Relação entre Medidas de Tendência Central e Dispersão

# Relação entre Medidas de Tendência Central e Dispersão [Sequence 4] Eu já aprendi em Hogwarts que uma única peça de informação raramente conta a história completa — e o mesmo vale para a estatística. Você já sabe calcular a média, a mediana e a moda de um conjunto de dados. Agora chegou a hora de responder a uma pergunta que essas três medidas sozinhas não conseguem responder: **os dados estão bem concentrados ou muito espalhados?** Vamos investigar isso juntos. ## Amplitude: a extensão dos dados A **amplitude** é a medida de dispersão mais direta que existe. Ela indica o quanto os dados se espalham de uma extremidade à outra, e é calculada por uma fórmula simples: > **Amplitude = valor máximo − valor mínimo** Pense nisso como medir o comprimento de um corredor: não importa o que há no meio, você quer saber do início ao fim. Se as temperaturas de uma semana em Fortaleza foram 24 °C, 26 °C, 25 °C, 27 °C e 28 °C, a amplitude é 28 − 24 = **4 °C** — uma variação pequena, clima estável. Já em Brasília, na mesma semana, as temperaturas poderiam ser 15 °C, 18 °C, 25 °C, 32 °C e 35 °C: amplitude = 35 − 15 = **20 °C**. Aqui o "corredor" é muito mais longo. Mas será que a amplitude muda o que a média e a mediana nos dizem? É exatamente isso que vamos descobrir agora. [chapter-section: Comparando...] Dois conjuntos de dados podem ter exatamente as mesmas medidas de tendência central e, ainda assim, serem completamente diferentes. A amplitude é o que permite distingui-los. Observe: | Conjunto | Valores | Média | Mediana | Moda | Amplitude | |----------|---------|-------|---------|------|-----------| | A | 5, 5, 5, 5, 5 | 5 | 5 | 5 | 0 | | B | 1, 3, 5, 7, 9 | 5 | 5 | sem moda | 8 | | C | 3, 4, 5, 6, 7 | 5 | 5 | sem moda | 4 | Os três conjuntos têm média 5 e mediana 5. No entanto, o Conjunto A tem amplitude zero (todos os valores são idênticos), o Conjunto B tem amplitude 8 (dados muito dispersos) e o Conjunto C é intermediário. A amplitude revela o que a média e a mediana escondem. Em resumo, sem a amplitude, duas amostras completamente diferentes podem parecer idênticas apenas por compartilharem o mesmo centro. **Images:** - PLOT: Dot plot comparativo com três linhas horizontais paralelas (rótulos: "Conjunto A", "Conjunto B", "Conjunto C"), cada linha mostrando os pontos de dados sobre uma reta numérica de 0 a 10. O Conjunto A tem cinco pontos sobre x=5. O Conjunto B tem pontos em x=1,3,5,7,9. O Conjunto C tem pontos em x=3,4,5,6,7. Marcar a média com uma linha vertical tracejada em x=5 para todas as linhas. Usar cores distintas para cada conjunto. | dot-plot-amplitude.png | 3:2 ## Como a amplitude complementa as medidas de tendência central Quando a amplitude é pequena, os dados são **homogêneos** — os valores ficam próximos entre si e a média representa bem o conjunto. Quando a amplitude é grande, os dados são **heterogêneos** e pode haver valores extremos distorcendo a média. Nesses casos, eu recomendo olhar para a mediana, que não é afetada por valores muito fora do padrão. Pense comigo: se um valor extremo aparece no conjunto, como a média se comporta? Ela sobe ou desce junto com esse valor extremo. Já a mediana permanece no centro real da distribuição, como se fosse um ponto de equilíbrio que não se move com uma força isolada nas pontas. Em resumo, a amplitude e as medidas de tendência central contam histórias diferentes sobre o mesmo conjunto — e precisamos ouvir as duas para entender o que os dados revelam de verdade. ## Exemplo resolvido Um pesquisador coletou os preços (em reais) de um mesmo produto em 5 lojas diferentes de uma cidade: R$ 48, R$ 50, R$ 50, R$ 52, R$ 100. **Passo 1 — Calcular as medidas de tendência central:** - Média = (48 + 50 + 50 + 52 + 100) ÷ 5 = 300 ÷ 5 = **R$ 60** - Mediana: ordenando os dados — 48, 50, 50, 52, 100 — o valor central (3º) é **R$ 50** - Moda: **R$ 50** (aparece duas vezes) **Passo 2 — Calcular a amplitude:** - Amplitude = 100 − 48 = **R$ 52** **Passo 3 — Interpretar a relação:** A amplitude grande (R$ 52) indica que os dados são heterogêneos. A diferença entre a média (R$ 60) e a mediana (R$ 50) confirma que o valor extremo R$ 100 está puxando a média para cima, afastando-a do preço típico. Por isso, a mediana (R$ 50) representa melhor o comportamento central dos preços — a amplitude serviu como sinal de alerta de que a média não era suficiente. [INTERACTIVE: a1-mm | Explore o mapa mental interativo sobre medidas de