Regra do Termo Geral

[Sequence 4] Eu sou Harry Potter, e posso garantir que encontrar a regra de uma sequência é tão satisfatório quanto acertar um feitiço difícil pela primeira vez. Nas aulas anteriores, você já aprendeu a reconhecer quando uma sequência é não recursiva — aquela em que cada termo pode ser calculado diretamente pela sua posição, sem depender dos termos vizinhos. Agora vamos um passo além: como traduzir essa ideia em uma expressão algébrica, escrevendo a **regra do termo geral**. ## A regra do termo geral Aprendi em Hogwarts que toda magia tem uma fórmula — e o mesmo vale para as sequências matemáticas. A regra do termo geral, também chamada de **lei de formação**, é uma expressão algébrica que conecta diretamente a **posição** de um termo ao seu **valor**. Ela é escrita como **aₙ = f(n)**, onde **n** representa a posição e **aₙ** representa o valor do termo nessa posição. Pense nisso como um feitiço direto: você pronuncia o número da posição e a fórmula entrega imediatamente o valor, sem precisar calcular nenhum termo anterior. Essa expressão é o que torna a sequência verdadeiramente não recursiva — ela permite "pular" direto até qualquer ponto da lista. Em resumo, a regra do termo geral é a chave para calcular qualquer termo de uma sequência não recursiva a partir apenas de sua posição. Mas como descobrir essa fórmula a partir dos termos observados? Será que existe um caminho sistemático? **Images:** - [https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/5a81cb1273961e69277fbacfb08f043ea599ef15d3d62a027b7a65c57a117715.jpg](https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/5a81cb1273961e69277fbacfb08f043ea599ef15d3d62a027b7a65c57a117715.jpg) — Mão empilhando blocos de madeira em padrão crescente de escada, representando visualmente a progressão de uma sequência posição a posição | Attribution: Fonte: Imagine Buddy - Unsplash ## Como encontrar a expressão algébrica O caminho que eu uso começa com uma tabela simples: coluna à esquerda para a posição (n) e coluna à direita para o valor do termo (aₙ). Essa organização revela o padrão com muito mais clareza do que observar a sequência escrita em linha. Considere a sequência **5, 8, 11, 14, 17, …**. Organizada em tabela: | Posição (n) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |-------------|---|---|---|---|---| | Valor (aₙ) | 5 | 8 | 11 | 14 | 17 | Observe que o valor cresce 3 a cada nova posição. Isso indica que o **coeficiente de n** na fórmula é 3. Quando n = 1, o valor é 5; se apenas multiplicarmos: 3 × 1 = 3, que é menor que 5. A diferença é 5 − 3 = 2, portanto a fórmula candidata é **aₙ = 3n + 2**. Agora é fundamental **validar**: a₁ = 3(1) + 2 = 5 ✓, a₂ = 3(2) + 2 = 8 ✓, a₃ = 3(3) + 2 = 11 ✓. A regra funciona para todos os termos testados, confirmando que ela é a lei de formação da sequência. Em resumo, encontrar a expressão algébrica envolve: organizar os dados em tabela, identificar o coeficiente de n pela diferença entre termos, ajustar a constante verificando n = 1 e, por fim, validar a fórmula em pelo menos três posições. [chapter-section: Zoom] Com a regra aₙ = 3n + 2, você consegue calcular o 100º termo sem escrever nenhum dos 99 anteriores. Qual seria esse valor? Experimente substituir n = 100 diretamente na fórmula e veja o resultado surgir como mágica. ## Exemplos resolvidos **Exemplo 1 — Sequência numérica** A sequência 2, 4, 6, 8, 10, … representa os números pares. Vamos encontrar sua regra do termo geral. Organizando em tabela: posição 1 → 2; posição 2 → 4; posição 3 → 6; posição 4 → 8. A diferença entre termos consecutivos é sempre 2, portanto o coeficiente de n é 2. Testando: 2 × 1 = 2 = a₁ ✓, sem constante adicional. Assim, a regra é **aₙ = 2n**. Validação: a₅ = 2(5) = 10 ✓. **Exemplo 2 — Sequência figural com palitos** Palitos de fósforo formam triângulos enfileirados: na posição 1 há 1 triângulo com 3 palitos, na posição 2 há 2 triângulos com 5 palitos, na posição 3 há 3 triângulos com 7 palitos. Observe a tabela: | Posição (n) | 1 | 2 | 3 | 4 | |-------------|---|---|---|---| | Palitos (aₙ) | 3 | 5 | 7 | 9 | A diferença entre termos consecutivos é 2, portanto o coeficiente de n é 2. Testando: 2 × 1 = 2 ≠ 3, logo há uma constante: 3 − 2 = 1. A fórmula candidata é **aₙ = 2n + 1**. Validação: a₁ = 2(1) + 1 = 3 ✓; a₃ = 2(3) + 1 = 7 ✓; a₄ = 2(4) + 1 = 9 ✓. Perceba que, mesmo sendo figural, a regra usa exatamente o mesmo raciocínio de relacionar cada termo diretamente com sua posição. **Images:** - PLOT: Sequência figural de triângulos formados por palitos: posição 1 (3 palitos, 1 triângulo), posição 2 (5 palitos, 2 triângulos enfileirados), posição 3 (7 palitos, 3 triângulos enfileirados), posição 4 (9 palitos), com rótulo aₙ = 2n + 1 e valor n indicado sob cada figura | sequencia-figural-palitos.png | 3:1 [INTERACTIVE: a1-mm | Explore o mapa mental interativo sobre a regra do termo geral e sequências não recursivas na plataforma Teachy] [Sequence 5] ## Na prática Eu gosto de praticar cada feitiço novo várias vezes antes de considerá-lo dominado — e com as sequências é a mesma coisa. Vamos investigar isso juntos, partindo dos casos mais diretos e avançando para situações que pedem mais atenção. Você consegue encontrar a regra de cada sequência abaixo? Em resumo, o objetivo desta seção é treinar os três passos que aprendemos: tabela, coeficiente e validação. [P1] A tabela abaixo relaciona a posição $n$ de um termo com seu valor $a_n$ em uma sequência numérica: | $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |-----|---|---|---|---|---| | $a_n$ | 4 | 7 | 10 | 13 | 16 | Qual é a regra algébrica que expressa $a_n$ em função de $n$? (A) $a_n = n + 3$ (B) $a_n = 3n + 1$ (C) $a_n = 4n$ (D) $a_n = 3n + 4$ (E) $a_n = 2n + 2$ **Gabarito:** (B) --- [P2] Uma sequência figural é formada por fileiras de pontos. Na posição 1 há 3 pontos, na posição 2 há 6 pontos, na posição 3 há 9 pontos e na posição 4 há 12 pontos. Qual expressão algébrica representa o número de pontos $a_n$ na posição $n$? (A) $a_n = n + 2$ (B) $a_n = 2n + 1$ (C) $a_n = 3n$ (D) $a_n = n^2$ (E) $a_n = 3n - 3$ **Gabarito:** (C) --- [P3] Observe a sequência de figuras formadas por quadradinhos unitários: - Figura 1: 1 quadradinho - Figura 2: 4 quadradinhos - Figura 3: 9 quadradinhos - Figura 4: 16 quadradinhos a) Escreva a regra algébrica que expressa o número de quadradinhos $a_n$ na figura de posição $n$. b) Usando a regra encontrada, determine quantos quadradinhos haverá na figura de posição 10. _Dica: Observe a relação entre o número de quadradinhos e o número da posição — tente elevar $n$ a alguma potência._ --- [P4] A tabela a seguir foi preenchida parcialmente para uma sequência não recursiva: | $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 10 | |-----|---|---|---|---|-----| | $a_n$ | 5 | 8 | 11 | 14 | ? | a) Determine a regra algébrica que expressa $a_n$ em função de $n$. b) Use a regra para calcular o valor de $a_{10}$. _Dica: Verifique qual valor é somado a cada posição para obter o termo — a diferença entre termos consecutivos pode te ajudar a encontrar o coeficiente de $n$._ --- [chapter-section: Sabia?] Eu fiquei surpreso ao descobrir que os padrões de azulejos em muitas casas brasileiras — especialmente os azulejos antigos de Salvador e do Recife — formam sequências com regras de termo geral precisas. Cada linha de azulejos repete um múltiplo que você poderia expressar com uma fórmula do tipo aₙ = f(n). Matemática decorando paredes há séculos! [Sequence 6] ## Exercícios Agora eu confio que você está pronto para trabalhar sozinho — como se fosse um feiticeiro aplicando um encantamento sem precisar da minha ajuda. Cada exercício a seguir apresenta uma situação nova; use tudo que aprendeu sobre a regra do termo geral para resolvê-los. Você consegue encontrar a expressão algébrica em cada caso? Em resumo, o desafio agora é identificar a regra a partir dos dados e usá-la para calcular termos que estão bem distantes na sequência. [I1] _Uma empresa de logística registra o custo total de entrega (em reais) em função do número de pacotes transportados por viagem. Os dados coletados em quatro viagens estão na tabela abaixo:_ | Número de pacotes ($n$) | 1 | 2 | 3 | 4 | |--------------------------|-----|-----|-----|-----| | Custo total em R$ ($a_n$) | 35 | 55 | 75 | 95 | _A empresa precisa prever o custo de uma viagem com 20 pacotes para elaborar seu orçamento anual._ a) Determine a regra algébrica que representa o custo $a_n$ em função do número de pacotes $n$. b) Utilizando a expressão encontrada, qual será o custo previsto para a viagem com 20 pacotes? (A) R$ 400,00 (B) R$ 415,00 (C) R$ 420,00 (D) R$ 435,00 (E) R$ 450,00 **Gabarito:** (B) — a regra é $a_n = 20n + 15$, portanto $a_{20} = 20(20) + 15 = 415$. --- [I2] _Uma professora projeta um padrão de azulejos para decorar uma parede. Ela empilha fileiras triangulares de azulejos da seguinte forma: na fileira 1 há 2 azulejos, na fileira 2 há 5 azulejos, na fileira 3 há 8 azulejos e na fileira 4 há 11 azulejos._ a) Represente algebricamente a regra de formação que indica o número de azulejos $a_n$ na fileira de posição $n$. b) Quantos azulejos haverá na fileira de posição 15? [LINES: 5] --- [I3] _Dois estudantes analisam a mesma sequência não recursiva e chegam a conclusões diferentes. Pedro afirma que a regra da sequência 2, 6, 12, 20, 30, … é $a_n = n(n+1)$, enquanto Ana diz que a regra é $a_n = n^2 + n$._ Determine se as duas expressões representam a mesma regra. Justifique sua resposta verificando se ambas geram os mesmos termos para $n = 1, 2, 3$ e explique, usando propriedades algébricas, por que isso acontece ou não. [LINES: 8] --- [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática com feedback]