Resolução Gráfica de Sistemas

# Resolução Gráfica de Sistemas [Section 4] Nos capítulos anteriores, você aprendeu a reconhecer sistemas de equações de 1º grau com duas incógnitas e a resolvê-los pelos métodos da substituição e da adição. Agora, você vai explorar uma abordagem diferente: enxergar cada equação como uma reta no plano cartesiano e encontrar a solução do sistema observando onde essas retas se cruzam. ## Cada equação é uma reta Toda equação de 1º grau com duas incógnitas — escrita na forma ax + by = c — pode ser representada por uma reta no plano cartesiano. Para traçá-la, basta calcular dois pares ordenados (x, y) que satisfaçam a equação, marcá-los no plano e ligá-los com uma régua. Cada ponto dessa reta é, simultaneamente, uma solução da equação — por isso existem infinitos pares que a satisfazem. **Images:** - PLOT: Plano cartesiano com eixos x e y rotulados, mostrando a reta y = 2x + 1 passando pelos pontos (0, 1) e (2, 5), com os dois pontos destacados e etiquetados. Grade quadriculada visível. | reta-equacao-linear.png | 1:1 ## Quando um sistema tem solução no gráfico Um sistema de duas equações corresponde a duas retas no mesmo plano. A solução do sistema — o par (x, y) que satisfaz as duas equações ao mesmo tempo — é exatamente o ponto de intersecção dessas retas, ou seja, o único ponto que pertence às duas retas simultaneamente. Por isso, para resolver graficamente um sistema, basta traçar as duas retas no mesmo plano cartesiano e identificar onde elas se encontram. **Images:** - PLOT: Plano cartesiano com duas retas coloridas de forma diferente (azul e vermelha). A reta azul representa y = 2x + 1 e a reta vermelha representa y = -x + 4. As retas se cruzam em (1, 3), com o ponto de intersecção destacado em cor diferente e etiquetado como "(1, 3) = solução". Eixos rotulados, grade quadriculada. | intersecao-sistema.png | 1:1 ## Como construir a resolução gráfica: passo a passo Para resolver graficamente um sistema, siga estas etapas: **Passo 1 — Reescreva as equações na forma y = mx + b.** Isole y em cada equação para facilitar o cálculo dos pares ordenados. **Passo 2 — Monte uma tabela de valores para cada equação.** Escolha ao menos dois valores de x para cada equação e calcule o y correspondente. **Passo 3 — Plote os pontos no plano cartesiano.** Marque os pares ordenados de cada equação no mesmo plano, usando cores ou símbolos distintos para cada reta. **Passo 4 — Trace as retas.** Ligue os pontos de cada equação com uma reta, usando régua. **Passo 5 — Identifique o ponto de intersecção.** Observe onde as duas retas se cruzam e leia as coordenadas desse ponto. **Passo 6 — Verifique algebricamente.** Substitua as coordenadas encontradas nas duas equações originais para confirmar que o ponto é, de fato, solução do sistema. ### Exemplo resolvido Resolva graficamente o sistema: $$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases}$$ **Tabela de valores:** | x | y = 2x + 1 | y = –x + 4 | |---|-----------|-----------| | 0 | 1 | 4 | | 1 | 3 | 3 | | 2 | 5 | 2 | Plotando os pontos e traçando as retas, elas se cruzam em **(1, 3)**. **Verificação:** Substituindo x = 1 e y = 3 nas duas equações: - y = 2(1) + 1 = 3 ✓ - y = –(1) + 4 = 3 ✓ O par (1, 3) satisfaz as duas equações. Portanto, a solução do sistema é **(x = 1, y = 3)**. ## E quando as retas não se cruzam? Nem todo sistema tem solução única. Se as duas retas forem paralelas — isto é, se tiverem a mesma inclinação mas intercepções diferentes no eixo y —, elas nunca se encontram, e o sistema **não possui solução**. Graficamente, isso fica evidente: por mais que você prolongue as retas, elas jamais se intersectam. Você verá esse caso nos exercícios a seguir. [INTERACTIVE: A1 | mapa mental | Acesse o mapa mental interativo sobre resolução gráfica de sistemas na plataforma Teachy] [chapter-callout-label: Zoom] Observe dois sistemas: no primeiro, as retas têm inclinações diferentes e se cruzam