Sequências Recursivas

# Sequências Recursivas [Sequence 0] **Habilidade BNCC:** EF08MA11 — Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes. **Microhabilidades:** - EF08MA11-M01 — Identificar sequências numéricas como recursivas, com base na dependência de termos anteriores. --- [Sequence 1: (a) Contextualized Situation] Olá! Eu sou Harry Potter, e hoje quero contar a você algo que eu descobri ao observar padrões mágicos no mundo ao meu redor. Certa vez, folheando um livro na biblioteca de Hogwarts, deparei com uma curiosidade fascinante: a concha do nautilus cresce seguindo uma regra que parece feitiçaria, mas é pura matemática. Cada nova câmara da concha é construída a partir da câmara anterior, herdando suas proporções e expandindo o padrão — sem a câmara de antes, a nova simplesmente não poderia existir. Você já parou para pensar que algumas sequências de números funcionam exatamente assim? Há sequências em que cada número carrega a "herança" dos números que vieram antes dele, e sem conhecer o passado, é impossível descobrir o próximo passo. Em resumo, a pergunta que vai guiar nosso estudo neste capítulo é: será que sempre é possível descobrir o próximo número de uma sequência sem olhar para os anteriores? **Images:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/cf562935641d9fc0da37e2f283c2dc194d7fb3640aee9bc644bd1947c69bae1d.jpg — Fotografia em preto e branco de uma concha de nautilus, revelando sua espiral perfeita e interior com câmaras sucessivas. Cada câmara cresce a partir da anterior, demonstrando um padrão recursivo natural. | Attribution: Fonte: Edward Weston - "Nautilus Shell, 1927" - Wikimedia Commons --- [Sequence 2] Antes de mergulharmos nesse tema, vamos reativar o que você já sabe sobre sequências numéricas! Em Hogwarts, eu sempre começo uma investigação relembrando o que já aprendi — e aqui não vai ser diferente. Será que você já encontrou uma sequência em que o próximo número dependia dos anteriores? [D1] Observe a sequência de números abaixo: 2, 4, 6, 8, 10, ... a) Qual você acha que seria o próximo número? Como você chegou a essa resposta? b) Agora observe esta outra sequência: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... Qual seria o próximo número? Explique como você descobriu. Em resumo, perceba se você usou estratégias diferentes para as duas partes — essa diferença é exatamente o que vamos explorar agora. --- [Sequence 4] ## O que é uma sequência recursiva? Eu aprendi em Hogwarts que algumas encantações precisam de encantamentos anteriores para funcionar. Com sequências numéricas, a lógica é parecida! Uma **sequência recursiva** é aquela em que cada termo depende de um ou mais termos anteriores para ser calculado. Isso significa que, para descobrir um número da sequência, você precisa, obrigatoriamente, conhecer o(s) número(s) que vieram antes. Há ainda outro elemento fundamental: o **termo inicial**. Toda sequência recursiva precisa começar em algum lugar — esse ponto de partida é o primeiro valor (ou os primeiros valores) já definidos, a partir dos quais toda a cadeia se desenvolve. Você consegue imaginar uma receita que começa no meio, sem os ingredientes iniciais? [chapter-section: Sabia?] A sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... é um dos exemplos mais famosos de sequência recursiva. Cada termo é a soma dos dois anteriores. Essa mesma lógica aparece nas espirais da concha do nautilus, no arranjo das sementes de girassol e até na disposição das folhas em ramos de plantas! ## Como identificar se uma sequência é recursiva Para reconhecer se uma sequência é recursiva, vamos investigar isso juntos com uma pergunta-chave: **"Para calcular o próximo termo, preciso conhecer algum termo anterior?"** Se a resposta for sim, a sequência é recursiva. Se eu conseguir calcular qualquer termo usando apenas a posição dele, sem depender de termos anteriores, então a sequência não é recursiva. Observe dois exemplos: **Sequência A:** 3, 6, 9, 12, 15, ... O 5º termo é 15. Para encontrá-lo, basta calcular 5 × 3, usando apenas a posição do termo. Não preciso saber que o 4º termo é 12. Essa sequência **não é recursiva** — cada termo é determinado diretamente pela sua posição. **Sequência B:** 2, 6, 18, 54, 162, ... O 5º termo (162) só pode ser encontrado multiplicando o 4º termo (54) por 3. Para descobrir o 4º, preciso do 3º, e assim por diante. Sem conhecer o termo anterior, o cálculo trava. Essa sequência **é recursiva** — cada termo depende do que veio antes. **Images:** - PLOT: Tabela comparativa lado a lado entre Sequência A (não recursiva: 3, 6, 9, 12, 15 — cada termo = 3 × posição) e Sequência B (recursiva: 2, 6, 18, 54, 162 — cada termo = anterior × 3). Destacar na coluna "Como calcular" a diferença: Seq A usa só a posição; Seq B usa o termo anterior. Cores distintas para cada sequência. | sequencias-comparacao.png | 16:9 Em resumo, a diferença entre uma sequência recursiva e uma não recursiva está na dependência: se o cálculo de um termo exige que você conheça termos anteriores, a sequência é recursiva. [chapter-section: Glossário] **termo inicial:** o primeiro valor (ou os primeiros valores) de uma sequência