tendência central e amplitude na plataforma Teachy] ## Na prática Agora vamos praticar — como se fosse um feitiço que só funciona quando você aplica cada etapa na ordem certa. Resolva os exercícios a seguir, lembrando sempre de ordenar os dados antes de calcular a mediana. **[P1]** (M01, M03, M04, M05) Uma equipe de basquete marcou os seguintes pontos em seis jogos: 68, 72, 65, 80, 72 e 75. a) Calcule a média aritmética simples dos pontos marcados. b) Identifique a moda da distribuição. c) Calcule a mediana dos pontos marcados. d) Calcule a amplitude. Os dados são homogêneos ou heterogêneos? Justifique em uma frase. *Dica: Para encontrar a mediana, ordene os valores. Com seis dados (quantidade par), a mediana é a média dos dois valores centrais.* --- **[P2]** (M01, M03, M05) A tabela abaixo mostra as notas de dois grupos de alunos em uma prova de Matemática: | Grupo A | Grupo B | |---------|---------| | 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9 | 3, 5, 7, 8, 8, 9, 10, 10 | Para cada grupo, calcule: a) A média aritmética simples. b) A mediana. c) A amplitude. *Dica: A amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto. Compare os resultados dos dois grupos — o que a amplitude revela sobre a dispersão das notas em cada grupo?* --- **[P3]** (M01, M02, M03, M04, M05) Um professor atribuiu pesos diferentes às avaliações de seus alunos durante o bimestre: a prova valeu peso 3, o trabalho em grupo valeu peso 2 e a atividade prática valeu peso 1. Yuri obteve as seguintes notas: | Avaliação | Nota | Peso | |-----------|------|------| | Prova | 7,0 | 3 | | Trabalho em grupo | 9,0 | 2 | | Atividade prática | 8,0 | 1 | a) Calcule a média aritmética ponderada de Yuri. b) Calcule a amplitude entre as notas individuais (sem considerar os pesos). O que ela indica sobre a variação do desempenho de Yuri nas três avaliações? *Dica: Na média ponderada, multiplique cada nota pelo seu peso, some os resultados e divida pela soma dos pesos.* --- **[P4]** (M01, M03, M05) Em uma pesquisa sobre o número de horas de estudo semanal de 9 estudantes do 8º ano, foram registrados os seguintes valores: 4, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 10, 20 a) Calcule a média e a mediana desse conjunto de dados. b) Calcule a amplitude. Identifique o valor extremo e explique qual das duas medidas — média ou mediana — descreve melhor o comportamento típico do grupo. *Dica: Um valor extremo é aquele muito diferente dos demais. A amplitude ajuda a perceber quando ele está presente.* ## Exercícios Nos exercícios a seguir, você vai integrar todos os conceitos estudados neste capítulo, calculando e interpretando as medidas de tendência central junto com a amplitude. **[I1]** (M01, M03, M04, M05) Um meteorologista registrou a temperatura máxima (em °C) em uma cidade durante 7 dias consecutivos: 28, 30, 29, 31, 30, 27, 30 a) Calcule a média aritmética das temperaturas registradas. b) Determine a mediana e a moda. c) Calcule a amplitude do conjunto de dados. d) As três medidas de tendência central ficaram próximas entre si. O que a amplitude calculada sugere sobre a variação das temperaturas nessa semana? Os dados são homogêneos ou heterogêneos? [LINES: 6] --- **[I2]** (M04, M03, M05) O gráfico de barras abaixo representa o número de livros lidos por 10 alunos de uma turma ao longo de um semestre: *(Descrição do gráfico: eixo horizontal com os nomes dos alunos [Ana, Bruno, Carla, Diego, Eva, Fábio, Gabi, Hugo, Iris, João]; eixo vertical com o número de livros de 0 a 12; barras com as alturas respectivas: 4, 6, 6, 8, 6, 3, 6, 10, 5, 6)* **Images:** - PLOT: Gráfico de barras verticais com eixo x mostrando os nomes Ana, Bruno, Carla, Diego, Eva, Fábio, Gabi, Hugo, Iris, João e eixo y de 0 a 12 (livros lidos). Barras com alturas: 4, 6, 6, 8, 6, 3, 6, 10, 5, 6. Usar uma cor uniforme para todas as barras. Título: "Livros lidos no semestre". | grafico-livros-turma.png | 3:2 a) Identifique a moda do conjunto de dados. b) Calcule a mediana do número de livros lidos. c) Calcule a amplitude do conjunto. d) Compare a amplitude com a mediana. O que essa relação revela sobre a homogeneidade desta turma? [LINES: 6] --- **[I3]** (M01, M03, M04, M05) Uma empresa realizou uma pesquisa de satisfação com seus 11 funcionários sobre o tempo de deslocamento diário (em minutos) até o trabalho. Os resultados foram: 15, 20, 20, 25, 25, 30, 30, 30, 35, 40, 90 O gestor de RH afirmou que "em média, os funcionários demoram cerca de 33 minutos para chegar ao