Sentença Algébrica da Proporcionalidade

[Sequence 4] Eu aprendi em Hogwarts que reconhecer padrões é apenas metade do segredo — a outra metade está em escrever a regra que os governa. No capítulo anterior, vimos como identificar se duas grandezas são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais. Agora, vamos investigar isso juntos: dado apenas um par de valores, como você determina a **constante de proporcionalidade k** e formula a sentença algébrica completa que descreve a relação? ## A Sentença Algébrica e a Constante de Proporcionalidade Pense nisso como um feitiço que guarda o segredo da relação: toda proporção esconde um valor constante chamado **k**, que é a "receita" que liga uma grandeza à outra. Uma vez que eu descubro esse k, consigo prever qualquer par de valores, mesmo sem ter uma tabela. Será que você consegue imaginar situações do seu cotidiano em que essa "receita" estaria escondida nos dados? Para grandezas **diretamente proporcionais**, a sentença algébrica tem a forma: **y = k · x** Nessa expressão, k representa o valor que y assume para cada unidade de x. Para calculá-lo, basta dividir y por x usando qualquer par de valores conhecido: **k = y ÷ x** Para grandezas **inversamente proporcionais**, a sentença algébrica tem a forma: **y = k / x** Aqui, k representa o produto constante entre x e y, calculado multiplicando os valores de qualquer par correspondente: **k = x · y** Em resumo, k é o elo matemático entre as duas grandezas: quociente y/x para proporcionalidade direta, e produto x·y para proporcionalidade inversa. **Images:** - [https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images-v2/0d5158bf-b9cc-46f6-84b8-ea06dafb7e5a/generated/v2_0_3.jpg](https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images-v2/0d5158bf-b9cc-46f6-84b8-ea06dafb7e5a/generated/v2_0_3.jpg) — Homem em posto de gasolina avaliando a quantidade de combustível a abastecer, contexto de proporcionalidade direta entre litros e custo | Attribution: Fonte: Desconhecido ## Como Determinar k e Formular a Sentença Eu organizo esse processo como se fosse um ritual de três passos — cada um necessário para chegar à sentença algébrica correta. O procedimento funciona para qualquer situação de proporcionalidade, seja direta ou inversa. **Passo 1 — Identifique o tipo de proporcionalidade.** Verifique se o quociente y/x é constante (direta) ou se o produto x·y é constante (inversa). **Passo 2 — Calcule k a partir do par de valores dado.** Para direta: k = y/x. Para inversa: k = x · y. **Passo 3 — Substitua k na forma geral e escreva a sentença algébrica.** Para direta: y = kx. Para inversa: y = k/x. **Images:** - PLOT: Fluxograma de três etapas horizontais: (1) "Identifique o tipo" com bifurcação "razão y/x constante → Direta" e "produto x·y constante → Inversa"; (2) "Calcule k" com "Direta: k = y÷x" e "Inversa: k = x·y"; (3) "Escreva a sentença" com "Direta: y = kx" e "Inversa: y = k/x". Fundo branco, setas entre etapas, fonte escolar legível. | fluxograma-determinar-k.png | 3:1 ## Exemplos Resolvidos **Exemplo 1 — Proporcionalidade direta** Uma torneira enche um reservatório: após 3 minutos, o volume acumulado é de 24 litros. Sabendo que o volume V é diretamente proporcional ao tempo t, determine k e escreva a sentença algébrica. - **Passo 1:** A relação é direta — tempo e volume crescem juntos, quociente constante. - **Passo 2:** k = V ÷ t = 24 ÷ 3 = **8** - **Passo 3:** Sentença algébrica: **V = 8t** O valor k = 8 significa que a torneira despeja 8 litros por minuto. Com essa sentença, consigo calcular qualquer volume: em 10 minutos, V = 8 · 10 = 80 litros. **Exemplo 2 — Proporcionalidade inversa** Para pintar uma escola, 6 pintores levam 10 dias. Sabendo que o número de pintores p e o número de dias d são inversamente proporcionais, determine k e escreva a sentença algébrica. - **Passo 1:** A relação é inversa — mais pintores implica menos dias; produto constante. - **Passo 2:** k = p · d = 6 · 10 = **60** - **Passo 3:** Sentença algébrica: **d = 60/p** O valor k = 60 representa o total de dias de trabalho necessários se apenas uma pessoa fizesse o serviço. Com 12 pintores, por exemplo, d = 60/12 = 5 dias. **Images:** - PLOT: Dois gráficos lado a lado no plano cartesiano. Gráfico esquerdo: reta passando pela origem, y = 8t, eixo x "Tempo (min)" de 0 a 6, eixo y "Volume (L)" de 0 a 50, pontos marcados em (1,8), (2,16), (3,24), título "Proporcionalidade Direta". Gráfico direito: hipérbole d = 60/p, eixo x "Pintores (p)" de 1 a 12, eixo y "Dias (d)" de 0 a 65, pontos marcados em (3,20), (6,10), (12,5), título "Proporcionalidade Inversa". Fundo branco, grade suave. | graficos-exemplos-proporcionalidade.png | 16:9 [INTERACTIVE: a1-sl | Veja os slides interativos sobre como determinar a constante k e formular a sentença algébrica na plataforma Teachy] [chapter-section: Zoom] Se eu sei que a sentença algébrica de uma relação direta é y = 5x, quais seriam os valores de y quando x = 4 e quando x = 7? E se a sentença fosse y = 60/x, quais seriam os valores de y para esses mesmos x? [Sequence 5] ## Na prática Vamos investigar isso juntos agora — eu sempre aprendi melhor quando coloco os feitiços em