Princípio multiplicativo da contagem

# Exercícios [Sequence 6] Cada situação a seguir envolve escolhas. Antes de calcular, pense: as opções se excluem — você escolhe uma **ou** outra? Ou as escolhas se acumulam — você decide uma **e** depois outra? Isso muda tudo. Identifique o raciocínio certo e justifique. **Images:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/1c7a3fc1d67d107e2d7422aacee3d467327a492d310ce2741917f4921185b8d3.jpg — Cardápio de restaurante escrito em quadro-negro com ilustrações coloridas de pratos, emoldado em madeira rústica | Attribution: Fonte: Philh-591 - Wikimedia Commons --- **[I1]** Na cantina da escola, o cardápio do dia oferece duas opções de prato principal (arroz com feijão ou macarrão) e três opções de suco (laranja, maracujá ou goiaba). Dandara quer pedir um prato **e** um suco. a) De quantas maneiras diferentes Dandara pode montar o seu almoço? b) No dia seguinte, a cantina acrescenta uma opção de sobremesa: pudim ou gelatina. Quantas combinações de almoço completo (prato + suco + sobremesa) passam a existir? c) Compare seus resultados: adicionar mais uma etapa de escolha aumentou o total somando ou multiplicando? O que isso revela sobre o princípio utilizado? --- **[I2]** Uma cooperativa de artesanato do Nordeste vende camisetas personalizadas. Cada camiseta pode ser configurada com: - 4 cores de tecido (branco, amarelo, azul ou vermelho) - 3 estampas diferentes (mandala, xilogravura ou floral) - 2 tamanhos (P ou G) a) Quantas combinações diferentes de camiseta é possível encomendar? b) A cooperativa lança uma edição especial e **dobra** o número de cores de tecido (passando de 4 para 8). Quantas combinações existirão na nova edição? c) Uma cliente afirma: "Dobrar o número de cores vai dobrar o número de combinações." Ela está certa? Explique usando os números que você calculou. **Images:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/011d27f976b9252ef7c2cd7552757f4f484320f068c594ce8354c29ee459c08d.jpg — Camisetas e blusas em diversas cores organizadas em araras numa loja de roupas | Attribution: Fonte: Waldemar Brandt - Unsplash --- **[P1]** Em uma escola pública de Belém do Pará, o grêmio estudantil está organizando uma gincana cultural. Para participar, cada equipe deve escolher: - 1 tema para apresentação (história local, culinária paraense ou música regional) - 1 formato de apresentação (teatro, dança ou exposição) a) Quantas configurações diferentes de equipe são possíveis? b) Uma das equipes preferiu escolher **somente o tema** ou **somente o formato**, mas ainda não decidiu o outro. Se ela já descartou o tema "culinária paraense" e o formato "teatro", de quantas maneiras diferentes ela pode fazer a escolha que falta? Use o princípio correto para cada parte e explique qual usou em cada caso. --- **[P2]** Uma administradora de cartões de crédito exige que, no ato do cadastro, seja criada uma senha de quatro dígitos numéricos para autorizações de compra. Considerando que não é permitido o início de uma senha com zero nem senhas com quatro dígitos numéricos iguais, a quantidade de senhas possíveis para os cartões de crédito dessa administradora é: A) 4.320 B) 5.040 C) 10.000 D) 8.991 E) 8.990 (Fonte: UNESPAR) --- **[P3]** Uma plataforma de streaming criada por jovens empreendedores de São Paulo usa códigos de acesso formados por **2 letras maiúsculas** seguidas de **3 dígitos** (de 0 a 9). Letras e dígitos podem se repetir. a) Quantos códigos de acesso diferentes a plataforma pode gerar? b) O sistema cresceu e precisou aumentar o código para **3 letras maiúsculas** seguidas de **3 dígitos**. Quantos códigos passam a existir? Mostre o cálculo. c) Ao acrescentar apenas mais uma letra, o número de códigos foi multiplicado por quanto? Esse resultado faz sentido com o princípio que você está usando? Explique. --- **[P4]** Numa loja de instrumentos musicais em Salvador, Kaíque quer montar um conjunto de som composto por: 1 instrumento de corda (violão, cavaquinho ou viola), 1 instrumento de percussão (pandeiro, zabumba ou triângulo) e 1 instrumento de sopro (flauta ou pífano). a) Quantos conjuntos diferentes Kaíque pode montar? b) O gerente da loja diz: "Se você não quiser um instrumento de percussão, pode montar o conjunto só com corda e sopro. Nesse caso, de quantas formas diferentes você monta?" Calcule e compare com o item (a). c) Agora suponha que Kaíque queira comprar **ou** um instrumento de corda **ou** um instrumento de sopro, mas não os dois. De quantas formas ele pode escolher **um único instrumento**? Qual princípio você usou aqui? Por quê? --- **[D1]** Aysha, Bernardo e Camila estão organizando um torneio de matemática em sua turma do 8º ano. Eles precisam definir: - A ordem em que as três duplas finalistas vão se apresentar (3 possíveis posições: 1ª, 2ª e 3ª) Cada dupla ocupa uma posição diferente. a) De quantas maneiras diferentes as três duplas podem ser ordenadas para a apresentação? b) Se uma quarta dupla entrar na final, de quantas formas diferentes as quatro duplas podem ser ordenadas? c) Aysha percebeu que, ao adicionar cada nova dupla, o número de ordenações cresce muito rápido. Complete a tabela abaixo e explique o padrão que você enxerga: | Número de duplas | Cálculo | Total de ordenações | |:---:|:---:|:---:| | 2 | 2 × 1 | 2 | | 3 | | | | 4 | | | | 5 | | | --- **[D2]** Leia a situação a seguir e responda às questões. Uma sorveteria artesanal em Fortaleza oferece casquinhas com as seguintes possibilidades: - 5 sabores de sorvete - 3 tipos de cobertura (calda de chocolate, mel ou caramelo) - 2 complementos (granulado ou amendoim) O cliente escolhe **um sabor, uma cobertura e um complemento**. a) Quantas casquinhas diferentes podem ser montadas? b) Em um fim de semana especial, a sorveteria esgotou dois sabores. Com apenas 3 sabores disponíveis, quantas casquinhas diferentes ainda são possíveis? c) Uma postagem no Instagram da sorveteria dizia: "Temos mais de 20 combinações!" Isso era verdade antes do fim de semana? E depois? Justifique com os cálculos. [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática com gabarito comentado] --- [Sequence 7] [chapter-section: Vamos investigar juntos] Chegou a hora de levar o princípio multiplicativo para fora do livro. Em grupos de três ou quatro pessoas, escolham um contexto real da escola ou do bairro de vocês — pode ser a cantina, a biblioteca, uma loja próxima, o uniforme escolar ou qualquer outra situação que envolva fazer escolhas sucessivas. **O que vocês vão fazer:** 1. Identifiquem as etapas de escolha do contexto escolhido e registrem quantas opções existem em cada etapa. 2. Verifiquem se as escolhas são realmente independentes umas das outras — ou seja, a decisão em uma etapa não elimina opções nas outras. 3. Calculem o total de possibilidades usando o princípio multiplicativo e mostrem o cálculo passo a passo. 4. Criem uma representação visual: pode ser um diagrama de árvore parcial, uma tabela ou um infográfico simples. 5. Apresentem para a turma em até três minutos, explicando por que escolheram esse contexto e o que descobriram. **Para pensar juntos:** o número de possibilidades que vocês encontraram surpreendeu o grupo? O que aconteceria se uma das etapas tivesse o dobro de opções? --- ## Gabarito comentado *(Esta seção é de uso do professor e deve ser impressa separadamente do caderno do aluno.)* **[I1]a.** 2 × 3 = **6 combinações**. Dandara faz duas escolhas independentes e sucessivas (prato E suco), então multiplica. **[I1]b.** 2 × 3 × 2 = **12 combinações**. Uma nova etapa independente foi acrescentada — multiplica-se por mais um fator. **[I1]c.** O total foi multiplicado (de 6 para 12, ou seja, dobrou). Isso revela o princípio multiplicativo: cada nova etapa de escolha independente multiplica o total de possibilidades — não soma. --- **[I2]a.** 4 × 3 × 2 = **24 combinações**. **[I2]b.** 8 × 3 × 2 = **48 combinações** (dobrando de 4 para 8 cores). **[I2]c.** Sim, ela está certa. Antes: 24 combinações; depois: 48 combinações. Dobrar o número de cores (de 4 para 8) dobrou exatamente o total de combinações (24 × 2 = 48). Isso faz sentido pelo princípio multiplicativo: o total de combinações é proporcional a cada fator — se um dos fatores dobra, o produto todo dobra. --- **[P1]a.** 3 × 3 = **9 configurações** diferentes. **[P1]b.** - Escolha somente do formato (após descartar "teatro"): 2 formatos restantes → **2 maneiras**. - Escolha somente do tema (após descartar "culinária paraense"): 2 temas restantes → **2 maneiras**. - Os dois casos são alternativos (a equipe fará uma OU a outra escolha): 2 + 2 = **4 maneiras** ao todo. - Princípio usado: aditivo, pois as duas situações são mutuamente exclusivas (escolher tema OU formato, não os dois ao mesmo tempo). --- **[P2]** Resposta correta: **D) 8.991**. O 1º dígito tem 9 opções (1 a 9, excluindo o zero). Os outros três dígitos têm 10 opções cada → total sem restrição de dígitos iguais: 9 × 10 × 10 × 10 = 9.000. As senhas com quatro dígitos iguais que não começam com zero são: 1111, 2222, 3333, 4444, 5555, 6666, 7777, 8888, 9999 → 9 senhas inválidas. Total válido: 9.000 − 9 = **8.991**. (Fonte: UNESPAR) --- **[P3]a.** 26 × 26 × 10 × 10 × 10 = **676.000 códigos**. **[P3]b.** 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 = **17.576.000 códigos**. **[P3]c.** 17.576.000 ÷ 676.000 = **26 vezes**. Sim, faz sentido: acrescentar mais uma posição de letra significa multiplicar o total anterior por 26 (as 26 letras possíveis nessa nova posição). O princípio multiplicativo mostra que cada novo estágio independente multiplica — e não soma — o total de possibilidades. --- **[P4]a.** 3 × 3 × 2 = **18 conjuntos** diferentes. **[P4]b.** 3 × 2 = **6 conjuntos** (sem percussão). O total diminuiu porque foi retirado um dos fatores da multiplicação. **[P4]c.** Corda: 3 opções. Sopro: 2 opções. Como é UMA escolha ou outra (mutuamente exclusivas), usa-se o princípio aditivo: 3 + 2 = **5 maneiras**. O princípio aditivo se aplica quando as alternativas são mutuamente exclusivas — escolher um instrumento de corda impede escolher um de sopro naquele ato. --- **[D1]a.** A 1ª dupla pode ser qualquer uma das 3; a 2ª, qualquer uma das 2 restantes; a 3ª, a que sobrou: 3 × 2 × 1 = **6 maneiras**. **[D1]b.** 4 × 3 × 2 × 1 = **24 maneiras**. **[D1]c.** Tabela esperada: | Número de duplas | Cálculo | Total de ordenações | |:---:|:---:|:---:| | 2 | 2 × 1 | 2 | | 3 | 3 × 2 × 1 | 6 | | 4 | 4 × 3 × 2 × 1 | 24 | | 5 | 5 × 4 × 3 × 2 × 1 | 120 | Padrão: ao entrar uma nova dupla com *n* equipes no total, o número de ordenações é multiplicado por *n*. O total cresce muito rápido porque cada novo fator que se incorpora ao produto é maior que o anterior. --- **[D2]a.** 5 × 3 × 2 = **30 casquinhas** diferentes. **[D2]b.** 3 × 3 × 2 = **18 casquinhas** diferentes. **[D2]c.** Antes: 30 > 20 → a afirmação era **verdadeira**. Depois: 18 < 20 → a afirmação passou a ser **falsa**. Ao reduzir o número de sabores disponíveis, o princípio multiplicativo mostra que o total cai proporcionalmente: de 5 para 3 sabores significa que o total fica multiplicado por 3/5, e 30 × (3/5) = 18.