Potenciação e radiciação

# Potenciação e radiciação [Sequence 6] Este conjunto de exercícios consolida o que você estudou nos subcapítulos anteriores: a radiciação como operação inversa da potenciação e a representação de raízes como potências de expoente fracionário. ## Exercícios **1.** Analise as quatro expressões numéricas a seguir e identifique qual delas está corretamente simplificada usando a relação inversa entre potenciação e radiciação. - (A) $$\sqrt{49} = 49^2$$, pois a raiz quadrada corresponde a elevar ao quadrado. - (B) $$\sqrt[3]{64} = 4$$, pois $$4^3 = 64$$ e a cúbica desfaz a potência de expoente 3. - (C) $$\sqrt{16} = 16^2 = 256$$, pois extrair a raiz equivale a dobrar o expoente. - (D) $$\sqrt[3]{27} = 27^3$$, pois o índice da raiz torna-se o novo expoente. --- **2.** Um cubo tem volume igual a 125 cm³. Para calcular a medida de sua aresta, um estudante escreveu: > "Como volume = aresta³, então aresta = $$\sqrt[3]{125}$$." Em seguida, ele afirmou que $$\sqrt[3]{125} = 125^{\frac{1}{3}}$$. Explique, em suas próprias palavras, por que as duas expressões são equivalentes e determine o valor da aresta. --- **3.** Observe a tabela a seguir, que apresenta diferentes formas de escrever a mesma expressão matemática. **Images:** - [GENERATE] Tabela editorial moderna com duas colunas e quatro linhas de dados. Coluna esquerda: "Notação radical" — linhas: raiz quadrada de 81, raiz cúbica de 8, raiz quarta de 16, raiz quinta de 32. Coluna direita: "Notação com expoente fracionário" — linhas com espaço em branco (a preencher). Linhas e contornos em azul-marinho #003C64; cabeçalho com fundo em laranja-âmbar #F09600 e texto branco; células de dado com fundo off-white #F7F9FC; tipografia limpa, registro editorial contemporâneo de livro-texto. Todo texto na imagem deve estar em português brasileiro. | tabela-notacao-radical-fracionario.png | 4:3 A coluna da direita foi deixada em branco propositalmente. Preencha cada linha convertendo a notação radical para a notação com expoente fracionário e calcule o valor numérico de cada expressão. --- **4.** Ao simplificar a expressão $$\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^2$$, um estudante aplicou a propriedade da potência de potência. Qual é o resultado correto? - (A) $$9$$, porque $$\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^2 = 9^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^1 = 9$$. - (B) $$81$$, porque $$\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^2 = 9^{\frac{1}{2} + 2} = 9^{\frac{5}{2}}$$. - (C) $$3$$, porque $$9^{\frac{1}{2}} = 3$$ e $$3^2 = 9$$, mas o expoente exterior anula o interior. - (D) $$4,5$$, porque se divide o expoente pelo número externo: $$9^{\frac{1}{2 \div 2}} = 9^{\frac{1}{4}}$$. --- **5.** Um levantamento hipotético sobre potência solar instalada em quatro estados apresenta os seguintes valores em megawatts. O gráfico abaixo exibe esses valores. **Images:** - [GENERATE] Gráfico de barras verticais editorial moderno com quatro barras representando potência solar instalada em megawatts em quatro estados hipotéticos. Barras com valores: Estado A = 625 MW, Estado B = 512 MW, Estado C = 729 MW, Estado D = 243 MW. Eixo y rotulado "Potência instalada (MW)", eixo x com os nomes dos estados. Barras em azul-claro #7AB8D9 com contorno em azul-marinho #003C64; a barra do Estado C destacada em laranja-âmbar #F09600 como valor máximo; fundo off-white #F7F9FC; tipografia limpa. Todo texto na imagem deve estar em português brasileiro. | grafico-energia-solar-estados.png | 4:3 Um engenheiro observou que cada valor de potência é uma potência perfeita. Escreva a raiz quadrada da potência instalada no Estado A e a raiz cúbica da potência instalada no Estado B, usando também a notação de expoente fracionário para cada uma. --- **6.** Determine o valor de $$8^{\frac{2}{3}}$$ mostrando dois caminhos de cálculo: primeiro, extraindo a raiz cúbica e depois elevando ao quadrado; depois, elevando ao quadrado e então extraindo a raiz cúbica. Verifique que os dois resultados coincidem. --- **7.** Leia o trecho abaixo, retirado de uma situação de medição em projetos de arquitetura: > Em projetos de construção, calcular a diagonal de uma parede quadrada com área de 36 m² requer determinar o lado da parede. Como a área é o quadrado do lado, o lado corresponde à raiz quadrada da área. De acordo com a relação descrita, determine o lado da parede, expressando o resultado tanto na notação radical quanto na notação com expoente fracionário. Em seguida, justifique por que $$36^{\frac{1}{2}}$$ e $$\sqrt{36}$$ representam a mesma operação. --- **8.** Quatro expressões estão listadas abaixo. Identifique qual delas representa incorretamente a conversão entre notação radical e expoente fracionário. - (A) $$\sqrt[5]{32} = 32^{\frac{1}{5}}$$ - (B) $$\sqrt[4]{81} = 81^{\frac{1}{4}}$$ - (C) $$\sqrt[3]{125} = 125^{\frac{3}{1}}$$ - (D) $$\sqrt{64} = 64^{\frac{1}{2}}$$ --- **9.** O diagrama a seguir mostra o caminho de ida e volta entre uma potência e sua raiz. **Images:** - [GENERATE] Diagrama de setas bidirecional editorial moderno. Dois retângulos conectados: retângulo esquerdo com o texto "a^n" (base elevada ao expoente n), retângulo direito com o texto "raiz n-ésima de b". Seta da esquerda para a direita rotulada "radiciação (operação inversa)"; seta da direita para a esquerda rotulada "potenciação". Abaixo dos retângulos, exemplo numérico: "2³ = 8" à esquerda e "³√8 = 2" à direita. Contornos e setas em azul-marinho #003C64; rótulos das setas em laranja-âmbar #F09600 como acento; fundo off-white #F7F9FC; tipografia limpa, registro editorial contemporâneo. Todo texto na imagem deve estar em português brasileiro. | diagrama-operacoes-inversas.png | 4:3 Com base no diagrama, um aluno afirmou: "Elevar 5 ao cubo e depois extrair a raiz cúbica do resultado sempre devolve o valor original." Use um exemplo numérico com $$5^3$$ para verificar essa afirmação e explique, com suas palavras, por que isso acontece. --- **10.** Um estudante calculou $$27^{\frac{2}{3}}$$ da seguinte maneira: > "O denominador 3 indica raiz cúbica; o numerador 2 indica potência ao quadrado. Então: $$\sqrt[3]{27} = 3$$ e $$3^2 = 9$$." Avalie se o procedimento e o resultado estão corretos. Se houver erro, identifique-o e apresente o cálculo correto. - (A) O procedimento e o resultado estão corretos: $$27^{\frac{2}{3}} = 9$$. - (B) O resultado está correto, mas o procedimento deveria começar elevando ao quadrado antes de extrair a raiz. - (C) O procedimento está correto, mas o resultado deveria ser $$27^{\frac{2}{3}} = 6$$. - (D) O procedimento está correto, mas o resultado deveria ser $$27^{\frac{2}{3}} = 3$$. --- **11.** A tabela abaixo registra a relação entre a área (em m²) de quatro canteiros quadrados de uma horta escolar e o comprimento de seus lados. **Images:** - [GENERATE] Tabela editorial moderna com três colunas e cinco linhas (incluindo cabeçalho). Cabeçalho: "Canteiro", "Área (m²)", "Lado (m)". Dados: Canteiro 1 / 4 m² / ?; Canteiro 2 / 9 m² / ?; Canteiro 3 / 25 m² / ?; Canteiro 4 / 100 m² / ?. Coluna "Lado (m)" com células em branco para o aluno preencher. Linhas em azul-marinho #003C64; cabeçalho com fundo laranja-âmbar #F09600 e texto branco; alternância de fundo entre off-white #F7F9FC e branco nas linhas de dado; tipografia limpa. Todo texto na imagem deve estar em português brasileiro. | tabela-canteiros-horta.png | 4:3 Preencha a coluna "Lado (m)" para cada canteiro, expressando cada medida como potência de expoente fracionário (por exemplo, $$4^{\frac{1}{2}}$$) e calculando seu valor numérico. Em seguida, explique como a operação de extrair a raiz quadrada desfaz a operação de elevar ao quadrado. --- **12.** Escreva $$16^{\frac{3}{4}}$$ na notação radical equivalente e calcule seu valor numérico. Apresente todos os passos. --- **13.** Uma estudante precisa simplificar a expressão $$\left(64^{\frac{1}{3}}\right)^3$$. Ela aplica a propriedade da potência de potência e obtém um resultado. Qual das alternativas apresenta o procedimento e o resultado corretos? - (A) $$\left(64^{\frac{1}{3}}\right)^3 = 64^{\frac{1}{3} + 3} = 64^{\frac{10}{3}}$$, pois expoentes se somam. - (B) $$\left(64^{\frac{1}{3}}\right)^3 = 64^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 64^1 = 64$$, pois expoentes se multiplicam. - (C) $$\left(64^{\frac{1}{3}}\right)^3 = 64^{3 - \frac{1}{3}} = 64^{\frac{8}{3}}$$, pois expoentes se subtraem. - (D) $$\left(64^{\frac{1}{3}}\right)^3 = 64^{\frac{1}{9}}$$, pois os expoentes se dividem. --- **14.** Um técnico em energias renováveis registrou que uma turbina eólica produz uma potência de $$P$$ kilowatts, onde $$P = 32^{\frac{3}{5}}$$. Para calcular $$P$$, ele usou o fato de que 32 = 2⁵. Qual é o valor correto de $$P$$? - (A) 4, pois $$32^{\frac{3}{5}} = \left(\sqrt[5]{32}\right)^3 = 2^3 = 8$$, mas o técnico errou. - (B) 8, pois $$32^{\frac{3}{5}} = \left(\sqrt[5]{32}\right)^3 = 2^3 = 8$$. - (C) 6, pois $$32^{\frac{3}{5}} = \frac{3}{5} \times 32 = 19{,}2 \approx 6$$ por arredondamento. - (D) 2, pois $$32^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2$$ e o numerador não altera o resultado. --- [chapter-section: Desafio] **Desafio** **15.** Considere a expressão $$\left(a^{\frac{m}{n}}\right)^n$$, em que $$a$$ é um número positivo e $$m$$ e $$n$$ são inteiros positivos com $$n \neq 0$$. Simplifique a expressão aplicando a propriedade da potência de potência e justifique, a partir do resultado obtido, por que a operação de extrair a raiz $$n$$-ésima de uma potência é a operação inversa de elevar à potência $$n$$-ésima. Em seguida, aplique sua justificativa ao caso concreto $$\left(32^{\frac{3}{5}}\right)^5$$ para verificar o resultado. --- [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder os exercícios 1 a 14 na plataforma Teachy e receber correção automática com feedback.] [chapter-section: Para refletir — Autogestão] **Para refletir** *Autogestão.* Ao longo deste capítulo, você trabalhou com duas formas de escrever a mesma coisa: a notação radical ($$\sqrt[n]{a}$$) e a notação com expoente fracionário ($$a^{\frac{1}{n}}$$). Em alguns momentos, uma forma facilita o cálculo; em outros, a outra é mais prática. Pense: como você decide qual notação usar quando se depara com um problema? Existe uma estratégia que você desenvolveu, ou ainda está experimentando? O que ajudaria você a se sentir mais seguro nessa escolha? [Sequence 7] ## Investigue Você vai explorar como expoentes fracionários aparecem em medições reais do mundo natural — e vai coletar dados próprios para trabalhar com eles matematicamente. Saia para um espaço aberto próximo — um jardim, uma praça, o pátio da escola ou qualquer área com elementos mensuráveis. Escolha quatro objetos ou superfícies planas de formato aproximadamente quadrado (um canteiro, um azulejo, uma janela, uma caixa d'água, um painel solar, uma placa de sinalização). Para cada objeto: 1. Meça ou estime a área (em cm² ou m²) usando uma fita métrica, régua ou passos calibrados. 2. Registre a área medida. 3. Calcule o comprimento do lado usando a expressão com expoente fracionário — escreva $$A^{\frac{1}{2}}$$ e determine o valor numérico. 4. Se possível, confira medindo diretamente o lado e compare com o valor calculado. De volta à sala, organize os dados em uma tabela com quatro colunas: objeto, área medida, expressão $$A^{\frac{1}{2}}$$, lado calculado. Em seguida, escreva um parágrafo curto (5 a 8 frases) explicando como a relação entre potenciação e radiciação tornou possível calcular o lado a partir da área — e o que significa dizer que as duas operações são inversas uma da outra. **Para entregar:** a tabela com os quatro objetos preenchida e o parágrafo de análise. A atividade pode ser feita em duplas ou grupos de três. O registro pode ser feito no caderno ou em folha avulsa para apresentação em sala.