Resolução e elaboração de problemas com grandezas proporcionais

# Resolução e Elaboração de Problemas com Grandezas Proporcionais [Sequence 6] Eu, Harry Potter, aprendi em Hogwarts que a verdadeira habilidade matemática aparece quando você consegue combinar tudo o que sabe e aplicar no mundo real — então, será que você já está pronto para isso? Nesta seção, você vai integrar os conceitos de proporcionalidade direta e inversa para resolver e criar problemas contextualizados. Em resumo, este é o momento de mostrar que o feitiço da divisão proporcional está completamente dominado. ## Exercícios [I1] (DOK 1) Uma torneira enche um reservatório em 6 horas. A tabela abaixo mostra a relação entre o número de torneiras iguais ligadas ao mesmo tempo e o tempo necessário para encher o mesmo reservatório. | Número de torneiras | Tempo (horas) | |---|---| | 1 | 6 | | 2 | 3 | | 3 | 2 | | 6 | 1 | Que tipo de proporcionalidade está representado na tabela? (A) Diretamente proporcional, pois ao dobrar o número de torneiras o tempo também dobra. (B) Inversamente proporcional, pois ao dobrar o número de torneiras o tempo cai pela metade. (C) Diretamente proporcional, pois a soma das colunas permanece constante. (D) Inversamente proporcional, pois ao dobrar o número de torneiras o tempo também dobra. (E) Não há proporcionalidade, pois os valores não formam uma razão constante. **Gabarito:** B --- [I2] (DOK 1) Um comerciante quer dividir R$ 2 400,00 entre três funcionários de forma diretamente proporcional ao número de horas trabalhadas por cada um. O funcionário A trabalhou 20 horas, o B trabalhou 30 horas e o C trabalhou 10 horas. Qual é o valor que o funcionário B deve receber? (A) R$ 400,00 (B) R$ 600,00 (C) R$ 800,00 (D) R$ 1 200,00 (E) R$ 960,00 **Gabarito:** D --- [I3] (DOK 1) Três sócios investiram em um negócio nas seguintes proporções: o sócio X investiu R$ 5 000,00, o sócio Y investiu R$ 3 000,00 e o sócio Z investiu R$ 2 000,00. Ao final do primeiro ano, o lucro total foi de R$ 20 000,00 a ser dividido proporcionalmente ao capital investido. Calcule a parte do lucro que cabe a cada sócio. [LINES: 5] --- [I4] (DOK 2) Uma herança de R$ 84 000,00 deve ser dividida entre três herdeiros de forma inversamente proporcional às suas idades. As idades são: herdeiro A tem 21 anos, herdeiro B tem 28 anos e herdeiro C tem 12 anos. a) Encontre os inversos das idades e calcule a soma desses inversos. b) Calcule o valor que cada herdeiro receberá. [LINES: 8] --- [I5] (DOK 2) Um corredor percorre uma distância a uma velocidade constante de 8 km/h e leva 3 horas para completar o trajeto. Ele deseja percorrer a mesma distância em 2 horas. a) Identifique que tipo de proporcionalidade existe entre velocidade e tempo nessa situação. b) Determine a velocidade necessária para completar o percurso em 2 horas. [LINES: 6] --- [I6] (DOK 2) Uma empresa de construção civil tem um projeto que pode ser concluído por 12 operários em 30 dias. O cliente pediu que a obra fosse entregue em 20 dias. Quantos operários, no mínimo, a empresa precisará contratar adicionalmente para cumprir o prazo? (A) 6 operários (B) 8 operários (C) 18 operários (D) 9 operários (E) 10 operários **Gabarito:** A --- [I7] (DOK 2) Três canos de diâmetros diferentes abastecem uma caixa d'água. O cano 1 tem diâmetro 2 cm, o cano 2 tem diâmetro 3 cm e o cano 3 tem diâmetro 6 cm. A vazão de cada cano é diretamente proporcional ao seu diâmetro. O total de água fornecida por dia é 550 litros. Organize os dados em uma tabela e calcule quantos litros cada cano fornece por dia. [LINES: 6] --- [I8] (DOK 2) Três irmãos recebem mesadas de forma inversamente proporcional às suas idades. O irmão mais novo tem 5 anos, o do meio tem 10 anos e o mais velho tem 15 anos. O total das mesadas é R$ 275,00. Determine o valor da mesada de cada irmão. (A) Mais novo: R$ 150,00; do meio: R$ 75,00; mais velho: R$ 50,00 (B) Mais novo: R$ 155,00; do meio: R$ 62,00; mais velho: R$ 93,00 (C) Mais novo: R$ 100,00; do meio: R$ 100,00; mais velho: R$ 75,00 (D) Mais novo: R$ 180,00; do meio: R$ 90,00; mais velho: R$ 40,00 (E) Mais novo: R$ 124,00; do meio: R$ 62,00; mais velho: R$ 31,00 **Gabarito:** A --- [I9] (DOK 2) Uma cooperativa agrícola produziu 4 800 kg de mel em uma temporada e distribuiu a produção entre três apicultores de forma diretamente proporcional ao número de colmeias que cada um possui. O apicultor Antônio tem 40 colmeias, a apicultora Beatriz tem 60 colmeias e o apicultor Carlos tem 20 colmeias. Elabore um problema diferente, mas que utilize os mesmos valores da situação acima para descrever uma divisão em partes diretamente proporcionais. Em seguida, resolva o problema que você criou. [LINES: 10] --- [I10] (DOK 3) _Uma cidade tem três bairros servidos pelo mesmo reservatório de água. O engenheiro responsável precisa distribuir 360 000 litros por dia de forma inversamente proporcional à distância de cada bairro ao reservatório. O bairro A está a 2 km, o bairro B está a 3 km e o bairro C está a 6 km do reservatório._ Por que distribuir a água de forma inversamente proporcional à distância pode ser uma estratégia adequada nessa situação? Explique o raciocínio e calcule o volume distribuído para cada bairro. [LINES: 10] --- [I11] (DOK 3) _Uma empresa de logística precisa distribuir o custo de R$ 18 000,00 de um frete coletivo entre três clientes. O cliente P enviou 150 kg de carga, o cliente Q enviou 250 kg e o cliente R enviou 100 kg. Para ser justa, a empresa decide que cada cliente pagará de forma diretamente proporcional ao peso da sua carga._ Com base nessa situação, qual é o valor correto que o cliente Q deverá pagar pelo frete? (A) R$ 4 500,00 (B) R$ 6 000,00 (C) R$ 9 000,00 (D) R$ 7 500,00 (E) R$ 5 000,00 **Gabarito:** C **Images:** - PLOT: Bar chart showing proportional division of R$ 18 000,00 among three clients (P: 150 kg → R$ 5 400, Q: 250 kg → R$ 9 000, R: 100 kg → R$ 3 600), with bars labeled by client name, cargo weight, and payment value | frete-divisao-proporcional.png | 4:3 --- [I12] (DOK 3) _Dois projetos de irrigação serão implantados em uma fazenda. No projeto A, 4 bombas de água funcionam juntas e enchem um reservatório em 6 horas. No projeto B, o mesmo reservatório precisa ser enchido em apenas 4 horas, e o fazendeiro quer saber quantas bombas idênticas às do projeto A serão necessárias. Além disso, o custo total de R$ 12 000,00 do projeto B será dividido entre três parceiros de forma inversamente proporcional ao número de hectares que cada um possui: o parceiro 1 tem 20 ha, o parceiro 2 tem 30 ha e o parceiro 3 tem 60 ha._ a) Determine o número de bombas necessárias no projeto B. b) Calcule o valor que cada parceiro deverá pagar, considerando a divisão inversamente proporcional ao número de hectares. [LINES: 12] [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática com feedback detalhado]