Rotação (Giro) de Figuras Planas

# Rotação (Giro) de Figuras Planas [Sequence 4] Na aula anterior, eu e você investigamos a reflexão — aquela transformação que espelha a figura em relação a um eixo, invertendo sua orientação. Agora vamos investigar juntos uma terceira isometria: a **rotação**, em que a figura não é espelhada nem deslizada, mas **girada** em torno de um ponto fixo. ## O que é uma rotação? A rotação é uma transformação geométrica que move todos os pontos de uma figura em torno de um ponto fixo, chamado de **centro de rotação**. Pense nisso como magia, mas com regras precisas: cada ponto da figura percorre um arco de circunferência, mantendo exatamente a mesma distância ao centro durante todo o percurso. Você já deve ter percebido esse efeito ao girar a agulha de um compasso — o ponto fixo da ponta é exatamente o centro de rotação, e a ponta do lápis descreve um arco. Assim como a translação e a reflexão, a rotação é uma **isometria**, o que significa que ela preserva distâncias entre pontos e ângulos internos da figura. Por isso, a figura original e a figura rotacionada são sempre **congruentes**: mesma forma, mesmo tamanho, apenas em posição diferente no plano. Em resumo, a rotação move a figura pelo plano sem deformá-la, diferindo da reflexão por não inverter a orientação quando o ângulo de giro não é 180°. **Images:** - [PLOT] Diagrama de rotação: triângulo ABC com vértices A(2,1), B(4,1), C(3,3) sendo rotacionado 90° anti-horário em torno da origem O(0,0), mostrando o triângulo original em azul, a imagem rotacionada A'B'C' em laranja, e arcos tracejados indicando o caminho de cada vértice com o ângulo de 90° marcado | rotacao-triangulo-90.png | 4:3 ## Os três elementos da rotação Para definir completamente uma rotação, precisamos de três informações — e eu nunca me esqueço disso, como se fossem três ingredientes essenciais de um feitiço. Sem qualquer um deles, a transformação fica incompleta. **Centro de rotação (O):** É o ponto fixo em torno do qual toda a figura gira. Esse ponto não se move. O centro pode estar dentro da figura, fora dela ou sobre um dos seus lados — e isso influencia o resultado visual da transformação. **Ângulo de rotação:** É a medida em graus que indica o quanto a figura gira. Ângulos comuns em exercícios são 90°, 180° e 270°. Uma rotação de 360° devolve a figura exatamente à posição original, como se nada tivesse acontecido. **Sentido de giro:** A rotação pode ocorrer no **sentido horário** (mesmo sentido dos ponteiros do relógio) ou no **sentido anti-horário** (sentido contrário). O sentido deve ser sempre indicado, pois uma rotação de 90° horária produz um resultado diferente de uma rotação de 90° anti-horária. Você consegue imaginar o que acontece com um ponto quando ele gira 90° num sentido e depois 90° no sentido oposto? Em resumo, toda rotação fica determinada pelos três elementos — centro, ângulo e sentido — e alterar qualquer um deles muda a posição da figura resultante. **Images:** - [PLOT] Diagrama mostrando os dois sentidos de giro: à esquerda, seta curva indicando sentido horário (com ícone de relógio analógico); à direita, seta curva indicando sentido anti-horário. No centro, ponto O como centro de rotação com um segmento de reta mostrando o ponto P antes e depois do giro em cada sentido, com o ângulo de giro marcado em cada caso. Fundo branco, linhas limpas e rótulos claros | sentido-rotacao.png | 16:9 [chapter-section: Sabia?] As engrenagens de um relógio mecânico usam rotações contínuas em torno de eixos fixos para marcar o tempo. O ponteiro dos segundos completa uma rotação de 360° a cada minuto, o dos minutos a cada hora. Por isso, o sentido de movimento dos ponteiros deu nome à direção horária na geometria! **Images:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/de2a256f0414a92f51e50b03f58b8ec1e88fb6b87ae6d26623f3048905901e1b.gif — Engrenagens coloridas em movimento ilustrando rotação em torno de centros fixos | Attribution: Fonte: Jahobr - Wikimedia Commons ## Regras de coordenadas para rotações em torno da origem Quando o centro de rotação é a **origem do plano cartesiano**, existem regras práticas que transformam as coordenadas de qualquer ponto (x, y) na imagem