trabalho" e utilizou esse valor para justificar a ausência de um programa de apoio ao deslocamento. Um dos funcionários, porém, questionou que essa medida não representava bem a realidade da maioria. Com base nas medidas de tendência central e na dispersão dos dados, qual alternativa apresenta a justificativa mais adequada para a contestação do funcionário? (A) A moda é 30 minutos e a amplitude é 75 minutos, o que indica que os dados estão muito concentrados em torno da média, tornando-a representativa. (B) A mediana é 30 minutos e a amplitude é 75 minutos, o que indica que a maioria dos funcionários demora menos do que a média sugere, pois há um valor extremo que eleva a média. (C) A média é 33 minutos e a moda é 30 minutos, e como os dois valores são próximos, qualquer uma das medidas representa bem os dados sem distorção. (D) A mediana é 25 minutos e a amplitude é 75 minutos, indicando que a dispersão é baixa e a média é a medida mais adequada para representar o grupo. (E) A moda é 30 minutos e a mediana é 25 minutos, o que demonstra que a amplitude não interfere na escolha da medida de tendência central mais representativa. --- **[I4]** (M01, M03, M05) Em uma competição de natação, os tempos (em segundos) registrados por 8 atletas na prova de 100 metros livre foram: 58, 61, 63, 63, 65, 67, 70, 80 a) Calcule a média aritmética dos tempos registrados. b) Calcule a mediana dos tempos. c) Calcule a amplitude do conjunto. d) Considerando a amplitude e a diferença entre média e mediana, explique qual medida de tendência central representa melhor o desempenho típico dos atletas nessa competição. [LINES: 8] --- **[I5]** (M01, M02, M03, M04, M05) Em uma cidade, foram coletadas as rendas mensais (em salários mínimos) de 9 famílias de um mesmo bairro: 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 18 Considere que um gestor público deseja escolher a medida de tendência central mais adequada para representar a renda típica das famílias desse bairro ao elaborar uma política de assistência social. a) Calcule a média, a mediana e a moda das rendas registradas. b) Calcule a amplitude do conjunto e interprete o que ela indica sobre a dispersão dos dados. c) Justifique qual das três medidas — média, mediana ou moda — o gestor deve utilizar para representar a renda típica das famílias, relacionando sua escolha à dispersão dos dados indicada pela amplitude. [LINES: 10] [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática] [Sequence 8] ## Conectando tudo Ao longo deste capítulo, eu aprendi que nenhuma medida isolada conta a história completa de um conjunto de dados — e espero que você também tenha chegado a essa conclusão. Você começou estudando média, mediana e moda em capítulos anteriores; agora, com a amplitude, ganhou uma ferramenta para verificar se essas medidas de centro são confiáveis ou estão sendo distorcidas por valores extremos. **Questão de síntese:** Duas turmas de 8 alunos realizaram a mesma prova de Ciências. A Turma Ipê obteve as notas 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9. A Turma Jatobá obteve as notas 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 10. a) Calcule a média e a mediana de cada turma. b) Calcule a amplitude de cada turma. c) As médias são próximas. Por que a professora Cinthia não deve concluir que as duas turmas têm desempenho equivalente? Use a amplitude para justificar. Essa questão reúne tudo: média (M01), mediana (M03), amplitude, e a justificativa da relação entre dispersão e medidas de tendência central (M05). Antes de avançar, verifique o quanto você se sente seguro com cada uma das cinco conquistas deste capítulo: | O que você sabe fazer | Ainda preciso praticar | Já consigo fazer | Domino completamente | |:----------------------|:----------------------|:-----------------|:--------------------| | Calcular a média aritmética simples (M01) | ( ) | ( ) | ( ) | | Calcular a média aritmética ponderada (M02) | ( ) | ( ) | ( ) | | Calcular a mediana de uma amostra de dados (M03) | ( ) | ( ) | ( ) | | Identificar a moda de um conjunto de dados (M04) | ( ) | ( ) | ( ) | | Calcular a amplitude e relacioná-la às medidas de tendência central (M05) | ( ) | ( ) | ( ) | **Saída:** Complete a frase em uma linha: "Eu preciso da amplitude além da média porque \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_." [INTERACTIVE: a2-rt | Acesse o tutor de revisão interativo na Teachy para rever as medidas de tendência central e dispersão com questões personalizadas]