Representação no Plano Cartesiano

# Representação no Plano Cartesiano [Sequence 4] Nas aulas anteriores, eu aprendi — junto com você — a identificar se duas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais e a escrever a sentença algébrica que as relaciona. Agora chegou a parte que mais me fascina: dar forma visual a essas relações no plano cartesiano. Em Hogwarts, chamamos isso de "dar rosto à magia" — transformar uma equação abstrata em uma imagem que revela, de um só olhar, tudo sobre o comportamento das grandezas. ## A Reta que Passa pela Origem: Proporção Direta Você já sabe que, na proporção direta, a sentença é y = kx e a razão y/x é sempre igual a k. Mas o que acontece quando plotamos os pares (x, y) no plano cartesiano? Os pontos se alinham sobre uma **reta que obrigatoriamente passa pela origem (0, 0)**. Isso faz sentido: se x = 0, então y = k · 0 = 0, então o ponto (0, 0) sempre pertence ao gráfico. Por isso, uma reta que não passe pela origem nunca representa proporção direta — mesmo que seja inclinada. Considere a relação entre o tempo (em horas) e a distância percorrida por uma ciclista chamada Tainá, que pedala a velocidade constante de 15 km/h. A sentença é d = 15t, com k = 15. Calculando os pares de valores: | t (horas) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |-----------|---|---|---|---|---| | d (km) | 0 | 15 | 30 | 45 | 60 | Ao marcar esses pontos e uni-los, obtemos uma semirreta partindo da origem. A inclinação da reta depende de k: quanto maior k, mais íngreme ela fica. **Images:** - PLOT: Gráfico de proporcionalidade direta d = 15t com eixo x rotulado "Tempo (h)" de 0 a 5, eixo y rotulado "Distância (km)" de 0 a 80, semirreta passando pela origem com pontos marcados em (0,0), (1,15), (2,30), (3,45), (4,60), linha azul contínua, pontos destacados em círculos preenchidos, quadrícula cinza clara, fundo branco, título "Proporção Direta: d = 15t" | proporcao-direta-grafico.png | 4:3 ## A Hipérbole que se Aproxima dos Eixos: Proporção Inversa Na proporção inversa, a sentença é y = k/x e o produto x · y é sempre igual a k. O que você acha que acontece no plano quando plotamos esses pontos? Eu vos convido a investigar isso juntos. Usando o exemplo dos operários e dias de obra, com k = 48 (sentença: d = 48/n): | n (operários) | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 | 12 | |--------------|---|---|---|---|---|----| | d (dias) | 48 | 24 | 12 | 8 | 6 | 4 | Ao traçar a curva que une esses pontos, não obtemos uma reta — obtemos uma **hipérbole**: uma curva que se aproxima dos eixos sem jamais tocá-los. Por quê ela nunca toca os eixos? Se x fosse 0, teríamos divisão por zero (impossível); e y nunca pode ser 0, pois k/x = 0 exigiria k = 0, o que contradiz a definição. A hipérbole "mergulha" rapidamente quando x é pequeno e "achata" à medida que x cresce. **Images:** - PLOT: Gráfico de proporcionalidade inversa d = 48/n com eixo x rotulado "Operários (n)" de 0 a 14, eixo y rotulado "Dias (d)" de 0 a 52, hipérbole no primeiro quadrante com pontos marcados em (1,48), (2,24), (4,12), (6,8), (8,6), (12,4), linha vermelha curva suave sem tocar os eixos, pontos destacados em círculos preenchidos, quadrícula cinza clara, fundo branco, título "Proporção Inversa: d = 48/n" | proporcao-inversa-grafico.png | 4:3 [chapter-section: Comparando...] Observar os dois gráficos lado a lado torna a diferença entre proporcionalidade direta e inversa imediatamente visível. Na proporção direta, os pontos formam uma reta que passa pela origem — quanto mais x cresce, y também cresce de forma linear. Na proporção inversa, os pontos formam uma hipérbole que se afasta rapidamente e vai se aproximando dos eixos sem jamais alcançá-los — quando x aumenta, y diminui de modo curvilíneo. E quando a relação não é proporcional? O gráfico pode assumir outras formas (reta fora da origem, parábola, pontos dispersos), mas nunca será nem a reta pela origem nem a hipérbole característica. **Images:** - PLOT: Três minigráficos lado a lado num mesmo painel: (1) reta pela origem y=2x com rótulo "Direta: y = kx", cor azul; (2) hipérbole y=6/x no primeiro quadrante com rótulo "Inversa: y = k/x", cor vermelha; (3) reta fora da origem y=2x+3 com rótulo "Não proporcional", cor cinza. Eixos de 0 a 5 em todos, quadrícula clara, fundo branco, título do painel "Como identificar pelo gráfico" | comparacao-tres-graficos.png | 3:1 Em resumo, a forma do gráfico é a assinatura visual do tipo de proporcionalidade: reta pela origem para a direta, hipérbole nos eixos para a inversa, e qualquer outra forma para a não proporcional. [chapter-section: Zoom] Se y = 3x, que ponto o gráfico obrigatoriamente contém? E se y = 12/x, por que o gráfico nunca passa pelo ponto (0, 12)? [INTERACTIVE: a1-sl | Explore os slides interativos sobre representação de grandezas no plano cartesiano na plataforma Teachy] ## Na prática [Sequence 5] Vamos praticar esse ritual juntos — eu estarei do seu lado, como se fôssemos investigar um feitiço novo em Hogwarts. Comece com calma: cada exercício aprofunda uma parte do que acabamos de aprender. Qual dessas formas de gráfico você acha mais difícil de reconhecer à primeira vista: a reta ou a hipérbole? **[P1]** Observe a tabela abaixo, que relaciona o tempo de viagem (em horas) e a distância percorrida (em km) por um carro que mantém velocidade constante: | Tempo (h) | 1 | 2 | 3 | 4 | |-----------|---|---|---|---| | Distância (km) | 80 | 160 | 240 | 320 | a) Que tipo de proporcionalidade existe entre tempo e distância? Justifique usando os valores da tabela. b) Escreva a sentença algébrica que representa essa relação. Em resumo, em toda proporção direta a razão entre as grandezas é constante — e esse valor constante é a constante k. --- **[P2]** A tabela a seguir mostra a relação entre o número de operários em uma obra e o tempo necessário (em dias) para concluí-la, considerando que todos trabalham no mesmo ritmo: | Operários | 2 | 4 | 8 | 16 | |-----------|---|---|---|----| | Dias | 48 | 24 | 12 | 6 | a) Identifique o tipo de proporcionalidade e escreva a sentença algébrica que representa a relação entre o número de operários (x) e o número de dias (y). b) Represente os quatro pares de valores no plano cartesiano. O eixo horizontal deve indicar o número de operários e o eixo vertical, o número de dias. _Dica: Para identificar a relação, verifique se o produto x · y é constante ou se a razão y/x é constante. Esse valor constante é a chave para escrever a sentença algébrica._ **Images:** - PLOT: Plano cartesiano em branco para atividade do aluno, eixo x rotulado "Operários" de 0 a 18 com marcações a cada 2, eixo y rotulado "Dias" de 0 a 54 com marcações a cada 6, quadrícula, sem pontos ou curvas | plano-cartesiano-atividade-p2.png | 1:1 --- **[P3]** Três relações entre grandezas x e y são representadas nos gráficos abaixo. a) Para cada gráfico, indique se a relação entre x e y é diretamente proporcional, inversamente proporcional ou não proporcional. b) Para os gráficos A e B, escreva a forma geral da sentença algébrica correspondente (usando k como constante). _Dica: Lembre-se de que a forma visual do gráfico está diretamente associada ao tipo de equação: y = kx produz uma reta passando pela origem, enquanto y = k/x produz uma curva do tipo hipérbole._ **Images:** - PLOT: Três pequenos gráficos em linha rotulados "Gráfico A", "Gráfico B", "Gráfico C": Gráfico A — semirreta pela origem no primeiro quadrante com pontos em (1,2), (2,4), (3,6), cor azul; Gráfico B — hipérbole no primeiro quadrante sem tocar os eixos, pontos em (1,8), (2,4), (4,2), cor vermelha; Gráfico C — pontos dispersos sem padrão visível em posições (1,5), (3,2), (5,6), (7,3), cor cinza. Eixos x e y de 0 a 10 em cada gráfico, rótulos acima de cada um, fundo branco | tres-graficos-identificacao.png | 3:1 --- **[P4]** Sabe-se que a grandeza y é diretamente proporcional à grandeza x, e que quando x = 5, y = 35. a) Determine a constante de proporcionalidade k. b) Escreva a sentença algébrica completa. c) Complete a tabela abaixo e represente os pontos no plano cartesiano: | x | 1 | 2 | 3 | 5 | 7 | |---|---|---|---|---|---| | y | ? | ? | ? | 35 | ? | _Dica: Com a sentença algébrica encontrada no item (b), basta substituir cada valor de x para encontrar o y correspondente. O gráfico deve ser uma reta passando pela origem._ ## Exercícios [Sequence 6] Eu já mostrei o caminho — agora é hora de você voar sozinho. Aplique o que aprendeu em situações novas e mostre que domina tanto a identificação da proporcionalidade quanto a representação no plano cartesiano. Será que você consegue reconhecer uma hipérbole antes mesmo de calcular o produto x · y? **[I1]** Um ciclista percorre distâncias proporcionais ao tempo de pedalada. Após 3 horas, ele percorreu 54 km. a) Determine a constante de proporcionalidade e escreva a sentença algébrica que relaciona distância (d) e tempo (t). b) Represente graficamente essa relação para valores de t entre 0 e 5 horas, marcando pelo menos quatro pontos no plano cartesiano. [LINES: 6] **Images:** - PLOT: Plano cartesiano em branco para atividade do aluno, eixo x rotulado "Tempo (h)" de 0 a 6 com marcações a cada 1, eixo y rotulado "Distância (km)" de 0 a 110 com marcações a cada 10, quadrícula, sem pontos ou curvas | plano-atividade-i1.png | 1:1 --- **[I2]** A tabela abaixo apresenta dados sobre a pressão (em atm) e o volume (em litros) de um gás em temperatura constante: | Volume (L) | 1 | 2 | 4 | 8 | |------------|---|---|---|---| | Pressão (atm) | 16 | 8 | 4 | 2 | a) Identifique o tipo de proporcionalidade entre volume e pressão. Justifique sua resposta usando os dados da tabela. b) Escreva a sentença algébrica que representa essa relação, identificando a constante k. c) Se o volume fosse 10 L, qual seria a pressão prevista pela sentença algébrica? [LINES: 5] --- **[I3]** Considere o plano cartesiano com dois gráficos plotados: **Gráfico 1:** passa pelos pontos (1, 6), (2, 3) e (3, 2). **Gráfico 2:** passa pelos pontos (1, 3), (2, 6) e (3, 9). a) Para cada gráfico, determine se a relação entre x e y é diretamente proporcional, inversamente proporcional ou não proporcional. Justifique verificando os pares de valores. b) Para o gráfico que representa proporcionalidade direta, escreva a sentença algébrica. c) Para o gráfico que representa proporcionalidade inversa, escreva a sentença algébrica. [LINES: 6] --- **[I4]** Uma empresa de energia solar instalou painéis em residências da mesma cidade. A tabela abaixo mostra a relação entre a área de painéis instalados (em m²) e a economia mensal na conta de energia (em R$): | Área (m²) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | |-----------|---|---|---|---|----| | Economia (R$) | 120 | 240 | 360 | 480 | 600 | Um técnico afirma: "Dobrar a área de painéis sempre dobra a economia, pois essas grandezas são diretamente proporcionais e o gráfico que as representa é uma reta que passa pela origem." Com base nesses dados, assinale a afirmativa correta: (A) O técnico está equivocado: a relação entre as grandezas é inversamente proporcional, pois quando a área aumenta, a economia também aumenta. (B) O técnico está correto: a razão entre economia e área é constante e igual a 60, a sentença algébrica é E = 60A e o gráfico é uma reta que passa pela origem. (C) O técnico está correto, mas a constante de proporcionalidade é 2, pois é a razão entre os menores valores da tabela. (D) O técnico está equivocado: embora os valores aumentem juntos, o gráfico dessa relação é uma hipérbole, não uma reta. (E) O técnico está correto somente para os dois primeiros pares de valores; para os demais, a relação deixa de ser proporcional. **Gabarito:** B --- **[I5]** Em um experimento escolar, os alunos mediram o tempo que um cubo de gelo leva para derreter completamente em função da temperatura do ambiente. Os dados obtidos foram: | Temperatura (°C) | 10 | 20 | 25 | 40 | 50 | |-----------------|----|----|----|----|-----| | Tempo (min) | 80 | 40 | 32 | 20 | 16 | a) Verifique se as grandezas temperatura e tempo são inversamente proporcionais, calculando o produto T · t para cada par de valores. b) Escreva a sentença algébrica que representa essa relação. c) Esboce o gráfico dessa relação no plano cartesiano, indicando pelo menos quatro pontos. Descreva o formato da curva obtida e explique por que ela não é uma reta. [LINES: 8] Em resumo, os exercícios desta seção cobrem as três habilidades centrais do capítulo: identificar o tipo de proporcionalidade, escrever a sentença algébrica e representar a relação no plano cartesiano. [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática] [Sequence 8] ## O que o gráfico revela Ao longo deste capítulo, eu investigui com você como identificar o tipo de variação entre duas grandezas, como expressar essa relação em uma sentença algébrica e, agora, como dar forma visual a tudo isso no plano cartesiano. Em Hogwarts, dizemos que um feitiço só está completo quando você consegue descrevê-lo, escrevê-lo e desenhá-lo — e é exatamente isso que você fez aqui. Você se lembra da pergunta que nos guiou desde o início: *como o gráfico de uma relação entre duas grandezas revela se elas são diretamente ou inversamente proporcionais?* A resposta está na forma da curva: uma **reta que passa pela origem** indica proporção direta; uma **hipérbole que se aproxima dos eixos sem tocá-los** indica proporção inversa; qualquer outra forma indica não proporcionalidade. Em resumo, o plano cartesiano é o espelho algébrico das relações entre grandezas — cada tipo de proporcionalidade tem uma assinatura visual única, e reconhecer essa assinatura é tão importante quanto saber escrever a sentença que a descreve. Antes de avançar, verifique com você mesmo: faz sentido que a reta de uma proporção direta sempre passe pela origem? Se x = 0, não há grandeza alguma, então y também precisa ser 0. Faz sentido — e confirmar isso é parte do ritual de verificação que eu uso sempre. **Auto-avaliação:** Para cada habilidade abaixo, marque seu nível de confiança: | Habilidade | Ainda preciso praticar | Já consigo fazer | Domino completamente | |:-----------|:----------------------|:-----------------|:--------------------| | Identificar o tipo de proporcionalidade a partir de tabela ou gráfico | ( ) | ( ) | ( ) | | Determinar k e escrever a sentença algébrica completa | ( ) | ( ) | ( ) | | Construir o gráfico no plano cartesiano (reta ou hipérbole) | ( ) | ( ) | ( ) | Das habilidades acima, qual você considera mais desafiadora? O que você pode fazer para superá-la? Em uma frase, complete: "O gráfico de uma proporção direta é diferente do de uma inversa porque..." [INTERACTIVE: a2-fc | Revise os conceitos de proporcionalidade e representação gráfica com os flash cards interativos na plataforma Teachy]