correspondente após o giro. Pense nisso como receitas de feitiço: dado o ângulo e o sentido, basta aplicar a fórmula certa para encontrar a nova posição. | Rotação | Sentido | Regra de transformação | |---------|---------|----------------------| | 90° | Anti-horário | (x, y) → (−y, x) | | 90° | Horário | (x, y) → (y, −x) | | 180° | Qualquer sentido | (x, y) → (−x, −y) | | 270° | Anti-horário | (x, y) → (y, −x) | | 270° | Horário | (x, y) → (−y, x) | Você notou que a regra de 270° anti-horário é igual à de 90° horário? Isso faz sentido geométrico: girar 270° para um lado equivale a girar apenas 90° para o outro, pois as duas rotações somam 360° — uma volta completa. Em resumo, as regras de coordenadas são atalhos que tornam os cálculos mais rápidos, mas sempre derivam da mesma ideia de preservar distâncias ao centro. ## Como construir uma rotação passo a passo Quando trabalhamos com instrumentos de desenho, como compasso e transferidor, eu sigo este procedimento — é como um feitiço com etapas bem definidas, em que pular uma delas compromete o resultado. **Passo 1:** Identifique o centro de rotação O, o ângulo de rotação e o sentido de giro. **Passo 2:** Escolha um vértice da figura original, por exemplo, o ponto A. Trace o segmento OA. **Passo 3:** Com o transferidor centrado em O, meça o ângulo indicado a partir do segmento OA, no sentido de giro especificado. Marque a direção correspondente. **Passo 4:** Com o compasso aberto com raio igual a OA, trace um arco a partir de O. O ponto onde o arco corta a direção marcada no Passo 3 é a imagem A'. **Passo 5:** Repita os passos 2 a 4 para cada vértice da figura. Ligue as imagens dos vértices para obter a figura rotacionada. **Passo 6:** Verifique a congruência: meça os lados e ângulos da figura original e da figura rotacionada — eles devem ser iguais. Será que você já usou esse procedimento sem perceber, ao apontar um compasso e traçar arcos em construções geométricas? Em resumo, a construção manual de uma rotação exige precisão no uso do transferidor e do compasso, mas o princípio é sempre o mesmo: girar cada ponto ao redor do centro preservando sua distância a ele. ## Exemplos resolvidos Vamos praticar os três tipos mais comuns de rotação em torno da origem. Esses exemplos serão nossa base para os exercícios — em Hogwarts, aprendi que nunca se deve pular os exemplos resolvidos! **Exemplo 1 — Rotação de 90° anti-horário:** Determine a imagem do ponto P(3, 2) após uma rotação de 90° no sentido anti-horário em torno da origem. Usando a regra (x, y) → (−y, x): - x = 3 e y = 2 - Imagem: P'(−2, 3) **Exemplo 2 — Rotação de 180°:** Um triângulo tem vértices A(1, 0), B(3, 0) e C(2, 2). Determine as imagens após uma rotação de 180° em torno da origem. Usando a regra (x, y) → (−x, −y): - A(1, 0) → A'(−1, 0) - B(3, 0) → B'(−3, 0) - C(2, 2) → C'(−2, −2) **Exemplo 3 — Rotação de 270° anti-horário:** Determine a imagem do ponto Q(4, 1) após uma rotação de 270° no sentido anti-horário. Como 270° anti-horário equivale a 90° horário, usamos a regra (x, y) → (y, −x): - x = 4 e y = 1 - Imagem: Q'(1, −4) Em resumo, em todos os casos a distância de cada ponto à origem é preservada — a rotação apenas muda a direção em que o ponto "aponta" a partir do centro. **Images:** - [PLOT] Plano cartesiano mostrando o triângulo ABC (vértices A(1,0), B(3,0), C(2,2)) em azul e a imagem A'B'C' após rotação de 180° (vértices A'(-1,0), B'(-3,0), C'(-2,-2)) em laranja. Eixos com marcações de -4 a 4. Ponto O na origem marcado como centro de rotação. Os dois triângulos estão identificados com seus vértices | rotacao-180-triangulo.png | 1:1 [chapter-section: Zoom] Você dominou os três tipos básicos de rotação em torno da origem. Agora pense: se aplicarmos duas rotações sucessivas de 90° anti-horárias em torno da mesma origem, qual é o efeito total sobre um ponto qualquer? Você chegaria ao mesmo resultado com uma única rotação de quantos graus? [INTERACTIVE: a1-sl | Explore a rotação de figuras no plano cartesiano com os slides interativos na plataforma Teachy] ## Na prática [Sequence 5] Vamos colocar em prática o que investigamos. Esses exercícios partem de situações simples de identificação e avançam gradualmente para construções no plano cartesiano — como aprender os encantamentos básicos antes de ir para os mais avançados. Em resumo, cada questão treina um aspecto diferente da rotação, para que você domine o conceito por inteiro. [P1] Observe a figura abaixo. Um triângulo de vértices A, B e C está posicionado em um plano cartesiano. O ponto O é o centro de rotação. _[Descrição da imagem: plano cartesiano com um triângulo ABC no primeiro quadrante. O ponto O está na origem. Uma seta curva indica uma rotação de 90° no sentido anti-horário.]_ Após uma rotação de 90° no sentido anti-horário em torno do ponto O (origem), o vértice A(3, 1) se desloca para qual posição? (A) (1, 3) (B) (−1, 3) (C) (−3, 1) (D) (3, −1) (E) (1, −3) **Gabarito:** (B) --- [P2] Identifique qual das afirmações abaixo é verdadeira sobre uma rotação de figuras planas. (A) A rotação altera o tamanho da figura. (B) A rotação altera a forma da figura. (C) A rotação preserva as distâncias entre os pontos da figura e o centro de rotação. (D) A rotação transforma a figura em sua imagem espelhada. (E) A rotação desloca o centro de rotação para outra posição. **Gabarito:** (C) --- [P3] Um quadrado PQRS tem seu centro no ponto O. Ao ser girado 180° em torno de O, o aluno Marcos afirmou que a figura resultante seria idêntica à original, pois "180° é metade de uma volta completa e o quadrado é simétrico". Explique se a afirmação de Marcos está correta. Indique qual é a imagem de cada vértice após a rotação de 180°. _Dica: Pense nas propriedades de simetria do quadrado em relação ao seu centro — cada vértice vai para a posição do vértice diagonalmente oposto._ [LINES: 5] **Resposta esperada:** Marcos está correto. Um quadrado possui simetria rotacional de ordem 4, portanto uma rotação de 180° em torno do centro faz a figura coincidir consigo mesma. Cada vértice vai para o vértice diagonalmente oposto: P→R, Q→S, R→P, S→Q. --- [P4] O desenho a seguir mostra um segmento de reta AB em um plano. O ponto C, que não pertence ao segmento, é o centro de rotação. _[Descrição da imagem: plano cartesiano com o segmento AB, onde A = (2, 0) e B = (4, 0). O centro de rotação C está em (0, 0). Uma seta curva indica rotação de 90° no sentido horário.]_ a) Determine as coordenadas das imagens A' e B' após a rotação de 90° no sentido horário em torno da origem C. b) O segmento A'B' tem o mesmo comprimento que AB? Justifique. _Dica: Para uma rotação de 90° no sentido horário, use a regra: o ponto (x, y) vai para (y, −x)._ [LINES: 6] **Resposta esperada:** a) A(2,0) → A'(0,−2); B(4,0) → B'(0,−4). b) Sim. O comprimento de AB é |4−2| = 2. O comprimento de A'B' é |−4−(−2)| = 2. A rotação é uma isometria e preserva distâncias. ## Exercícios [Sequence 6] Chegou a hora de aplicar o que aprendeu em situações que exigem raciocínio mais amplo. Esses exercícios vão te colocar frente a contextos variados — design, tecnologia, jogos — nos quais a rotação aparece de formas que eu jamais imaginaria antes de estudar geometria em Hogwarts. Em resumo, cada questão explora um aspecto diferente da rotação: desde ângulos especiais até simetria rotacional de figuras complexas. [I1] _Uma engenheira de design está criando um padrão decorativo para azulejos. Ela parte de uma figura base — um triângulo retângulo — e aplica rotações sucessivas de 90° em torno do vértice reto para preencher um quadrado._ _[Descrição da imagem: um triângulo retângulo no canto inferior esquerdo de um quadrado. Três cópias do triângulo, obtidas por rotações de 90°, 180° e 270° em torno do vértice reto, completam o quadrado sem sobreposição.]_ **Images:** - [PLOT] Quadrado dividido em quatro triângulos retângulos congruentes. O triângulo original está no canto inferior esquerdo em azul; as três cópias obtidas por rotações de 90°, 180° e 270° em torno do vértice reto estão em tons de laranja, verde e roxo, respectivamente. Setas curvas indicam as três rotações sucessivas | azulejo-rotacao-90.png | 1:1 Com base na situação descrita, qual é o ângulo total de rotação necessário para que o triângulo original retorne exatamente à sua posição inicial, após rotações sucessivas de 90°? (A) 90° (B) 180° (C) 270° (D) 360° (E) 720° **Gabarito:** (D) --- [I2] _Em um software de geometria dinâmica, a estudante Iara posicionou um pentágono regular no plano e definiu o centro do pentágono como centro de rotação. Ela então girou a figura em ângulos diferentes e anotou quando o pentágono coincidia exatamente com sua posição original._ **Images:** - [PLOT] Plano cartesiano com um pentágono regular centralizado na origem, com um dos vértices no topo em azul. A imagem do pentágono após rotação de 72° aparece em linha tracejada laranja, coincidindo com a posição original. O ângulo de 72° está marcado com um arco entre os dois vértices superiores | pentagono-rotacao-72.png | 1:1 Qual é o menor ângulo de rotação positivo, em graus, para o qual um pentágono regular coincide com sua posição original? Explique como você chegou a esse valor. [LINES: 5] --- [I3] _[Descrição da imagem: plano cartesiano com o triângulo T de vértices A(1, 2), B(3, 2) e C(2, 4). O ponto O é a origem (0, 0). Uma seta curva indica uma rotação de 270° no sentido anti-horário.]_ Determine as coordenadas dos vértices A', B' e C' do triângulo T após uma rotação de 270° no sentido anti-horário em torno da origem O. Mostre o procedimento utilizado. _Regra útil: uma rotação de 270° anti-horária equivale a uma rotação de 90° horária. Para 90° horário: (x, y) → (y, −x)._ [LINES: 6] --- [I4] _Um artista gráfico chamado Kaíque projetou um logotipo para uma empresa utilizando uma figura geométrica base. Ele descreveu o processo da seguinte forma: "Parti de um triângulo isósceles e apliquei rotações de 120° em torno do centroide (ponto de equilíbrio) do triângulo, obtendo uma figura que se repete a cada 120° de giro. Em seguida, sobrepus as três imagens para compor o logotipo final."_ _[Descrição da imagem: um triângulo isósceles original e suas duas imagens obtidas por rotações de 120° e 240° em torno do centroide, formando uma figura com aparência de estrela de três pontas.]_ **Images:** - [PLOT] Três triângulos isósceles dispostos em torno de um ponto central, cada um rotacionado 120° em relação ao anterior. O triângulo original está em azul; as imagens após 120° e 240° estão em laranja e verde. Setas curvas indicam as rotações de 120° e 240°. A figura resultante forma uma estrela de três pontas | logo-rotacao-120.png | 1:1 Com base no processo descrito pelo artista, é correto afirmar que a figura final apresenta simetria rotacional de ordem 3 porque: (A) os três triângulos são congruentes entre si e cada rotação de 120° faz a figura coincidir consigo mesma. (B) o centroide do triângulo é equidistante dos três lados, garantindo que as rotações gerem figuras diferentes. (C) a soma dos ângulos de rotação aplicados ultrapassa 360°, criando uma figura com mais de três eixos de simetria. (D) a rotação de 120° transforma o triângulo em sua reflexão, e a sobreposição das reflexões gera a simetria. (E) figuras obtidas por rotações sucessivas de qualquer ângulo sempre apresentam simetria rotacional de ordem 3. **Gabarito:** (A) --- [I5] _Em um jogo de tabuleiro, peças em forma de L (tetrominos) precisam ser encaixadas em espaços do tabuleiro. O jogador pode girar cada peça em torno de seu ponto central em múltiplos de 90° para encontrar a orientação correta._ _[Descrição da imagem: quatro orientações de um tetromino em L, obtidas por rotações de 0°, 90°, 180° e 270° em torno do centro da peça, dispostas lado a lado.]_ **Images:** - [PLOT] Quatro posições do tetromino em L dispostas lado a lado em malha quadriculada: posição original (0°), após 90° horário, após 180° e após 270° horário. Cada tetromino desenhado em malha 3x3 com a peça em L colorida em azul e o ponto central marcado com uma cruz vermelha. Rótulos indicam o ângulo de cada posição | tetromino-L-rotacoes.png | 4:1 a) Quantas orientações distintas a peça em L pode assumir por meio de rotações em torno de seu ponto central? Justifique considerando os ângulos possíveis em uma volta completa com giros de 90°. b) Uma peça diferente — o quadrado 2×2 — possui menos orientações distintas por rotação do que a peça em L. Explique por que isso ocorre, relacionando sua resposta com as propriedades de simetria rotacional do quadrado. [LINES: 8] [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática]