. Sem elementos decorativos. | fator-composto-fluxo.png | 16:9 **Exemplo 1.** Uma mercadoria de R\$ 500,00 recebe um acréscimo de 20% e, em seguida, um desconto de 10% sobre o valor já acrescido. Determine o preço final. - Fator do acréscimo: $f_1 = 1 + 20/100 = 1{,}20$ - Fator do desconto: $f_2 = 1 - 10/100 = 0{,}90$ - Fator composto: $f = 1{,}20 \times 0{,}90 = 1{,}08$ - Valor final: $500 \times 1{,}08 = \text{R\$}\ 540{,}00$ O preço final é R\$ 540,00. O resultado incorreto de somar e subtrair os percentuais ($+20\% - 10\% = +10\%$) daria R\$ 550,00 — diferença que cresce à medida que as taxas envolvidas aumentam. **Exemplo 2.** Uma aplicação financeira de R\$ 2.000,00 registra aumento de 15% no primeiro trimestre, redução de 8% no segundo trimestre e aumento de 5% no terceiro trimestre. Determine o valor acumulado ao final dos três trimestres. - $f_1 = 1{,}15$; $\quad f_2 = 0{,}92$; $\quad f_3 = 1{,}05$ - Fator composto: $1{,}15 \times 0{,}92 \times 1{,}05 = 1{,}1109$ - Valor final: $2.000 \times 1{,}1109 = \text{R\$}\ 2.221{,}80$ A variação percentual acumulada é aproximadamente $+11{,}09\%$, valor distinto de $15\% - 8\% + 5\% = 12\%$. **Exemplo 3.** Uma loja aumenta o preço de um produto de R\$ 1.000,00 em 40% e, no dia seguinte, concede 30% de desconto sobre o preço já reajustado. Determine o preço final e indique se o consumidor paga mais ou menos do que o preço original. - $f_1 = 1{,}40$; $\quad f_2 = 0{,}70$ - Fator composto: $1{,}40 \times 0{,}70 = 0{,}98$ - Valor final: $1.000 \times 0{,}98 = \text{R\$}\ 980{,}00$ Como o fator composto é $0{,}98 < 1$, o preço final de R\$ 980,00 é inferior ao preço original — portanto, há desconto líquido de 2%, mesmo após um aumento de 40%. **Images:** - [PLOT] Diagrama comparativo em dois painéis lado a lado. Painel esquerdo (método incorreto): "40% − 30% = +10%" com valor final indicado como R$ 1.100,00. Painel direito (método correto): aplicação sequencial 1,40 × 0,70 = 0,98 com valor final R$ 980,00. Cada painel mostra o valor inicial (R$ 1.000,00), o valor intermediário e o valor final com setas e rótulos. Painel esquerdo em vermelho (#D4790A), painel direito em azul (#4772B3). Bordas definidas, paleta acadêmica, sem cartoon. | comparativo-soma-vs-produto.png | 16:9 [INTERACTIVE: a1-mm | Mapa mental interativo com a síntese formal dos fatores de acréscimo, desconto e composição sucessiva de variações percentuais.] [Sequence 6] Nos exercícios a seguir, aplique o método do fator composto às situações apresentadas. ## Praticando **1.** Calcule o fator multiplicativo composto e o valor final em cada situação: a) R\$ 500,00 com acréscimo de 20% seguido de acréscimo de 10% b) R\$ 800,00 com desconto de 25% seguido de desconto de 20% c) R\$ 1.200,00 com acréscimo de 15% seguido de desconto de 15% d) R\$ 2.000,00 com desconto de 10% seguido de acréscimo de 10% e) R\$ 600,00 com acréscimo de 30% seguido de desconto de 30% f) R\$ 1.500,00 com desconto de 12% seguido de desconto de 8% **2.** Para cada sequência de variações percentuais, determine o fator composto e a variação percentual líquida resultante: a) Acréscimo de 25% seguido de desconto de 20% b) Desconto de 15% seguido de desconto de 10% c) Acréscimo de 50% seguido de desconto de 50% d) Desconto de 30% seguido de acréscimo de 30% e) Acréscimo de 10% seguido de acréscimo de 10% seguido de desconto de 10% f) Três acréscimos consecutivos de 5% cada **3.** Uma empresa registrou aumentos consecutivos de preço em três etapas: primeiro elevou o preço de um produto em 20%, depois em 10% sobre o novo preço e, por fim, em 5% sobre o valor da segunda etapa. Determine o fator composto e o preço final, sabendo que o preço inicial era R\$ 400,00. **4.** O gerente de uma loja de móveis resolveu fazer uma liquidação de seus produtos, então multiplicou o preço de todos os produtos por 0,68. Isso equivale a dizer que o gerente ofereceu um desconto de (A) 32%. (B) 3,2%. (C) 68%. (D) 132%. (E) 168%. (Fonte: CMCG) **5.** Na loja *Magali Calçados*, em março de 2011, um tênis custava R\$ 180,00. Em abril do mesmo ano, o gerente da loja, Sr. Celso Lourenço, determinou que fosse dado um desconto de 10%, referente ao preço do mês anterior. No mês de maio, com o reajuste dos salários dos funcionários da Prefeitura Municipal de Campo Grande, o Sr. Celso Lourenço decidiu aumentar em 10% o preço do tênis, em relação ao mês de abril. Baseando-se nas informações apresentadas acima, conclui-se que (A) em abril o tênis custava entre R\$ 165,00 e R\$ 170,00. (B) em abril, o preço do tênis era a média aritmética dos preços de março e maio. (C) em maio o tênis custava mais do que custava em março. (D) em maio o tênis custava o mesmo do que custava em março. (E) a diferença entre os preços dos meses de março e maio, nessa ordem, é de R\$ 1,80. (Fonte: CMCG) **6.** Em setembro, um comerciante colocou o seguinte cartaz em sua loja: "Em outubro, todos os produtos com 30% de desconto." Porém, ao abrir a loja no dia primeiro de outubro, esse comerciante havia remarcado os preços de todos os seus produtos, aumentando-os em 40%. Pode-se, então, afirmar que, no mês de outubro, o preço de uma mercadoria qualquer estava, em relação ao preço de setembro: (A) 10% mais barato. (B) 12% mais barato. (C) 8% mais caro. (D) 2% mais barato. (E) 10% mais caro. (Fonte: CMRJ) **7.** Em setembro, um comerciante colocou o seguinte cartaz em sua loja: "Em outubro, compras à vista terão 40% de desconto no valor total." Porém, ao abrir a loja no dia primeiro de outubro, esse comerciante havia remarcado os preços de todos os produtos, aumentando-os em 60%. Qual a variação no preço à vista de uma mercadoria qualquer no mês de outubro em relação ao preço de setembro? (A) 4% mais barato. (B) 20% mais barato. (C) 24% mais caro. (D) 4% mais caro. (E) 20% mais caro. (Fonte: CMC) **8.** No Colégio Militar de Curitiba, a lojinha de artigos militares vende o conjunto completo do uniforme esportivo por R\$ 200,00. Para incentivar os alunos a adquirirem o conjunto completo, foi autorizado um desconto de 20%. Após algum tempo, a lojinha aplicou ainda um novo desconto de 15% sobre o valor já reduzido. Marque a alternativa que corresponde ao percentual do desconto total em relação ao valor original. (A) 32% (B) 33% (C) 34% (D) 35% (E) 36% (Fonte: CMC) **9.** Uma loja resolveu fazer uma promoção de um determinado produto que custava R\$ 100,00 em fevereiro da seguinte maneira: em março, ela deu um desconto de 10% sobre o preço do produto em fevereiro; em abril, deu mais 10% de desconto sobre o preço do produto em março. Tendo obtido uma venda substancial, a loja resolveu aumentar o preço do produto da seguinte maneira: em maio, a loja aumentou em 10% o preço de abril e, em junho, aumentou em mais 10% o preço de maio. Desta forma, o preço deste produto no final de junho era: (A) R\$ 100,00. (B) R\$ 99,00. (C) R\$ 97,20. (D) R\$ 96,00. (E) R\$ 98,01. (Fonte: ENEM) **10.** Magda foi informada, em dezembro de 2013, que a mensalidade do seu curso de francês a partir de janeiro de 2014 teria um aumento de 60%. Ela não concordou com o aumento e procurou o PROCON, que, após analisar o caso, determinou que o curso desse um desconto de 15% em relação ao valor da nova mensalidade. O curso acatou a decisão do PROCON. Como Magda é professora do CMRJ, o curso, voluntariamente, decidiu dar-lhe 10% de desconto sobre o valor que havia sido determinado pelo PROCON. Dessa forma, o aumento da mensalidade do curso de francês do ano de 2013 para o ano de 2014 passou a ser, em percentual, um número compreendido entre: (A) 34 e 36. (B) 25 e 26. (C) 22 e 23. (D) 23 e 24. (E) 24 e 25. (Fonte: CMRJ) **11.** Uma empresa registrou, em três anos consecutivos, as seguintes variações em seu faturamento anual: aumento de 15% no primeiro ano, redução de 10% no segundo ano e aumento de 8% no terceiro ano. Utilizando fatores multiplicativos, calcule a variação percentual acumulada do faturamento ao final dos três anos e indique se houve aumento ou redução em relação ao faturamento inicial. Apresente o resultado com duas casas decimais. **12.** Um capital de R\$ 2.000,00 é aplicado a uma taxa mensal de 3% por três meses consecutivos, com cada mês rendendo sobre o valor do mês anterior. Determine, pelo método do fator multiplicativo composto, o valor acumulado ao final do terceiro mês. Apresente o resultado com duas casas decimais. [chapter-section: Desafio] ## Desafio **13.** Uma loja anuncia que dará um desconto de $d\%$ sobre o preço de etiqueta de uma mercadoria. Para aumentar a margem antes do desconto, o comerciante primeiro reajusta o preço de etiqueta em $x\%$ e, em seguida, aplica o desconto de $d\%$ sobre o preço já reajustado. Para que o preço final ao consumidor seja exatamente igual ao preço original (antes do reajuste), determine a expressão de $x$ em função de $d$ e calcule o valor exato de $x$ quando $d = 20\%$. **14.** Em um determinado mês, o índice de inflação foi de $i_1\%$. No mês seguinte, o índice foi de $i_2\%$. Sabe-se que, ao longo dos dois meses, o salário de certo trabalhador foi reajustado por um único reajuste de $r\%$ aplicado ao final do segundo mês. a) Determine o valor de $r\%$ para que o trabalhador recupere exatamente o poder de compra que tinha antes da inflação dos dois meses, sabendo que $i_1 = 5\%$ e $i_2 = 4\%$. b) Considere agora $i_1 = 8\%$ e $i_2 = 6\%$. Determine o valor de $r\%$ para esse novo cenário e compare com a soma $i_1 + i_2$, explicando por que os valores diferem. [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder aos exercícios na Teachy e receber correção automática.] [Sequence 8] ## Síntese O cálculo de porcentagens sucessivas é uma extensão direta do fator multiplicativo: para encadear duas ou mais variações percentuais, multiplicam-se os fatores correspondentes na ordem em que ocorrem. O fator composto nunca é obtido pela soma algébrica das taxas percentuais — essa é a distinção conceitual central em problemas de aritmética comercial, reajustes salariais e variações de preço.