recursiva, necessário para dar início ao processo. Sem ele, não é possível calcular nenhum termo seguinte. [INTERACTIVE: a1-mm | Explore o mapa mental interativo sobre sequências recursivas na plataforma Teachy e veja como esse conceito se conecta a outros temas de Álgebra] --- [Sequence 5] ## Na prática Agora é hora de praticar! Como eu gosto de dizer quando estou em Hogwarts: a magia só se consolida com treino. Você consegue aplicar a pergunta-chave para identificar sequências recursivas nas situações abaixo? [P1] Leia as descrições abaixo e indique qual delas representa uma sequência recursiva. Marque **R** para recursiva e **N** para não recursiva: | # | Descrição da regra | R ou N? | |---|---|---| | I | "O próximo número é sempre o dobro da posição na sequência." | | | II | "Cada número é igual à soma dos dois números anteriores." | | | III | "O próximo número é obtido multiplicando o número anterior por 3." | | | IV | "Cada termo é igual ao seu índice elevado ao quadrado." | | Justifique sua escolha para os itens II e III. [P2] Uma estudante anotou os primeiros termos de uma sequência numérica: 3, 6, 9, 15, 24, 39, ... a) Identifique a regra que determina cada termo a partir dos anteriores. b) Determine o sétimo e o oitavo termos dessa sequência. *Dica: Observe a relação entre cada termo e os **dois** termos que o precedem.* [P3] Em uma escola, o grêmio estudantil organizou uma corrente solidária de mensagens: na primeira semana, apenas 1 aluno recebeu a mensagem e a repassou para 2 amigos. Na semana seguinte, cada um dos 2 alunos repassou para outros 2. A tabela abaixo registra os envios: | Semana | Alunos que recebem a mensagem | |--------|-------------------------------| | 1 | 1 | | 2 | 2 | | 3 | 4 | | 4 | 8 | a) Identifique se essa sequência é recursiva ou não recursiva. b) Escreva a regra que permite calcular o número de alunos de uma semana a partir da semana anterior. *Dica: Compare o valor de cada semana com o da semana imediatamente anterior.* Em resumo, nos três exercícios acima, a pergunta central foi sempre a mesma: o próximo termo depende dos anteriores, ou só depende da posição? --- [Sequence 6] ## Exercícios Nos exercícios a seguir, você vai aplicar o conceito de sequência recursiva em situações variadas. Como se fosse um feitiço que se revela aos poucos, cada questão mostra uma faceta diferente desse tema — será que você está pronto para identificar? [I1] Uma empresa de microcrédito oferece empréstimos a pequenos empreendedores brasileiros com a seguinte política de juros compostos: o saldo devedor de cada mês é calculado somando ao saldo do mês anterior 10% desse mesmo saldo. Um empreendedor tomou um empréstimo e seu saldo devedor nos primeiros meses foi registrado como: | Mês | Saldo devedor (R$) | |-----|-------------------| | 1 | 1.000,00 | | 2 | 1.100,00 | | 3 | 1.210,00 | | 4 | 1.331,00 | Com base nessa situação, qual das alternativas descreve corretamente o motivo pelo qual essa sequência é classificada como recursiva? (A) Porque os valores crescem de forma constante, com adição de R$ 100,00 a cada mês. (B) Porque o valor de cada mês depende apenas da posição do mês na sequência, podendo ser calculado diretamente. (C) Porque cada saldo devedor é calculado a partir do saldo do mês anterior, sendo impossível determinar o saldo de um mês sem conhecer o anterior. (D) Porque a sequência segue uma regra de multiplicação por um número fixo que não depende de termos anteriores. (E) Porque os valores da sequência formam uma progressão aritmética em que a razão é constante e independe dos termos anteriores. **Gabarito:** C --- [I2] O biólogo Martim estuda a reprodução de uma espécie de peixe nativa do Rio Tocantins. Ele observou que, a cada mês, o número de peixes da espécie é igual à soma do número de peixes dos dois meses anteriores. Em janeiro havia 10 peixes; em fevereiro, 16 peixes. Calcule o número de peixes esperado para os meses de março, abril e maio, seguindo a regra identificada por Martim. [LINES: 5] --- [I3] Considere as três sequências numéricas abaixo: - **Sequência A:** 5, 10, 15, 20, 25, ... - **Sequência B:** 2, 2, 4, 6, 10, 16, ... - **Sequência C:** 1, 3, 9, 27, 81, ... Para cada sequência, indique se ela é recursiva ou não recursiva e justifique sua resposta explicando como cada termo é obtido. [LINES: 8] --- [I4] Dois estudantes debatem sobre a seguinte sequência: **1, 4, 9, 16, 25, 36, ...** **Luís** afirma: "Essa sequência é recursiva, porque o próximo número sempre depende do anterior — basta somar os números ímpares consecutivos." **Bia** afirma: "Essa sequência não é recursiva, porque consigo calcular qualquer termo diretamente pela fórmula do quadrado da posição: aₙ = n²." Avalie os argumentos de Luís e Bia. Explique qual dos dois está correto e por quê, utilizando o critério de definição de sequência recursiva estudado. [LINES: 8] Em resumo, o critério decisivo para classificar uma sequência como recursiva é sempre este: o cálculo de um termo exige conhecer termos anteriores, ou basta saber a posição? [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na plataforma Teachy e receber correção automática com explicações passo a passo]