Problemas com Dízimas Periódicas

# Problemas com Dízimas Periódicas [Section 6] Você já estudou como identificar dízimas periódicas simples e compostas e como obter suas frações geratrizes pelos métodos algébrico e prático. Agora é a hora de colocar tudo isso em ação, resolvendo problemas que integram as duas situações. ## Exercícios **1.** [I1] Classifique cada dízima periódica abaixo como **simples** ou **composta** e identifique o período e, quando houver, o antiperíodo: a) 0,777… b) 0,1333… c) 0,545454… d) 0,2166… e) 0,858585… --- **2.** [I3] Usando o **método prático dos noves**, encontre a fração geratriz de cada dízima periódica simples abaixo. Simplifique quando possível. a) 0,444… b) 0,181818… c) 0,123123123… --- **3.** [I2] Analise a afirmação a seguir e indique se é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta com base na definição de dízima periódica simples. > "A dízima 0,1̄2̄ é uma dízima periódica simples, pois apresenta dois algarismos que se repetem logo após a vírgula." --- **4.** [I4] Observe o diagrama abaixo, que representa a estrutura do número 0,041666… ``` 0 , 0 4 1 6 6 6 … └──┘ └───── antiperíodo período ``` A partir da leitura do diagrama: a) Identifique o antiperíodo e o período dessa dízima. b) Determine a fração geratriz pelo método algébrico, mostrando todas as etapas. --- **5.** [I5] Quatro estudantes apresentaram as frações geratrizes a seguir para a dízima 0,1666…: | Estudante | Fração apresentada | |-----------|-------------------| | Ana | 16/99 | | Bruno | 15/90 | | Carla | 16/90 | | Diego | 1/6 | Qual estudante encontrou a fração geratriz correta? Justifique por que os demais erraram. --- **6.** [I6] Uma professora escreveu na lousa o seguinte procedimento para encontrar a fração geratriz de 0,3666…: > Passo 1: x = 0,3666… > Passo 2: 10x = 3,666… > Passo 3: 100x = 36,666… > Passo 4: 100x − 10x = 36,666… − 3,666… > Passo 5: 90x = 33 > Passo 6: x = 33/90 = 11/30 Explique, passo a passo, por que a professora multiplicou por 10 e por 100 (e não por outras potências de 10). Relacione cada escolha ao tamanho do antiperíodo e do período da dízima. --- **7.** [I7] *Em uma aula de culinária, a receita de um bolo pede 0,4166… xícaras de açúcar. A estudante Mariana precisa representar essa medida como uma fração para usar uma balança de precisão, que não aceita números decimais infinitos.* Determine a fração geratriz da medida 0,4166… e escreva qual fração Mariana deve usar. Mostre o procedimento completo. --- **8.** [I8] *Em um laboratório de ciências, mediu-se a densidade de uma substância como 1,3666… g/cm³. Para calcular a massa exata de uma amostra, o cientista precisa expressar essa densidade como uma fração irredutível.* Determine a fração geratriz de 1,3666… e reduza-a à forma irredutível. --- **9.** [I9] *Uma equipe de construção civil precisa calcular o comprimento exato de três peças de madeira, cujas medidas (em metros) foram anotadas como dízimas periódicas: 0,8333…, 0,4166… e 0,5833…* a) Obtenha a fração geratriz de cada medida. b) Ordene as três frações da menor para a maior, mostrando o procedimento de comparação. --- **10.** [I10] *A fração 1/7 gera a dízima periódica 0,142857142857… Uma calculadora exibiu o número 0,285714285714… como resultado de uma operação. Sabendo que esse número também é uma dízima periódica com período de 6 algarismos, um estudante afirmou que a fração geratriz desse número é 2/7.* Para verificar a afirmação do estudante sem usar o método algébrico completo, a estratégia mais eficiente é: (A) Dividir 2 por 7 na calculadora e comparar o resultado com 0,285714… (B) Multiplicar 0,142857… por 2 e verificar se o produto é igual a 0,285714… (C) Calcular 1/7 + 1/7 e verificar se a soma tem o mesmo período que 0,285714… (D) Aplicar o método prático dos noves com numerador 285714 e denominador 999999, e simplificar o resultado. (E) Concluir que 0,285714… é o dobro de 0,142857…, sem precisar verificar a fração geratriz correspondente. --- **11.** [I12] *O número π (pi) é frequentemente aproximado como 3,14 em cálculos cotidianos. Já a fração 22/7 é uma aproximação clássica usada há séculos. Um estudante confundiu essa situação e afirmou: "22/7 = 3,14, então 3,14 é a fração geratriz de 22/7."* a) Calcule a dízima gerada por 22/7 e determine se ela é periódica simples, composta ou nenhuma das duas. b) Explique o erro conceitual do estudante, diferenciando "aproximação decimal" de "fração geratriz". --- **12.** [I11] *Uma pesquisadora está analisando as frações geratrizes obtidas por dois métodos diferentes para a mesma dízima 0,4166… O método algébrico e o método prático produziram os seguintes resultados antes da simplificação:* - Método algébrico: 375/900 - Método prático: 375/900 Após verificar que os resultados coincidem, a pesquisadora levanta a seguinte questão: "Será que o método prático é sempre uma forma simplificada do método algébrico, ou são procedimentos independentes?" a) Aplique o método algébrico à dízima 0,4166… e mostre como a expressão 375/900 surge das equações. b) Explique, com base nos passos algébricos, por que o denominador da fração geratriz de uma dízima composta é sempre formado por noves seguidos de zeros. [INTERACTIVE: D | responda na plataforma | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática] --- [chapter-callout-label: Zoom] **Para conferir seu trabalho:** ao obter uma fração geratriz, divida o numerador pelo denominador e verifique se o resultado reproduz exatamente o padrão de repetição da dízima original. Se sim, a conversão está correta. **Imagens:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/4760052cfd3e18733aa7191d9819afa3.png — Equivalência entre a fração 1/3 e sua representação decimal 0,333…, ilustrando que a mesma quantidade pode ser escrita de duas formas. Use junto ao exercício 2 para reforçar a ideia de conversão entre dízima simples e fração.