prática, e com Matemática não é diferente. Nos exercícios a seguir, você determinará k e formulará a sentença algébrica para situações diretamente e inversamente proporcionais. Você consegue perceber, antes de calcular, qual operação vai usar em cada caso? [P1] Uma torneira despeja água em um reservatório. A tabela abaixo mostra o volume de água (V, em litros) em função do tempo (t, em minutos): | t (min) | 1 | 2 | 3 | 4 | |---------|---|---|---|---| | V (L) | 8 | 16 | 24 | 32 | Sabendo que V e t são diretamente proporcionais, qual é o valor da constante de proporcionalidade k e qual é a sentença algébrica que representa essa relação? [P2] Uma motocicleta percorre 90 km em 3 horas a velocidade constante. Considerando que a distância percorrida (d) é diretamente proporcional ao tempo (t): a) Determine o valor da constante de proporcionalidade k e explique o que ela representa nessa situação. b) Escreva a sentença algébrica que modela a relação entre d e t. *Dica: calcule d/t para o par de valores dado e verifique se o resultado tem significado na situação do problema.* [P3] Para construir uma calçada, sabe-se que 4 pedreiros levam 12 dias para concluir o serviço. Admitindo que o número de pedreiros (p) e o número de dias (d) são inversamente proporcionais: a) Determine o valor da constante de proporcionalidade k para essa relação. b) Escreva a sentença algébrica que modela a relação entre d e p. *Dica: para grandezas inversamente proporcionais, o produto p · d é sempre igual a k.* [chapter-section: Comparando...] Na proporcionalidade **direta**, calculamos k **dividindo** os valores (k = y/x) e a sentença tem a forma **y = kx**. Na proporcionalidade **inversa**, calculamos k **multiplicando** os valores (k = x·y) e a sentença tem a forma **y = k/x**. A operação para encontrar k e a estrutura da sentença são opostas nos dois tipos — perceber essa simetria ajuda a não confundir um com o outro. Em resumo, para não errar: se as grandezas crescem juntas, divida para encontrar k e multiplique na sentença; se uma cresce enquanto a outra diminui, multiplique para encontrar k e divida na sentença. [Sequence 6] ## Exercícios Eu descobri que o verdadeiro teste de um feitiço aprendido é aplicá-lo em situações novas — e em Hogwarts dizíamos que o mago que só pratica nos treinos nunca está pronto para o duelo. Nos exercícios a seguir, você vai modelar relações proporcionais em contextos variados, sempre determinando k e formulando a sentença algébrica completa. Que tipo de proporcionalidade você acha que vai aparecer com mais frequência aqui? [I1] Em uma fábrica de velas, a cera necessária para produzir velas é diretamente proporcional ao número de velas fabricadas. Para produzir 5 velas, são necessários 200 g de cera. Determine o valor da constante de proporcionalidade k e formule a sentença algébrica que expressa a quantidade de cera C (em gramas) em função do número de velas v. [LINES: 4] [I2] Um automóvel viaja em velocidade constante. Após 2 horas de viagem, o velocímetro marca 110 km/h e o odômetro registra 220 km percorridos. a) Identifique as duas grandezas envolvidas e classifique a relação entre elas. b) Escreva a sentença algébrica que modela essa relação, indicando o valor e o significado contextual de k. [LINES: 5] [I3] Uma empresa de locação de equipamentos cobra um valor fixo por hora de uso de uma máquina. A tabela a seguir mostra o custo total C (em reais) pelo tempo t (em horas) de locação: | t (horas) | 2 | 5 | 8 | 10 | |-----------|---|---|---|----| | C (R$) | 70 | 175 | 280 | 350 | Com base nesses dados, a sentença algébrica que modela corretamente a relação entre C e t, e o valor da constante de proporcionalidade k, são, respectivamente: (A) C = 70t ; k = 70 (B) C = 35t ; k = 35 (C) C = t/35 ; k = 1/35 (D) C = 2t ; k = 2 (E) C = 175t ; k = 175 **Gabarito:** B [I4] Um tanque de combustível está sendo preenchido por uma bomba. Quando t = 6 minutos, o volume no tanque é V = 90 litros. Supondo que V é diretamente proporcional a t: a) Calcule a constante de proporcionalidade k e indique o que ela representa fisicamente. b) Formule a sentença algébrica V = f(t). c) Use a sentença para determinar o volume no tanque após 15 minutos. [LINES: 6] [I5] Dois estudantes analisam a relação entre o número de trabalhadores n e o tempo t (em dias) para pintar um galpão. O estudante A diz que a sentença é t = 60 · n, pois "mais trabalhadores significam mais dias". O estudante B diz que a sentença é t = 60/n, pois "mais trabalhadores significam menos dias". Considere que 3 trabalhadores levam 20 dias para pintar o galpão. a) Verifique qual das duas sentenças está correta, substituindo os valores conhecidos (n = 3 e t = 20) em cada expressão. b) Explique qual é o erro no raciocínio do estudante que errou, indicando o tipo de proporcionalidade correto e o significado de k nessa situação. [LINES: 8] Em resumo, a habilidade central deste capítulo é esta: com um único par de valores e o tipo de proporcionalidade identificado, eu consigo escrever a sentença algébrica que descreve a relação inteira — e usar essa sentença para calcular qualquer valor que precisar. [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática]