Sistema Linear com Duas Incógnitas

# Sistema Linear com Duas Incógnitas [Section 1: (a) Contextualized Situation] Na fila de uma lanchonete, Camila e Rodrigo fazem seus pedidos separados. Camila pede 1 sanduíche e 1 refrigerante e paga R$ 18,00. Logo depois, Rodrigo pede 2 sanduíches e 1 refrigerante e paga R$ 28,00. Ao saírem, eles ficam curiosos: quanto custa cada item individualmente? Essa pergunta não pode ser respondida com uma única equação. A situação envolve **dois preços desconhecidos** e **duas informações diferentes** sobre eles. Para descobrir o preço do sanduíche e o do refrigerante, é preciso considerar as duas condições ao mesmo tempo. **Images:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/b9f3dbb5d71e963a7bac71b4b484498d.jpg — Estudante resolvendo equações no quadro negro, ilustrando a prática de trabalhar com múltiplas condições matemáticas simultâneas **Pergunta orientadora:** Quando duas condições precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo, como encontramos os valores que atendem às duas? [Section 2: (a) Recall Diagnostic Questions] [D1] Você já resolveu equações do tipo 2x + 3 = 11. O que significa encontrar o valor de x nessa equação? O que muda quando aparece uma segunda letra, como y, junto com x na mesma sentença matemática? Antes de continuar, pense também: na equação 3x − 6 = 0, qual é o grau dessa equação? Como você identifica o grau de uma equação a partir dos expoentes das variáveis? [Section 4] ## O que é um sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas? A situação da lanchonete pode ser traduzida para a linguagem matemática com duas equações. Se x representa o preço do sanduíche e y representa o preço do refrigerante, então as informações de Camila e Rodrigo geram: $$\begin{cases} x + y = 18 \\ 2x + y = 28 \end{cases}$$ Esse conjunto é chamado de **sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas**. Um sistema desse tipo reúne duas equações polinomiais de 1º grau que compartilham as mesmas variáveis, de modo que ambas as equações falam sobre as mesmas grandezas desconhecidas. Em cada equação, as incógnitas x e y aparecem com **expoente igual a 1** — por isso o sistema é classificado como de 1º grau. A solução de um sistema é um **par ordenado (x, y)** que satisfaz simultaneamente as duas equações. Um par ordenado satisfaz uma equação quando, ao substituir os valores no lugar das incógnitas, a igualdade se torna verdadeira em ambas. Somente o par que atende às duas condições ao mesmo tempo é a solução do sistema. ## Estrutura algébrica de um sistema linear Para identificar se um conjunto de equações forma um sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas, é preciso verificar dois critérios em cada equação. O primeiro diz respeito ao **grau**: todas as incógnitas devem aparecer com expoente 1, como em x + y = 10 ou em 3x − 2y = 4. Uma equação como x² + y = 10 não atende a esse critério, pois x está elevado ao quadrado, tornando-a de 2º grau. O segundo critério é o **número de incógnitas**: o sistema deve envolver duas variáveis compartilhadas pelas equações, de forma que as condições se relacionem. Um conjunto com a equação 2x = 10 e a equação y = 3 não configura um sistema com duas incógnitas compartilhadas, porque cada equação trata de uma variável distinta e independente. Quando os dois critérios são atendidos, o par de equações constitui um sistema linear com duas incógnitas. A forma geral de cada equação é **ax + by = c**, em que a, b e c são números reais e a e b não são ambos zero. **Images:** - GENERATE: Diagrama didático mostrando dois exemplos lado a lado: à esquerda, um sistema válido (x + y = 10 e 2x − y = 4) com setas apontando para os rótulos "grau 1" e "2 incógnitas compartilhadas"; à direita, um sistema inválido (x² + y = 5 e x + y = 3) com seta vermelha apontando para "expoente 2 — equação de 2º grau". Fundo claro, cores vibrantes, tipografia legível. | estrutura-sistema.png | 16:9 [INTERACTIVE: A1 | mapa mental | Explore o mapa mental interativo sobre sistemas de equações de 1º grau com duas incógnitas na plataforma Teachy] [chapter-callout-label: Sabia?] A notação de **chaves** é a forma mais comum de representar um sistema de equações. Ela sinaliza que as equações não são independentes, mas devem ser consideradas ao mesmo tempo, como condições que o mesmo par de valores precisa satisfazer simultaneamente. [Section 5] ## Na prática Aplique os critérios de grau e número de incógnitas para identificar e analisar sistemas nas questões a seguir. [P1] (DOK 1) Considere as expressões abaixo: I. x + y = 10 II. 3x − 2y = 4 III. x² + y = 5 IV. 2x + 5y = 0 Quais dessas expressões são equações de 1º grau com duas incógnitas? (A) Apenas I e IV (B) Apenas II e III (C) I, II e IV (D) I, II, III e IV **Gabarito:** (C) [P2] (DOK 1) Um estudante escreveu as seguintes sentenças matemáticas: - Sentença 1: x + 2y = 8 - Sentença 2: 3x − y = 1 Ele afirma que as duas sentenças juntas formam um sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas. Essa afirmação está correta? Explique por que sim ou por que não, identificando as características que definem um sistema desse tipo. _Dica: Verifique o grau de cada equação e o número de incógnitas presentes em cada uma antes de responder._ [LINES: 4] [P3] (DOK 2) Observe os três conjuntos de equações a seguir: **Conjunto A** x + y = 6 x − y = 2 **Conjunto B** 2x = 10 y = 3 **Conjunto C** x² + y = 4 x + y = 7 Para cada conjunto, indique se ele constitui um sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas. Justifique sua resposta analisando a estrutura algébrica de cada equação. _Dica: Um sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas reúne duas equações em que ambas as incógnitas aparecem com expoente 1. Analise cada equação individualmente antes de avaliar o conjunto._ [LINES: 6] [chapter-callout-label: Zoom] Um erro comum é acreditar que os coeficientes determinam o grau de uma equação. Na equação 5x + 3y = 20, os coeficientes 5 e 3 são grandes, mas o grau ainda é 1, porque x e y têm expoente 1. O grau é definido pelo **expoente das incógnitas**, não pelos números que as multiplicam. [Section 6] ## Exercícios Nos exercícios a seguir, você vai identificar sistemas de equações de 1º grau com duas incógnitas em situações variadas. [I1] (DOK 2) Um aplicativo de compras registra o seguinte sobre dois produtos: > "Comprei 1 caderno e 1 caneta e paguei R$ 9,00. Em outra compra, levei 2 cadernos e 3 canetas e paguei R$ 22,00." Representando o preço do caderno por x e o preço da caneta por y, qual das alternativas a seguir corresponde corretamente ao sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas que modela essa situação? (A) x + y = 9 e 2x + 3y = 22 (B) x + y = 22 e 2x + 3y = 9 (C) x · y = 9 e 2x · 3y = 22 (D) x + 2y = 9 e 2x + 3y = 22 (E) x − y = 9 e 2x − 3y = 22 **Gabarito:** (A) [I2] (DOK 2) Em uma gincana escolar, cada equipe marcou pontos em duas etapas. A tabela a seguir mostra os dados de dois times (x e y são os pontos marcados nas etapas 1 e 2, respectivamente — os valores desconhecidos que queremos representar): | Time | Pontos na etapa 1 | Pontos na etapa 2 | Total de pontos | |----------|-------------------|-------------------|-----------------| | Vermelho | x | y | 30 | | Azul | 2x | y | 45 | a) Escreva o sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas que representa a situação dos dois times. b) O par ordenado (x = 15, y = 15) é apresentado como possível solução do sistema. Analisando apenas a estrutura das equações que você escreveu, explique o que seria necessário para confirmar se esse par é ou não solução do sistema. [LINES: 6] [I3] (DOK 3) Uma loja de artigos esportivos vende dois modelos de camisetas: o modelo A e o modelo B. Em um dia de promoção, um cliente comprou 3 camisetas do modelo A e 2 do modelo B, pagando R$ 130,00. Outro cliente comprou 1 camiseta do modelo A e 4 do modelo B, pagando R$ 110,00. Representando o preço do modelo A por x e o preço do modelo B por y, um estudante montou o sistema abaixo para modelar a situação: $$\begin{cases} 3x + 2y = 130 \\ x + 4y = 110 \end{cases}$$ Analisando exclusivamente a estrutura algébrica desse sistema, assinale a alternativa que apresenta uma afirmação correta: (A) O sistema não é de 1º grau porque possui dois coeficientes diferentes (3 e 4) multiplicando as incógnitas. (B) O sistema é formado por duas equações de 1º grau com duas incógnitas, pois em cada equação as incógnitas x e y aparecem com expoente 1. (C) O sistema seria de 1º grau apenas se os coeficientes de x e y fossem iguais nas duas equações. (D) A segunda equação não é de 1º grau porque o coeficiente de y é maior do que o de x. (E) O sistema possui três incógnitas: x, y e os coeficientes numéricos. **Gabarito:** (B) [INTERACTIVE: D | responda na plataforma | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática] --- ## Referência de Imagens ### Do banco de dados | URL | Uso no manuscrito | |-----|------------------| | https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/b9f3dbb5d71e963a7bac71b4b484498d.jpg | Seção 1 — abertura contextual | ### Para gerar | Descrição | Arquivo sugerido | Proporção | |-----------|-----------------|-----------| | Diagrama didático comparando sistema válido e inválido, com setas indicando critérios de grau e número de incógnitas compartilhadas | estrutura-sistema.png | 16:9 | --- ## Checklist - [x] Section 0: YAML frontmatter with BNCC skill and microskills - [x] Section 1: Contextualized situation (lanchonete) with guiding question — no formal concepts - [x] Section 2: Two recall prompts covering prerequisites (equação 1º grau, grau de equação) — no new content - [x] Section 4: Formalization with definitions in flowing prose, no substitution walkthrough, no graphical resolution plot - [x] Section 5: `[Section 5]` tag before heading and content; "Na prática" heading; graduated exercises P1–P3 verbatim; LINES added to P2 and P3 - [x] Section 6: "Exercícios" heading; I1, I2, I3 verbatim; I2b rewritten to avoid substitution method - [x] Interactive blocks: A1 after last definition paragraph (before Sabia?), D after independent practice — 2 total - [x] Chapter callout labels: Sabia? (×1), Zoom (×1) — total 2, well within volume limit - [x] No Section 8 (chapter_start — synthesis deferred to chapter_end) - [x] No graphical resolution content (PLOT removed) - [x] No substitution method demonstrated or required - [x] Scope confined to identification of linear systems with two unknowns (EF08MA08-M01) - [x] Brazilian context examples throughout (lanchonete, gincana, loja esportiva, aplicativo de compras) - [x] Mathematical accuracy verified against 8th grade scope