Sequências Não Recursivas

# Sequências Não Recursivas [Sequence 1: (a) Contextualized Situation] Eu me chamo Harry Potter e, antes de aprender sobre feitiços, aprendi algo muito valioso em Hogwarts: às vezes, você não precisa de nenhuma memória do passado para encontrar o que procura. Imagine que você está ajudando a organizar as cadeiras do auditório da escola para um evento. As fileiras têm 3, 6, 9, 12, 15 cadeiras. Se o diretor perguntar quantas cadeiras há na fileira 20, você consegue responder sem contar todas as fileiras anteriores, uma a uma? Esse é exatamente o tipo de raciocínio que vamos investigar juntos neste capítulo. Pense nisso como magia, mas com números: certas sequências obedecem a uma lei que permite chegar a qualquer elemento diretamente, usando apenas a posição dele. Será que todas as sequências funcionam assim, ou algumas delas exigem que você conheça o passado para descobrir o futuro? [Sequence 2] Antes de avançarmos, quero saber o que você já conhece sobre sequências numéricas. Em Hogwarts, sempre revisamos o que já sabemos antes de aprender algo novo, pois o conhecimento antigo é o alicerce do novo. Observe a sequência abaixo: [D1] Observe a sequência de números abaixo: **2, 4, 6, 8, 10, ...** Que padrão você percebe nessa sequência? Como você calcularia o próximo número? Você precisaria saber o número anterior para encontrá-lo, ou existe outra forma? Em resumo, refletir sobre como chegamos ao próximo termo nos ajudará a distinguir os dois grandes tipos de sequências que estudaremos a seguir. --- [Sequence 4] ## O que é uma sequência não recursiva? Eu aprendi em Hogwarts que existem dois tipos de feitiços: os que precisam de etapas anteriores para funcionar, e os que funcionam diretamente a partir de uma fórmula. Com sequências numéricas acontece algo parecido. Uma **sequência não recursiva** é aquela em que cada termo pode ser calculado diretamente a partir de sua **posição**, sem depender de nenhum termo anterior. Essa independência é a marca principal de uma sequência não recursiva, também chamada de **sequência explícita**. Veja o exemplo: na sequência 2, 4, 6, 8, 10, ..., o 1º termo é 2, o 2º é 4, o 3º é 6. Perceba que cada valor é simplesmente o dobro da sua posição: para a posição 1, obtemos 2; para a posição 3, obtemos 6. Posso calcular o termo de qualquer posição sem olhar para o anterior. Em resumo, uma sequência é não recursiva quando cada termo depende exclusivamente de sua posição na sequência, não dos termos que o precedem. **Images:** - PLOT: Tabela visual com duas colunas (n = posição | aₙ = termo) mostrando os pares (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10) com uma seta mostrando "a posição n determina o termo diretamente" | tabela-sequencia-pares.png | 4:3 ## Como reconhecer uma sequência não recursiva Agora que defini o conceito, vamos investigar isso juntos com uma pergunta simples: para calcular um dado termo, preciso conhecer o anterior? Se a resposta for não, a sequência é não recursiva. Considere a sequência 1, 4, 9, 16, 25, .... O 1º termo é 1² = 1, o 2º é 2² = 4, o 3º é 3² = 9. Para encontrar o termo de qualquer posição n, basta calcular n² diretamente. Não preciso do 4º termo para calcular o 5º. Essa sequência é, portanto, não recursiva. Agora considere uma outra sequência: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, .... Para calcular o 6º termo (8), preciso somar o 4º e o 5º. Esse tipo de sequência, em que cada termo depende dos anteriores, chama-se **sequência recursiva**. A diferença entre os dois tipos está exatamente nessa pergunta: o termo depende da posição, ou depende dos termos anteriores? Em resumo, se cada termo puder ser determinado olhando apenas para sua posição, a sequência é não recursiva. **Images:** - PLOT: Diagrama comparativo com duas colunas: à esquerda, "Não recursiva" com seta da posição n diretamente para o termo; à direita, "Recursiva" com setas encadeadas de termos anteriores levando ao próximo | diagrama-comparativo-sequencias.png | 16:9 [chapter-section: Sabia?] Sequências não recursivas aparecem em muitos contextos do cotidiano brasileiro. A quantidade de cadeiras em uma fileira de cinema, o valor de uma passagem de ônibus em função do número de zonas percorridas, o número de peças em um padrão de mosaico decorativo: todos esses exemplos seguem regularidades que permitem calcular diretamente qualquer valor a partir de sua posição, sem percorrer todos os anteriores. ## Sequências figurais não recursivas Sequências não recursivas também se manifestam em padrões visuais, chamados de **sequências figurais**. Nelas, figuras geométricas se transformam seguindo uma regularidade que pode ser percebida olhando para a posição de cada figura. Veja a sequência de figuras formadas por quadradinhos: na figura 1 há 1 quadradinho (arranjo 1×1), na figura 2 há 4 (arranjo 2×2), na figura 3 há 9 (arranjo 3×3), na figura 4 há 16 (arranjo 4×4). O número de quadradinhos na figura de posição n é n². Não preciso saber quantos quadradinhos havia na figura anterior para descobrir quantos há na posição n: basta calcular n². Essa é a característica central de uma sequência figural não recursiva. Em resumo, numa sequência figural não recursiva, a regularidade visual pode ser descrita por uma regra que depende exclusivamente da posição da figura. **Images:** - PLOT: Sequência figural com 4 figuras mostrando arranjos quadrados de quadradinhos: 1×1, 2×2, 3×3, 4×4, com a posição n e o total de quadradinhos indicados abaixo de cada figura | sequencia-figural-quadrados.png | 16:9 [INTERACTIVE: a1-mm | Explore o mapa mental interativo sobre sequências não recursivas na plataforma Teachy] --- ## Na prática [Sequence 5] Agora é hora de colocar em prática o reconhecimento de sequências não recursivas. Vamos começar com exemplos mais diretos e avançar gradualmente, como se fosse um feitiço que se aperfeiçoa com a repetição. [P1] Analise as sequências abaixo. Para cada uma, decida se ela é **não recursiva** (N) — quando cada termo depende apenas de sua posição — ou **recursiva** (R) — quando cada termo depende de termos anteriores. Marque a letra correspondente ao lado de cada sequência. | Sequência | Regra aparente | |-----------|----------------| | 3, 6, 9, 12, 15, ... | Cada termo é 3 vezes sua posição | | 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... | Cada termo é a soma dos dois anteriores | | 4, 8, 16, 32, 64, ... | Cada termo é o dobro do anterior | | 5, 10, 15, 20, 25, ... | Cada termo é 5 vezes sua posição | _Dica: Para cada sequência, pergunte-se: precisaria conhecer o termo anterior para calcular o próximo?_ [P2] A tabela abaixo apresenta as posições e os termos de uma sequência numérica: | n (posição) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |-------------|---|---|---|---|---| | aₙ (termo) | 3 | 5 | 7 | 9 | ? | a) Complete a tabela encontrando o 5º termo. b) Você precisaria do 4º termo para encontrar o 5º, ou é possível chegar a ele diretamente pela posição? Explique com suas palavras por que essa sequência é ou não é não recursiva. _Dica: Compare o valor de cada termo com sua posição. Existe uma operação simples que transforma n em aₙ?_ Em resumo, a tabela de posição versus termo é uma ferramenta poderosa para perceber se uma sequência depende ou não de termos anteriores. [chapter-section: Zoom] Será que toda sequência que cresce de forma regular é necessariamente não recursiva? Pense na sequência 2, 4, 6, 8, ...: cada termo é o dobro da posição, então não preciso do anterior. Mas e a sequência 2, 4, 8, 16, 32, ...? Para encontrar qualquer termo, eu precisaria saber o anterior, ou existe uma outra maneira de pensar nisso? --- ## Exercícios [Sequence 6] Chegou a hora de mostrar o que você aprendeu, trabalhando de forma independente. Em Hogwarts, dizemos que o verdadeiro teste de um feitiço é aplicá-lo em situações novas. Será que você reconhece uma sequência não recursiva quando ela aparece em um contexto diferente? [I1] *Uma pesquisadora estuda o padrão de distribuição de mudas em canteiros de um parque comunitário em Recife. Ela observa que cada canteiro de posição n recebe exatamente 4 vezes n mudas, seguindo a sequência: 4, 8, 12, 16, 20, ...* Com base nesse contexto, essa sequência é recursiva ou não recursiva? Qual das alternativas representa corretamente o número de mudas no canteiro de posição 8, sem calcular todos os termos anteriores? (A) 28 (B) 32 (C) 36 (D) 40 (E) 44 **Gabarito:** B [I2] *Yara, estudante do 8º ano de uma escola pública de Belém, registrou os primeiros termos de uma sequência numérica formada pelo número de pontos em cada figura de um padrão geométrico: 1, 4, 9, 16, 25, ...* a) Essa sequência é recursiva ou não recursiva? Justifique sua resposta com base na dependência ou independência de cada termo em relação aos anteriores. b) Para confirmar sua resposta, verifique: é possível saber o número de pontos na figura de posição 10 sem calcular todos os termos anteriores? Explique como. [LINES: 4] [I3] *Observe as duas sequências numéricas abaixo:* **Sequência A:** 3, 6, 9, 12, 15, ... **Sequência B:** 1, 2, 4, 8, 16, ... Na Sequência A, cada termo é 3 vezes sua posição. Na Sequência B, cada termo é o dobro do anterior. a) Classifique cada sequência como recursiva ou não recursiva. Justifique com base na dependência ou independência de cada termo em relação aos anteriores. b) Na Sequência A, é possível determinar o termo de posição 20 diretamente? E na Sequência B? Explique a diferença entre as duas situações. [LINES: 6] [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática]