Princípio multiplicativo da contagem

# Problemas com Eventos Independentes [Section 6] Aplique os princípios de contagem para resolver cada situação abaixo. ## Exercícios [I1] Um lanchonete oferece 3 tipos de pão (francês, integral e ciabatta) e 4 tipos de recheio (frango, atum, queijo e presunto). Cada sanduíche é formado pela escolha de 1 pão e 1 recheio. Quantos sanduíches diferentes podem ser montados? (A) 7 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 16 **Gabarito:** D --- [I2] Uma senha de acesso a um aplicativo é formada por 2 letras (do alfabeto com 26 letras, podendo repetir) seguidas de 2 algarismos (de 0 a 9, podendo repetir). Quantas senhas diferentes podem ser criadas com esse formato? (A) 520 (B) 2.600 (C) 6.760 (D) 67.600 (E) 676.000 **Gabarito:** D --- [I3] No carnaval de uma escola, os alunos precisam montar uma fantasia escolhendo: - 1 chapéu entre 5 opções, - 1 capa entre 4 opções, - 1 máscara entre 3 opções. Aplique o Princípio Multiplicativo e escreva o número total de fantasias diferentes que podem ser montadas. Apresente os cálculos. [LINES: 4] --- [I4] Observe o diagrama de árvore abaixo, que representa as possibilidades de escolha de trajeto entre as cidades A, B e C. **Images:** - [PLOT: Diagrama de árvore com raiz no nó "A"; dois galhos saindo de A rotulados "Estrada 1" e "Estrada 2" chegando ao nó intermediário "B"; de cada um desses galhos saem três sub-galhos rotulados "Rota X", "Rota Y" e "Rota Z" saindo de B e chegando ao nó "C"; fundo branco, fonte legível, estilo educacional | arvore-trajeto-abc.png | 4:3] a) Quantos caminhos diferentes existem de A até C passando por B? b) Qual princípio de contagem justifica esse resultado? [LINES: 4] --- [I5] Uma escola realiza eleição para grêmio estudantil. Há 5 candidatos para presidente e 3 candidatos para vice-presidente, sendo que cada cargo é disputado de forma independente. Um aluno precisa votar em 1 candidato para cada cargo. De quantas maneiras diferentes esse aluno pode votar? (A) 8 (B) 10 (C) 15 (D) 16 (E) 25 **Gabarito:** C --- [I6] Em uma fábrica de uniformes, cada peça pode ser confeccionada em 4 cores de camiseta, 3 cores de bermuda e 2 tipos de calçado. A fábrica quer saber quantos uniformes completos distintos ela pode produzir para uma equipe esportiva. a) Calcule o número total de uniformes possíveis utilizando o Princípio Multiplicativo. b) Se a fábrica decidir acrescentar mais 1 cor de camiseta ao catálogo, quantos uniformes distintos passarão a ser possíveis? Explique como a inclusão de uma única opção altera o resultado. [LINES: 6] --- [I7] A figura abaixo representa um cardápio de uma cantina escolar. Nele constam: **Images:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/1c7a3fc1d67d107e2d7422aacee3d467327a492d310ce2741917f4921185b8d3.jpg — Cardápio de restaurante em quadro-negro com moldura rústica, exibindo diferentes categorias de pratos e opções disponíveis - [PLOT: Tabela-cardápio dividida em três colunas com cabeçalhos "Prato Principal", "Acompanhamento" e "Bebida". Coluna 1: Arroz com feijão, Macarrão, Frango grelhado. Coluna 2: Salada, Legumes refogados. Coluna 3: Suco, Água, Refrigerante. Estilo tabela educacional limpa, fundo branco | cardapio-cantina.png | 4:3] Considerando que cada aluno escolhe exatamente 1 item de cada coluna, calcule quantas refeições diferentes podem ser montadas. Mostre o raciocínio passo a passo. [LINES: 5] --- [I8] Uma loja de roupas tem 6 camisetas e 4 calças à venda. Isabela quer comprar apenas uma peça de roupa. a) De quantas maneiras Isabela pode escolher sua compra? Qual princípio de contagem você usou? b) Se Isabela decidir comprar 1 camiseta **e** 1 calça, de quantas maneiras ela poderá fazer essa escolha? Qual princípio você usou agora? c) Explique em suas palavras a diferença entre as duas situações. [LINES: 7] --- [I9] Pense em uma situação do seu cotidiano que envolva escolhas sucessivas e independentes. a) Descreva a situação criada, indicando quantas etapas de escolha existem e quantas opções há em cada etapa. b) Calcule o número total de possibilidades usando o Princípio Multiplicativo. [LINES: 8] --- [I10] *Em uma competição de robótica, cada equipe deve programar um robô para percorrer um labirinto com 3 seções. Na primeira seção, há 2 caminhos possíveis; na segunda seção, há 3 caminhos possíveis; e na terceira seção, há 4 caminhos possíveis. Os caminhos de cada seção são independentes entre si.* *Uma equipe observou que, se bloquearem um dos caminhos da primeira seção, o número total de rotas possíveis cai significativamente.* Com base no Princípio Multiplicativo, qual é a redução no número total de rotas possíveis quando um dos caminhos da primeira seção é bloqueado? (A) 4 (B) 6 (C) 12 (D) 24 (E) 36 **Gabarito:** C --- [I11] *Em um torneio de xadrez escolar, cada participante recebe um código de identificação formado por:* *— 1 letra maiúscula (A, B ou C), indicando a categoria de idade;* *— 1 algarismo de 1 a 4, indicando a rodada inicial;* *— 1 cor (branca ou preta), indicando a cor das peças na primeira partida.* a) Quantos códigos diferentes podem ser gerados? Mostre o cálculo. b) A organização do torneio decidiu adicionar uma nova categoria de idade (letra D). Sem refazer o cálculo do zero, explique como o número total de códigos se altera e qual é o novo total. c) Se, em vez de adicionar uma categoria, a organização reduzisse o número de rodadas iniciais de 4 para 3, qual seria o novo total de códigos? O efeito dessa mudança é maior ou menor do que adicionar uma categoria? Justifique comparando os dois resultados. [LINES: 10] --- [I12] *Uma pesquisa sobre uso de tecnologia por jovens brasileiros revelou que, em uma escola pública de São Paulo, 78% dos alunos do 8º ano possuem smartphone. Esses alunos precisam criar uma senha de desbloqueio de 4 dígitos (cada dígito de 0 a 9, com repetição permitida).* a) Quantas senhas de 4 dígitos são possíveis? Apresente o cálculo usando o Princípio Multiplicativo. b) Um aluno decide que a senha não pode começar com 0 (para evitar confusão). Com essa restrição, quantas senhas ainda são possíveis? Explique sua estratégia de cálculo. c) Outro aluno afirma: "Se eu usar apenas dígitos pares (0, 2, 4, 6, 8) nos 4 algarismos, minha senha será mais segura porque há mais combinações." Essa afirmação está correta? Calcule e compare o número de senhas nos dois casos para justificar sua resposta. [LINES: 10] --- [INTERACTIVE: D | responda na plataforma | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática com feedback personalizado] --- **Referência de Imagens** | Tipo | Indicação | Descrição | |------|-----------|-----------| | Banco de dados | https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/1c7a3fc1d67d107e2d7422aacee3d467327a492d310ce2741917f4921185b8d3.jpg | Cardápio em quadro-negro com moldura rústica — contexto autêntico para I7 | | Para plotar | arvore-trajeto-abc.png | Diagrama de árvore com nós A → B → C, mostrando 2 estradas × 3 rotas = 6 caminhos | | Para plotar | cardapio-cantina.png | Tabela-cardápio com Prato Principal (3 opções), Acompanhamento (2 opções) e Bebida (3 opções) |