em um ponto. No segundo, as retas têm a mesma inclinação. O que você consegue concluir sobre a solução do segundo sistema antes mesmo de calcular? [chapter-callout-label: Sabia?] A ideia geométrica de encontrar a intersecção entre duas retas está na base de diversas tecnologias modernas. Em robótica e navegação, por exemplo, algoritmos calculam onde trajetórias retas se cruzam para planejar rotas e evitar colisões — uma aplicação direta do raciocínio geométrico que você está estudando. [Section 5] ## Na prática Agora é sua vez de aplicar o método. Os exercícios a seguir partem do mais direto e avançam para situações que exigem mais etapas de análise. [P1] Considere o sistema abaixo: $$\begin{cases} y = x + 2 \\ y = -x + 6 \end{cases}$$ A tabela a seguir apresenta alguns pares ordenados calculados para cada equação: | x | y = x + 2 | y = –x + 6 | |---|----------|-----------| | 0 | 2 | 6 | | 2 | 4 | 4 | | 4 | 6 | 2 | a) Quais são as coordenadas do ponto em que as duas retas se intersectam? b) Verifique algebricamente que esse ponto satisfaz as duas equações do sistema. _Dica: o ponto de intersecção é aquele cujas coordenadas (x, y) tornam verdadeiras ambas as equações ao mesmo tempo._ --- [P2] Para representar graficamente o sistema $$\begin{cases} 2x + y = 6 \\ x - y = 0 \end{cases}$$ um estudante precisa identificar dois pontos de cada reta. Complete as etapas abaixo: a) Para a equação 2x + y = 6, calcule y quando x = 0 e quando x = 3. b) Para a equação x − y = 0, calcule y quando x = 0 e quando x = 2. c) Com os pontos encontrados, descreva como determinar a solução do sistema a partir do gráfico. _Dica: reescreva cada equação na forma y = mx + b antes de calcular os pares ordenados — fica mais fácil encontrar os pontos para traçar cada reta._ --- [P3] O gráfico abaixo representa duas retas no plano cartesiano. A reta **r** passa pelos pontos (0, 4) e (2, 0). A reta **s** passa pelos pontos (0, 1) e (2, 3). **Images:** - PLOT: Plano cartesiano com eixos x e y rotulados. Reta r com inclinação negativa passando por (0, 4) e (2, 0), rotulada como "r". Reta s com inclinação positiva passando por (0, 1) e (2, 3), rotulada como "s". As duas retas se cruzam em um ponto que deve ser identificado visualmente. Grade quadriculada, com marcações nos eixos de –1 a 5 no eixo y e –1 a 4 no eixo x. | retas-p3.png | 1:1 a) Estime as coordenadas do ponto de intersecção das duas retas. b) Escreva as equações das retas r e s na forma y = mx + b e resolva algebricamente o sistema para verificar se sua estimativa está correta. _Dica: para encontrar a equação de cada reta na forma y = mx + b, use os dois pontos conhecidos. Substitua um par ordenado na equação para descobrir o valor que multiplica x (a inclinação) e o valor onde a reta corta o eixo y (quando x = 0)._ [chapter-callout-label: Zoom] Dois erros aparecem com frequência ao ler o ponto de intersecção no gráfico. O primeiro é inverter as coordenadas: lembre-se de identificar primeiro o valor de x (eixo horizontal) e depois o de y (eixo vertical). O segundo é aceitar uma leitura visual aproximada como solução exata — por isso, o Passo 6 existe: sempre substitua as coordenadas lidas nas duas equações para confirmar que o ponto realmente as satisfaz. Se a verificação não fechar, o ponto foi lido com imprecisão. [Section 6] Com a construção gráfica bem compreendida, é hora de aplicar o método em situações variadas — desde verificação de soluções até modelagem de problemas do cotidiano. ## Exercícios [I1] Para representar graficamente o sistema $$\begin{cases} y = x + 3 \\ y = -2x + 6 \end{cases}$$ Luana calculou que a solução seria o ponto (1, 4). Para verificar a resposta dela, substitua x = 1 e y = 4 em cada equação do sistema. A solução de Luana está correta? Justifique. (A) Sim, porque (1, 4) satisfaz apenas a primeira equação. (B) Não, porque (1, 4) não satisfaz nenhuma das duas equações. (C) Sim, porque (1, 4) satisfaz as duas equações simultaneamente. (D) Não, porque a solução de um sistema só pode ser verificada graficamente, nunca algebricamente. (E) Sim, porque o ponto (1, 4) está no eixo y do plano cartesiano. **Gabarito:** C --- [I2] Em uma competição de robótica, dois robôs saem de pontos diferentes e se movem em linha reta no mesmo plano. O robô A segue a trajetória descrita por y = 3x − 2 e o robô B segue y = −x + 6, onde x representa o tempo em segundos e y representa a posição vertical em metros. a) Determine dois pares ordenados para cada trajetória e represente-as em um plano cartesiano, marcando os pontos encontrados. b) Identifique graficamente o ponto em que as trajetórias dos dois robôs se cruzam e indique o que esse ponto representa no contexto da competição. [LINES: 5] --- [I3] Uma empresa de entrega usa dois tipos de contrato para calcular o custo de um frete. No **Contrato A**, o custo é de R$ 10,00 fixos mais R$ 2,00 por quilômetro rodado. No **Contrato B**, não há taxa fixa, mas o custo é de R$ 4,00 por quilômetro rodado. Um gestor representou os dois contratos como retas no plano cartesiano, com o eixo x indicando a distância em quilômetros (km) e o eixo y indicando o custo total em reais (R$). O ponto de intersecção das duas retas indica a distância para a qual os dois contratos têm o mesmo custo. Com base nessa situação, o sistema de equações que representa os dois contratos e a distância (em km) para a qual os custos se igualam são, respectivamente: (A) $\begin{cases} y = 2x + 10 \\ y = 4x \end{cases}$ e 5 km (B) $\begin{cases} y = 10x + 2 \\ y = 4x \end{cases}$ e 2 km (C) $\begin{cases} y = 2x + 10 \\ y = 4x \end{cases}$ e 10 km (D) $\begin{cases} y = x + 10 \\ y = 4x \end{cases}$ e 4 km (E) $\begin{cases} y = 2x + 10 \\ y = 4x \end{cases}$ e 2 km **Gabarito:** A --- [I4] O plano cartesiano abaixo exibe as retas correspondentes às equações de dois sistemas diferentes. **Images:** - PLOT: Plano cartesiano com dois pares de retas. Sistema I: reta p com equação y = x + 1 (inclinação positiva) e reta q com equação y = −x + 5 (inclinação negativa), que se cruzam em (2, 3). Sistema II: reta r com equação y = 2x − 1 e reta s com equação y = 2x + 2, que são paralelas (mesma inclinação, não se cruzam). Todas as retas rotuladas com suas equações. Grade quadriculada, eixos de −1 a 6. | sistemas-i-ii.png | 4:3 Observe os dois sistemas representados graficamente e responda: a) Qual dos dois sistemas possui solução? Indique as coordenadas da solução. b) Explique, com base na representação gráfica, por que o outro sistema não possui solução. [LINES: 5] --- [I5] Em uma escola, a professora de matemática propôs a seguinte atividade: cada dupla de alunos deveria criar um sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas cuja solução fosse o ponto (3, 2) no plano cartesiano. O grupo de Mateus e Isabela chegou ao sistema: $$\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 4 \end{cases}$$ O grupo de Carlos e Fernanda chegou ao sistema: $$\begin{cases} y = x - 1 \\ y = -x + 5 \end{cases}$$ a) Verifique algebricamente se o ponto (3, 2) é solução dos dois sistemas. b) Descreva como a representação gráfica de cada sistema confirmaria visualmente que a solução é o ponto (3, 2). [LINES: 8] [INTERACTIVE: D | responda na plataforma | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática] --- **Referência de imagens** | Tipo | Arquivo | Descrição | |------|---------|-----------| | Para plotar | reta-equacao-linear.png | Plano cartesiano com reta y = 2x + 1 destacando os pontos (0,1) e (2,5) | | Para plotar | intersecao-sistema.png | Duas retas coloridas (y = 2x+1 azul e y = -x+4 vermelha) intersectando em (1,3), com ponto de solução etiquetado | | Para plotar | retas-p3.png | Retas r e s passando por pontos específicos, cruzando-se em ponto a ser identificado | | Para plotar | sistemas-i-ii.png | Sistema I com solução em (2,3) e Sistema II com retas paralelas sem solução |