Problemas Práticos com Sequências Não Recursivas

# Problemas Práticos com Sequências Não Recursivas [Sequence 6] Eu, Harry Potter, sei que em Hogwarts nenhum feitiço se aprende de verdade sem colocá-lo em prática: será que você já consegue calcular qualquer termo de uma sequência não recursiva, representar sua lei em álgebra e construir um fluxograma completo, tudo de uma vez, como num encantamento integrado? Em resumo, chegou a hora de reunir todos os poderes que você desenvolveu ao longo deste capítulo e aplicá-los em problemas do mundo real. ## Exercícios [I1] (DOK 1 — Identificação) Observe as quatro sequências numéricas abaixo: - Sequência A: 3, 6, 9, 12, 15, … - Sequência B: 2, 4, 8, 16, 32, … - Sequência C: 1, 3, 6, 10, 15, … - Sequência D: 5, 10, 15, 20, 25, … Em quais dessas sequências é possível calcular o valor do 100º termo sem conhecer o 99º termo? (A) Apenas A e B. (B) Apenas C e D. (C) A, B e D, mas não C. (D) Apenas A e D. (E) A, B, C e D. **Gabarito:** C --- [I2] (DOK 1 — Identificação) A tabela abaixo relaciona a posição $n$ e o valor do termo $a_n$ de uma sequência: | $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |-----|---|---|---|---|---| | $a_n$ | 4 | 7 | 10 | 13 | 16 | Qual expressão algébrica representa a regra de formação dessa sequência em função da posição $n$? (A) $a_n = n + 3$ (B) $a_n = 3n + 1$ (C) $a_n = 4n$ (D) $a_n = 2n + 2$ (E) $a_n = 3n + 4$ **Gabarito:** B --- [I3] (DOK 2 — Aplicação) Um estudante afirma: *"Para saber o 50º termo de uma sequência, basta saber o 49º termo e a razão."* Classifique a afirmação como verdadeira ou falsa e justifique sua resposta, distinguindo o que caracteriza uma sequência recursiva de uma não recursiva. [LINES: 5] --- [I4] (DOK 2 — Aplicação) A sequência abaixo representa o número de pontos que formam triângulos equiláteros de lados 1, 2, 3, 4, … unidades: > Triângulo de lado 1: 3 pontos > Triângulo de lado 2: 6 pontos > Triângulo de lado 3: 10 pontos > Triângulo de lado 4: 15 pontos Observe que o número de pontos segue uma sequência. Qual é o valor do termo de posição $n = 10$ dessa sequência? (A) 55 (B) 60 (C) 66 (D) 45 (E) 78 **Gabarito:** C --- [I5] (DOK 2 — Representação algébrica) Uma escola organiza assentos em uma quadra para uma apresentação. Na primeira fileira há 8 cadeiras, na segunda há 12, na terceira há 16, e assim por diante, sempre acrescentando 4 cadeiras por fileira. a) Escreva a expressão algébrica $a_n$ que representa o número de cadeiras na $n$-ésima fileira. b) Calcule quantas cadeiras haverá na 15ª fileira. [LINES: 5] --- [I6] (DOK 2 — Fluxograma / Algoritmo) O fluxograma abaixo foi construído para calcular termos de uma sequência não recursiva: ``` [INÍCIO] ↓ [Leia n] ↓ [Calcule T ← 2 × n + 5] ↓ [Exiba T] ↓ [FIM] ``` a) Identifique os três primeiros termos produzidos pelo fluxograma para $n = 1, 2, 3$. b) O fluxograma é adequado para calcular qualquer termo da sequência sem depender de termos anteriores? Justifique. [LINES: 5] --- [I7] (DOK 3) Uma empresa de embalagens produz caixas quadradas cujo lado aumenta progressivamente. O número de quadradinhos de papel necessários para cobrir a tampa de cada caixa (de lado $n$ cm) segue a regra $T(n) = n^2$, em que $n$ é o número de quadradinhos por lado. Um operário deseja verificar rapidamente quantos quadradinhos serão necessários para qualquer encomenda, sem precisar calcular término a término. A representação algébrica não recursiva mais adequada para esse operário é: (A) $T(n) = T(n-1) + 2n - 1$, pois usa o termo anterior. (B) $T(n) = n^2$, pois depende apenas da posição $n$. (C) $T(n) = n + (n-1)^2$, pois soma termos consecutivos. (D) $T(n) = 2 \cdot T(n-1)$, pois duplica o valor anterior. (E) $T(n) = n \cdot (n+1) / 2$, pois é a fórmula triangular. **Gabarito:** B --- [I8] (DOK 2 — Construção de fluxograma) Uma sequência não recursiva é definida pela fórmula $a_n = 5n - 2$. Construa um fluxograma completo que, ao receber a posição $n$ como entrada, calcule e exiba o valor do termo correspondente dessa sequência. Certifique-se de incluir: início, entrada de $n$, cálculo, saída do resultado e fim. [LINES: 8] --- [I9] (DOK 2 — Identificação em contexto) Um biólogo registra o crescimento de uma colônia de bactérias em condições controladas. A tabela abaixo mostra o número de bactérias no tempo $t$ (em horas): | Tempo $t$ (h) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---|---| | Bactérias | 100 | 200 | 400 | 800 | 1 600 | Considerando que a fórmula geral é $B(t) = 100 \cdot 2^t$: (A) A sequência é recursiva, pois cada valor depende do anterior. (B) A sequência é não recursiva, pois cada valor pode ser calculado diretamente a partir de $t$. (C) A sequência é não recursiva, pois os valores decrescem. (D) A sequência é recursiva, pois a base é sempre 2. (E) Não é possível classificar sem conhecer o termo anterior. **Gabarito:** B --- **Images:** - PLOT: Sequência figural de cruzes formadas por losangos: figura 1 tem 1 losango central, figura 2 tem 5 (1 central + 4 ao redor), figura 3 tem 9, figura 4 tem 13. Disposição lado a lado com rótulo "Figura n" abaixo de cada figura. Fundo branco, losangos em azul claro, contornos em azul escuro. | sequencia-losangos-cruz.png | 3:1 [I10] (DOK 2 — Representação algébrica em contexto figural) *Descrição da imagem: sequência de figuras formadas por losangos dispostos em cruz. A figura 1 tem 1 losango central; a figura 2 tem 5 losangos (1 central + 4 ao redor); a figura 3 tem 9 losangos; a figura 4 tem 13 losangos.* Com base na sequência figural descrita acima: a) Identifique a expressão algébrica que representa o número de losangos na figura de posição $n$. b) Determine o número de losangos na figura de posição $n = 20$. [LINES: 5] --- [I11] (DOK 3 — Síntese e integração) Um programador precisa criar um algoritmo que exiba os primeiros 10 termos da sequência $a_n = 3n^2 - n$. *Fluxograma proposto pelo programador:* ``` [INÍCIO] ↓ [Defina n ← 1] ↓ [Calcule a ← 3 × n² − n] ↓ [Exiba a] ↓ [n ← n + 1] ↓ [n ≤ 10?] — Sim → volta ao cálculo — Não → [FIM] ``` a) Verifique se o fluxograma é correto calculando os valores para $n = 1$ e $n = 2$. b) Explique por que esse algoritmo caracteriza uma sequência não recursiva, e não uma recursiva. [LINES: 8] --- [I12] (DOK 3 — Aplicação integrada e raciocínio) Uma artesã produz colares usando miçangas. No modelo 1, usa 7 miçangas; no modelo 2, usa 12; no modelo 3, usa 17; no modelo 4, usa 22. A artesã quer saber quantas miçangas usará no modelo 50 para encomendar o material com antecedência. a) Escreva a expressão algébrica não recursiva $a_n$ que representa o número de miçangas no modelo $n$. b) Calcule o total de miçangas necessário para o modelo 50. c) Construa um fluxograma simplificado que permita calcular o número de miçangas em qualquer modelo, recebendo $n$ como entrada. [LINES: 10] [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática]