Problemas Práticos com Sequências Recursivas

# Problemas Práticos com Sequências Recursivas [Sequence 6] Eu, Harry Potter, aprendi em Hogwarts que o verdadeiro domínio de qualquer feitiço só chega depois de muita prática. Aqui você vai colocar em ação tudo o que já estudou sobre sequências recursivas: identificar se uma sequência é recursiva, encontrar a regra de formação e construir fluxogramas para prever os próximos termos. Vamos investigar isso juntos? ## Exercícios [I1] (EF08MA11-M01) Considere as quatro sequências abaixo: | Sequência | Primeiros termos | |-----------|-----------------| | P | 2, 4, 6, 8, 10, … | | Q | 1, 1, 2, 3, 5, 8, … | | R | 3, 6, 12, 24, 48, … | | S | 1, 3, 4, 7, 11, … | Quais sequências da tabela **não podem** ser determinadas diretamente pela posição do termo, sendo necessário conhecer os termos anteriores para calculá-las? (A) Apenas P e R. (B) Apenas Q e S. (C) P, Q, R e S, pois todas dependem de termos anteriores. (D) Apenas Q. (E) Q, R e S. **Gabarito:** (B) --- [I2] (EF08MA11-M02) Observe a sequência: 2, 6, 18, 54, 162, … Qual das alternativas expressa corretamente a regra de formação dessa sequência em termos do termo anterior? (A) $a_n = a_{n-1} + 4$ (B) $a_n = 3 \cdot a_{n-1}$ (C) $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ (D) $a_n = 2 \cdot a_{n-1} + 2$ (E) $a_n = a_{n-1}^2$ **Gabarito:** (B) --- [I3] (EF08MA11-M02) A sequência de Fibonacci é definida por: $F_1 = 1$, $F_2 = 1$, e $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ para $n \geq 3$. Qual é o 8º termo dessa sequência? (A) 13 (B) 18 (C) 21 (D) 25 (E) 34 **Gabarito:** (C) --- [I4] (EF08MA11-M02) Uma estudante analisou a sequência 5, 8, 11, 14, 17, … e disse: "Cada termo é obtido somando 3 ao anterior, então essa sequência é recursiva." Assinale a alternativa que apresenta a melhor avaliação da afirmação da estudante. (A) A estudante está certa, pois toda sequência aritmética é recursiva. (B) A estudante está errada, pois sequências aritméticas nunca são recursivas. (C) A estudante está certa: como cada termo depende do anterior para ser calculado, a sequência é recursiva. (D) A estudante está errada, pois sequências recursivas precisam depender de dois termos anteriores, não de apenas um. (E) A estudante está parcialmente certa: a sequência é aritmética, mas não recursiva. **Gabarito:** (C) --- [I5] (EF08MA11-M02) Observe a sequência abaixo e determine a regra de formação: $$10, \ 7, \ 4, \ 1, \ {-2}, \ \ldots$$ a) Escreva a regra de formação dessa sequência usando a notação $a_n = \ldots$, expressando cada termo em função do anterior. b) Calcule o 7º e o 8º termos da sequência. [LINES: 5] --- [I6] (EF08MA11-M01 / M02) Uma artesã organiza contas coloridas em fileiras para fazer um colar. A primeira fileira tem 2 contas, a segunda tem 5 contas e cada fileira seguinte tem 3 contas a mais do que a fileira anterior. a) Escreva a regra de formação recursiva do número de contas em cada fileira. b) Quantas contas há na 6ª fileira? [LINES: 5] --- [I7] (EF08MA11-M03) O fluxograma a seguir descreve um algoritmo para gerar termos de uma sequência numérica. **Images:** - [PLOT] Fluxograma com: bloco Início (oval), processo "Defina a₁ = 3 e a₂ = 5" (retângulo), processo "Faça n = 3" (retângulo), decisão "n ≤ 8?" (losango) com ramo SIM levando a processo "aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂" (retângulo) → processo "n = n + 1" (retângulo) → retorna ao losango, e ramo NÃO levando a Fim (oval). Setas conectando todos os blocos. Estilo limpo em preto e branco, fundo branco. | fluxograma-sequencia-a1-3-a2-5.png | 9:16 Com base no fluxograma, assinale a alternativa que apresenta os seis primeiros termos da sequência gerada. (A) 3, 5, 8, 13, 21, 34 (B) 3, 5, 7, 9, 11, 13 (C) 3, 5, 15, 45, 135, 405 (D) 3, 5, 8, 11, 14, 17 (E) 3, 5, 8, 16, 32, 64 **Gabarito:** (A) --- [I8] (EF08MA11-M03) Um algoritmo para gerar os termos de uma sequência recursiva pode ser representado por um fluxograma. Analise o algoritmo descrito a seguir em linguagem informal: 1. Defina $a_1 = 1$. 2. Para calcular cada novo termo, multiplique o termo anterior por 2 e some 1. 3. Repita o processo até obter o 6º termo. a) Escreva a regra de formação recursiva dessa sequência. b) Construa o fluxograma correspondente a esse algoritmo, indicando os blocos de **Início**, **processo**, **decisão** ($n \leq 6$?) e **Fim**. Identifique o tipo de cada bloco. [LINES: 10] --- [I9] (EF08MA11-M01 / M02 / M03) *Uma empresa de logística registrou o número de entregas realizadas por dia durante uma semana. Na segunda-feira, foram feitas 15 entregas; na terça-feira, 20 entregas. A partir do terceiro dia, o número de entregas é sempre igual à soma das entregas dos dois dias anteriores, seguindo a regra $E_n = E_{n-1} + E_{n-2}$.* Com base nesse padrão recursivo, qual é o número total de entregas previsto para o sétimo dia? (A) 185 (B) 195 (C) 205 (D) 215 (E) 225 **Gabarito:** (C) --- [I10] (EF08MA11-M02 / M03) *No jogo "Torre de Hanói", o objetivo é transferir uma pilha de discos de um pino para outro, movendo um disco de cada vez. O número mínimo de movimentos para transferir $n$ discos segue a sequência: $M_1 = 1$, $M_2 = 3$, $M_3 = 7$, $M_4 = 15$, $M_5 = 31$, …* Analise os termos da sequência e responda: a) Identifique a regra de formação recursiva que relaciona cada termo ao anterior. b) Represente em um fluxograma o algoritmo que calcula o número mínimo de movimentos para os primeiros 6 valores de $n$, partindo de $M_1 = 1$. O fluxograma deve conter os blocos de **Início**, **processo**, **decisão** e **Fim**, devidamente identificados. [LINES: 12] [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na plataforma Teachy e receber correção automática] Em resumo, identificar sequências recursivas, expressar sua regra de formação e representá-la em fluxogramas são habilidades que aparecem desde o planejamento de uma horta até o funcionamento de aplicativos no seu celular. Como se fosse um feitiço que se repete com uma nova pitada a cada lançamento, a lógica recursiva está em muitos lugares ao seu redor! [chapter-section: Sabia?] A sequência de Fibonacci aparece na natureza com surpreendente frequência: no número de espirais de uma pinha, na disposição das sementes de um girassol e até na forma de algumas conchas. Você consegue observar algum padrão assim perto de você? **Images:** - [GENERATE] Ilustração estilo livro didático mostrando os primeiros termos da sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13) dispostos em quadrados formando uma espiral, com a espiral traçada sobre os quadrados. Estilo vetorial limpo, cores suaves em azul e verde, fundo branco. | fibonacci-espiral-quadrados.png | 4:3