Regra de Três Composta

# Regra de Três Composta [Sequence 4] Na aula anterior, você aprendeu a lidar com a regra de três simples: dois pares de grandezas, uma relação de proporcionalidade, e um valor desconhecido a encontrar. Eu, Harry Potter, também já usei esse raciocínio antes de chegar em Hogwarts — e posso garantir que o próximo passo é ainda mais interessante. O que fazemos quando o problema envolve **três ou mais grandezas ao mesmo tempo**? Para isso, existe a **regra de três composta**. ## Quando a situação envolve mais de duas grandezas Imagine que uma equipe de operários está construindo um muro. O tempo que levam depende de quantos operários trabalham, mas também de quantos metros de muro precisam ser erguidos. Duas informações diferentes influenciam o mesmo resultado! Como você combinaria esses dados para descobrir o tempo necessário? Esse é exatamente o tipo de situação que a regra de três composta foi criada para resolver. A regra de três composta é usada quando um problema envolve **três ou mais grandezas** relacionadas por proporcionalidade direta ou inversa. A ideia central é que, se uma grandeza é proporcional a outras duas simultaneamente, ela é proporcional ao produto dessas duas grandezas. **Images:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/94a3790d40e59e6b17251904375ec2ccda882f1ba0feae34abc9597b15ce4ef2.jpg — Canteiro de obras com operários, blocos empilhados e andaimes, ilustrando o contexto de múltiplas variáveis: trabalhadores, tempo e quantidade produzida | Attribution: Fonte: Mostafameraji - Wikimedia Commons ## Os tipos de proporcionalidade Antes de montar qualquer cálculo, é preciso identificar o tipo de relação entre cada par de grandezas. Em Hogwarts, eu aprendi que identificar o feitiço certo é metade da batalha — e na regra de três composta não é diferente. Analise cada grandeza em relação à incógnita (o valor desconhecido): - **Relação direta:** quando a grandeza aumenta, a incógnita também aumenta. Por exemplo, mais metros de muro a construir implicam mais dias de trabalho. - **Relação inversa:** quando a grandeza aumenta, a incógnita diminui. Por exemplo, mais operários trabalhando implicam menos dias necessários. A análise deve ser feita **par a par**: isole cada grandeza e pergunte a si mesmo — se ela aumentar, o que acontece com o valor que estou buscando? **Images:** - PLOT: Diagrama com três grandezas dispostas em torno de uma caixa central "Dias de trabalho = x". À esquerda, caixa "Número de operários" com seta vermelha apontando para cima (↑) e texto "mais operários → menos dias (inversa)". À direita, caixa "Metros de muro" com seta azul apontando para cima (↑) e texto "mais metros → mais dias (direta)". Use vermelho para relações inversas e azul para diretas. | setas-proporcionalidade.png | 4:3 ## O método passo a passo Eu descobri que existe uma sequência certeira para resolver qualquer problema de regra de três composta — como um mapa do tesouro com cinco passos. Qual desses passos você acha que é o mais importante? **Passo 1 — Liste as grandezas.** Identifique todas as variáveis do problema e registre os valores conhecidos e o valor desconhecido (x). **Passo 2 — Analise par a par.** Para cada grandeza auxiliar, verifique se a relação com a incógnita é direta ou inversa, isolando sempre apenas duas grandezas de cada vez. **Passo 3 — Monte a tabela de proporção.** Organize os valores em colunas paralelas, com a grandeza incógnita à direita. **Passo 4 — Corrija as razões inversas.** Para cada grandeza com relação inversa, inverta a fração correspondente antes de multiplicar. Esse é o passo que mais gera erro — não o ignore! **Passo 5 — Resolva por multiplicação cruzada.** Multiplique todas as razões e calcule x. **Images:** - PLOT: Fluxograma horizontal com cinco caixas retangulares conectadas por setas: (1) "Listar grandezas e valores" → (2) "Analisar cada relação: direta ou inversa?" → (3) "Montar a tabela de proporção" → (4) "Inverter razões das grandezas inversas" → (5) "Multiplicar e resolver". Use cor de destaque na caixa 4. | fluxograma-r3composta.png | 3:2 ## Exemplos resolvidos ### Exemplo 1 — Contexto agrícola: irrigação Uma cooperativa agrícola usa **3 bombas d'água**, funcionando **6 horas por dia**, para irrigar **90 hectares** em **5 dias**. Quantas bombas serão necessárias para irrigar **150 hectares** em **4 dias**, mantendo o funcionamento de **6 horas por dia**? *Passo 1:* As grandezas são: bombas (3 → x), horas/dia (6 → 6, grandeza constante — não entra na proporção), hectares (90 → 150) e dias (5 → 4). *Passo 2:* Relação de hectares com bombas: mais hectares → mais bombas necessárias → **direta**. Relação de dias com bombas: mais dias disponíveis → menos bombas necessárias → **inversa**. *Passo 3 e 4:* A razão de dias é invertida por ser relação inversa: $$\frac{x}{3} = \frac{150}{90} \times \frac{5}{4}$$ *Passo 5:* $$x = 3 \times \frac{150}{90} \times \frac{5}{4} = 3 \times \frac{750}{360} = 3 \times \frac{25}{12} = \frac{75}{12} \approx 6{,}25$$ Como não há bombas fracionadas, serão necessárias **7 bombas** para garantir a irrigação no prazo. ### Exemplo 2 — Contexto urbano: obra com múltiplos fatores Uma empresa usa **12 operários** trabalhando **8 horas por dia** para construir **240 metros** de calçada em **5 dias**. Quantos metros de calçada **6 operários** constroem em **4 dias**, trabalhando **10 horas por dia**? *Passo 1:* As grandezas são: operários (12 → 6), horas/dia (8 → 10), dias (5 → 4) e metros (240 → x). *Passo 2:* Relação de operários com metros: mais operários → mais metros → **direta**. Relação de horas/dia com metros: mais horas → mais metros → **direta**. Relação de dias com metros: mais dias → mais metros → **direta**. *Passo 3 e 4:* Todas as relações são diretas, nenhuma fração é invertida: $$\frac{x}{240} = \frac{6}{12} \times \frac{10}{8} \times \frac{4}{5}$$ *Passo 5:* $$x = 240 \times \frac{6}{12} \times \frac{10}{8} \times \frac{4}{5} = 240 \times \frac{240}{480} = 240 \times 0{,}5 = 120 \text{ metros}$$ Com essa nova equipe e jornada, serão construídos **120 metros** de calçada. Em resumo, a regra de três composta combina múltiplas relações de proporcionalidade: o segredo está em analisar cada grandeza par a par e inverter apenas as frações das relações inversas antes de multiplicar. [chapter-section: Zoom] Quando todas as grandezas de um problema têm relação direta com a incógnita, o produto das razões fica maior ou menor do que 1? E quando todas são inversas, o que acontece com o resultado? [INTERACTIVE: a1-mm | Acesse o mapa mental interativo sobre regra de três composta na Teachy e visualize como as grandezas se conectam] [Sequence 5] ## Na prática Como eu aprendi em Hogwarts, dominar um feitiço exige prática — e resolver a regra de três composta não é diferente! Vamos treinar juntos, avançando do reconhecimento das relações até a resolução completa. [P1] Uma construtora emprega 6 operários para pintar um prédio em 10 dias. Organize a tabela abaixo indicando, para cada grandeza em relação à quantidade de dias, se a relação com os dias de trabalho é **direta** ou **inversa**. | Grandeza | Tipo de relação com os dias de trabalho | |---------------------------|----------------------------------------| | Número de operários | | | Metros quadrados pintados | | | Horas trabalhadas por dia | | Depois, explique com suas palavras por que o número de operários tem esse tipo de relação com os dias de trabalho. --- [P2] Em uma fábrica de tecidos, 4 máquinas produzem 240 metros de tecido em 6 dias. Determine quantos metros de tecido 6 máquinas produzem em 9 dias. Para resolver, siga os passos: 1. Liste as três grandezas envolvidas: máquinas, dias, metros de tecido. 2. Para cada par de grandezas, indique se a relação é direta ou inversa. 3. Monte a regra de três composta e calcule o resultado. _Dica: Analise separadamente como a quantidade de metros muda quando o número de máquinas aumenta e, depois, quando o número de dias aumenta._ --- [P3] Três torneiras iguais enchem um reservatório em 8 horas, trabalhando 4 horas por dia. Quantas horas por dia serão necessárias para encher o mesmo reservatório em 6 dias se forem usadas 4 torneiras? _Dica: Identifique quais grandezas têm relação direta e quais têm relação inversa com as horas diárias de funcionamento antes de montar a proporção._ Em resumo, antes de qualquer cálculo o passo mais importante é classificar corretamente cada relação como direta ou inversa — errar essa etapa compromete todo o resultado. [chapter-section: Sabia?] A regra de três composta é usada em engenharia de produção para calcular prazos de entrega. No Brasil, empresas de construção civil e cooperativas agrícolas aplicam esse raciocínio constantemente para ajustar equipes, máquinas e cronogramas diante de mudanças de demanda. [Sequence 6] ## Exercícios Agora é a sua vez de trabalhar sozinho — como eu faço quando preciso resolver um problema em Hogwarts sem a ajuda da Hermione! Use tudo que aprendeu: identifique as grandezas, classifique cada relação e monte a proporção com atenção à inversão de razões. Está preparado para o desafio? [I1] _Uma empresa de logística precisa entregar uma carga usando caminhões. Com 5 caminhões fazendo 3 viagens cada, a entrega é concluída em 4 dias. O gestor precisa terminar a entrega em 2 dias usando caminhões que farão apenas 2 viagens cada._ Calcule quantos caminhões serão necessários para cumprir o prazo. [LINES: 8] --- [I2] _Uma equipe de 8 engenheiros elabora o projeto de uma ponte em 15 dias, trabalhando 6 horas por dia. Devido a uma redução de prazo, o projeto precisa ser entregue em 10 dias._ a) Mantendo a mesma carga horária diária de 6 horas, quantos engenheiros serão necessários? b) Se a equipe permanecer com os 8 engenheiros originais, quantas horas por dia cada um precisará trabalhar para cumprir o novo prazo? [LINES: 8] --- [I3] _O gráfico a seguir representa como varia o tempo de conclusão de uma obra em função do número de trabalhadores, considerando uma jornada diária fixa. Esse formato de curva é o mesmo que você viu quando estudou grandezas inversamente proporcionais._ **Images:** - PLOT: Gráfico com eixo x rotulado "Número de trabalhadores" (valores: 2, 4, 6, 8, 10) e eixo y rotulado "Dias para concluir a obra" (valores: 60, 30, 20, 15, 12). Plote os cinco pontos e conecte com uma curva hiperbólica decrescente suave. Inclua título "Tempo de conclusão da obra" e grade de fundo. | grafico-proporcionalidade-inversa.png | 4:3 Com base no gráfico, um contratante contou que tem 4 trabalhadores disponíveis e 30 dias para concluir a obra. Um colega sugeriu dobrar o número de trabalhadores para terminar mais rápido. a) Em quantos dias a obra seria concluída com o dobro de trabalhadores? b) Identifique que tipo de proporcionalidade o gráfico representa e justifique sua resposta com base no formato da curva. [LINES: 6] --- [I4] _Uma cooperativa agrícola planeja irrigar uma área de plantação. Um técnico registrou que 3 bombas d'água, funcionando 8 horas por dia, irrigam 120 hectares em 5 dias. Para a próxima safra, a área a ser irrigada aumentará para 200 hectares, e o tempo disponível será de apenas 4 dias._ Mantendo as bombas funcionando 10 horas por dia, quantas bombas serão necessárias para irrigar a nova área no prazo previsto? (A) 4 bombas (B) 5 bombas (C) 6 bombas (D) 8 bombas (E) 10 bombas --- [I5] _Em 2023, o município de Serra Verde contratou garis para uma campanha de limpeza urbana. Com 12 garis trabalhando 8 horas por dia, foram limpas 96 ruas em 4 dias. No ano seguinte, uma enchente aumentou a demanda: 160 ruas precisam ser limpas em 5 dias, com cada gari trabalhando apenas 6 horas por dia devido a uma nova regulamentação municipal._ Calcule quantos garis serão necessários para atender à nova demanda. Apresente a montagem da regra de três composta, identificando para cada grandeza se a relação com o número de garis é direta ou inversa. [LINES: 10] Em resumo, resolver uma regra de três composta exige três habilidades juntas: identificar todas as grandezas, classificar cada relação como direta ou inversa, e inverter corretamente as razões das grandezas inversas antes de multiplicar. [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática]