Resolução Algébrica de Sistemas

# Resolução Algébrica de Sistemas [Section 4] No capítulo anterior, você aprendeu a identificar um sistema de equações do 1º grau e reconheceu que a solução é o par ordenado (x, y) que satisfaz ambas as equações ao mesmo tempo. Agora, o desafio é descobrir como encontrar esse par de forma precisa — sem tentativas aleatórias. Para isso, existem dois métodos algébricos: o **método da substituição** e o **método da adição**. ## Método da Substituição A ideia central da substituição é escolher uma das equações, isolar uma das incógnitas e substituir a expressão obtida na outra equação. O procedimento segue quatro etapas: **Passo 1 — Escolha a equação mais simples** e isole uma das incógnitas. Quando uma equação já tiver uma incógnita com coeficiente 1, comece por ela — isso evita frações desnecessárias. **Passo 2 — Substitua a expressão isolada** na outra equação, escrevendo a expressão inteira no lugar da incógnita. **Passo 3 — Resolva a equação resultante**, que agora tem apenas uma incógnita. **Passo 4 — Substitua o valor encontrado** de volta na expressão do Passo 1 para calcular a outra incógnita. Por fim, verifique a resposta nas duas equações originais. **Exemplo — Método da substituição:** Resolva o sistema: $$\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$$ **Passo 1:** Na primeira equação, isole x: $$x = 8 - 2y$$ **Passo 2:** Substitua essa expressão na segunda equação: $$3(8 - 2y) - y = 3$$ **Passo 3:** Resolva: $$24 - 6y - y = 3$$ $$24 - 7y = 3$$ $$-7y = 3 - 24$$ $$-7y = -21$$ $$y = 3$$ **Passo 4:** Substitua y = 3 na expressão do Passo 1: $$x = 8 - 2 \cdot 3 = 8 - 6 = 2$$ A solução é o par ordenado **(x = 2, y = 3)**. **Verificação:** Na primeira equação: 2 + 2(3) = 8 ✓. Na segunda: 3(2) − 3 = 3 ✓. **Images:** - PLOT: Step-by-step diagram of the substitution method applied to the system {x + 2y = 8 / 3x - y = 3}, showing each of the 4 steps with arrows connecting them, highlighting the substitution in color and the final verification. Horizontal flowchart format, clean labels in Portuguese. | substituicao-passo-a-passo.png | 16:9 ## Método da Adição O método da adição parte de uma estratégia diferente: somamos as duas equações de modo a eliminar uma das incógnitas diretamente. Para que isso funcione, os coeficientes de uma das incógnitas precisam ser opostos — iguais em valor absoluto, mas com sinais contrários. O procedimento também tem quatro etapas: **Passo 1 — Observe os coeficientes** das duas incógnitas em ambas as equações. Se já existir um par de coeficientes opostos, avance direto para o Passo 3. **Passo 2 — Multiplique uma ou ambas as equações** por constantes adequadas até que os coeficientes de uma incógnita se tornem opostos. **Passo 3 — Some as duas equações** membro a membro. A incógnita com coeficientes opostos é eliminada, resultando em uma equação com apenas uma incógnita. **Passo 4 — Resolva a equação resultante** e substitua o valor obtido em qualquer das equações originais para encontrar a outra incógnita. Verifique a solução nas duas equações originais. **Exemplo — Método da adição:** Resolva o sistema: $$\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x - 2y = 0 \end{cases}$$ **Passo 1:** Os coeficientes de y são +2 e −2, que já são opostos. Avance direto para o Passo 3. **Passo 3:** Some as equações membro a membro: $$3x + 2y + x - 2y = 16 + 0$$ $$4x = 16$$ $$x = 4$$ **Passo 4:** Substitua x = 4 na segunda equação: $$4 - 2y = 0$$ $$-2y = -4$$ $$y = 2$$ A solução é **(x = 4, y = 2)**. **Verificação:** Na primeira: 3(4) + 2(2) = 12 + 4 = 16 ✓. Na segunda: 4 − 2(2) = 0 ✓. **Images:** - PLOT: Step-by-step diagram of the addition method applied to the system {3x + 2y = 16 / x - 2y = 0}, showing the steps with color-coded opposite coefficients (+2y and -2y highlighted), the sum of equations, and verification. Horizontal flowchart format, clean labels in Portuguese. | adicao-passo-a-passo.png | 16:9 [chapter-callout-label: Comparando...] **Substituição ou adição: qual método escolher?** Os dois métodos sempre chegam à mesma solução, mas um deles pode ser mais prático dependendo do sistema. Use a **substituição** quando uma das equações já tiver uma incógnita com coeficiente 1 ou −1 — isolar essa incógnita não gera frações. Use a **adição** quando os coeficientes de uma incógnita já forem opostos ou quando um número inteiro pequeno basta para torná-los opostos. Antes de começar, vale observar rapidamente as duas equações: existe alguma incógnita com coeficiente 1? Os coeficientes de alguma incógnita são iguais ou opostos? Essa análise rápida economiza passos e reduz erros. [INTERACTIVE: A1 | mapa mental | Explore o mapa mental interativo com os dois métodos de resolução algébrica de sistemas na plataforma Teachy] [Section 5] ## Na prática Com os dois métodos formalizados, é hora de desenvolver fluência. Nos exercícios a seguir, você vai aplicar cada método, trabalhar com situações contextualizadas e interpretar resultados inesperados. [P1] Resolva o sistema de equações a seguir pelo **método da substituição**: $$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 16 \end{cases}$$ Mostre cada etapa: isole a variável, substitua na segunda equação e determine o valor das duas incógnitas. [LINES: 6] > **Atenção aos sinais!** Ao substituir uma expressão, use sempre parênteses e distribua o fator por todos os termos. Por exemplo, ao colocar (2x + 1) no lugar de y em 3x + y, escreva 3x + (2x + 1), não 3x + 2x + 1 sem os parênteses — o erro de sinal é o mais comum nessa etapa. [P2] Resolva o sistema a seguir pelo **método da adição**: $$\begin{cases} 2x + y = 10 \\ -2x + 3y = 6 \end{cases}$$ Indique qual operação foi realizada para eliminar uma das variáveis e determine a solução do sistema. _Dica: Observe o que acontece quando você soma as duas equações diretamente — um dos termos desaparece._ [LINES: 6] Nos próximos exercícios, você vai modelar situações reais em sistemas e interpretar o que os resultados significam. [P3] Uma pessoa comprou 3 cadernos e 2 canetas e pagou R$ 26,00. Seu colega comprou 1 caderno e 4 canetas do mesmo tipo e pagou R$ 22,00. Seja $c$ o preço de um caderno e $k$ o preço de uma caneta. a) Escreva o sistema de equações que representa essa situação. b) Resolva o sistema pelo método que preferir e determine o preço de cada item. _Dica: Organize as informações de cada compra como uma equação separada, associando o total gasto à quantidade de cada produto._ [LINES: 8] [P4] Considere o sistema: $$\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 6x - 2y = 10 \end{cases}$$ Um estudante tentou resolver pelo método da adição e obteve $0 = 0$. Explique o que esse resultado indica sobre as soluções do sistema. O que acontece quando você tenta resolvê-lo pelo método da substituição? _Dica: Compare as duas equações — existe alguma relação entre elas? O que isso diz sobre as retas que elas representam?_ [LINES: 6] [Section 6] ## Exercícios Nos exercícios a seguir, você vai identificar qual método é mais eficiente para cada sistema, resolver sistemas em diferentes contextos e interpretar os resultados. [ID1] Para cada sistema abaixo, indique qual método — substituição ou adição — seria mais eficiente para resolver, justificando sua escolha. Não é necessário resolver. $$\text{(a) } \begin{cases} y = 3x - 1 \\ 2x + y = 9 \end{cases} \qquad \text{(b) } \begin{cases} 5x + 2y = 14 \\ 5x - 2y = 6 \end{cases} \qquad \text{(c) } \begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ x - 4y = 2 \end{cases}$$ [LINES: 4] [I1] Em uma escola, o clube de matemática tem 28 membros. O número de meninas é 4 a mais que o dobro do número de meninos. Sendo $m$ o número de meninos e $f$ o número de meninas: Resolva o sistema de equações formado por essas duas condições pelo método da substituição e determine quantos meninos e quantas meninas fazem parte do clube. [LINES: 6] [I2] Observe as duas balanças de pratos abaixo em equilíbrio. Em cada balança, os pratos opostos têm a mesma massa total. _[Imagem: duas balanças em equilíbrio. Balança 1: lado esquerdo com 2 caixas azuis (x) e 1 caixa vermelha (y); lado direito marcando 14 kg. Balança 2: lado esquerdo com 1 caixa azul (x) e 3 caixas vermelhas (y); lado direito marcando 17 kg.]_ a) Escreva o sistema de equações representado pelas duas balanças, usando $x$ para a massa da caixa azul e $y$ para a massa da caixa vermelha. b) Resolva o sistema pelo método da adição e determine a massa de cada tipo de caixa. [LINES: 7] **Images:** - GENERATE: Two balance scales side by side, both in equilibrium. Scale 1: left pan has 2 blue boxes labeled x and 1 red box labeled y, right pan shows 14 kg. Scale 2: left pan has 1 blue box labeled x and 3 red boxes labeled y, right pan shows 17 kg. Clean educational illustration, white background, Portuguese labels. | balanças-sistema.png | 16:9 [I3] _Um produtor rural planta milho e soja em sua propriedade. A área total plantada é de 120 hectares. O lucro por hectare de milho é de R$ 800,00 e o de soja é de R$ 600,00. Sabendo que o lucro total esperado é de R$ 82.000,00, o produtor quer descobrir quantos hectares deve destinar a cada cultura._ Se $x$ representa a área de milho (em hectares) e $y$ a área de soja, o sistema que modela esse problema é: $$\begin{cases} x + y = 120 \\ 800x + 600y = 82.000 \end{cases}$$ Resolvendo esse sistema pelo método da substituição, a área destinada ao milho é de: (A) 40 hectares (B) 50 hectares (C) 70 hectares (D) 80 hectares (E) 90 hectares [I4] Em um estacionamento, há somente motos e carros. O funcionário contou 60 veículos e 184 rodas. Sendo $m$ o número de motos e $c$ o número de carros: a) Escreva o sistema de equações que representa a situação. b) Use o método da adição para resolver o sistema e determine quantas motos e quantos carros estão no estacionamento. [LINES: 7] [I5] _Dois amigos, Kauan e Beatriz, estão resolvendo o mesmo sistema de equações:_ $$\begin{cases} 4x + 2y = 20 \\ 2x + y = 10 \end{cases}$$ _Kauan usou o método da substituição e obteve $0 = 0$ ao final. Beatriz usou o método da adição, multiplicou a segunda equação por $-2$ e também obteve $0 = 0$. Ambos ficaram em dúvida sobre o que esse resultado significa._ Explique, com suas próprias palavras, por que os dois métodos levam ao mesmo resultado nesse sistema. O que esse resultado indica sobre as soluções desse sistema? Que relação existe entre as duas equações? [LINES: 8] [INTERACTIVE: D | responda na plataforma | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática]