Sistemas de equação polinomiais de 1º grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano

# Situações-Problema com Sistemas de Equações [Section 6] Aplique os conhecimentos sobre sistemas de equações de 1º grau para resolver as situações a seguir. ## Exercícios **Images:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images-v2/58044f84-c230-4d85-8775-db8d4df9091f/generated/v2_0_6.png — Cena de mercado latino-americano com feirantes e compradores, contexto de situações-problema com sistemas de equações [I1] Analise os pares de equações abaixo e identifique quais formam um sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas. (A) $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$ (B) $\begin{cases} x^2 + y = 4 \\ x + y = 3 \end{cases}$ (C) $\begin{cases} 3x - 2y = 0 \\ x + 4y = 7 \end{cases}$ (D) $\begin{cases} \dfrac{1}{x} + y = 2 \\ x - y = 1 \end{cases}$ (A) Apenas (A). (B) Apenas (B) e (D). (C) (A) e (C). (D) (B) e (C). (E) (A), (B) e (D). **Gabarito:** C — Os sistemas (A) e (C) têm ambas as equações de 1º grau (expoentes das incógnitas iguais a 1) e compartilham as mesmas duas incógnitas. Em (B), a equação $x^2 + y = 4$ é de 2º grau. Em (D), $\frac{1}{x}$ equivale a $x^{-1}$, que também não é equação de 1º grau. --- [I2] Um estudante afirma: "Qualquer par de equações forma um sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas." Analise a afirmação e julgue cada alternativa. (A) A afirmação é verdadeira, pois basta ter duas equações. (B) A afirmação é falsa: cada equação deve ser de 1º grau e envolver exatamente as mesmas duas incógnitas. (C) A afirmação é verdadeira desde que as equações tenham pelo menos uma incógnita em comum. (D) A afirmação é falsa: o sistema só é válido se as duas equações forem idênticas. (E) A afirmação é verdadeira se as equações tiverem coeficientes inteiros. **Gabarito:** B — Para formar um sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas, é necessário que cada equação seja de 1º grau (expoentes iguais a 1) e que as duas equações compartilhem exatamente as mesmas duas incógnitas. --- [I3] Considere os sistemas abaixo. Classifique cada um quanto ao número de soluções, escolhendo a alternativa correta. Sistema I: $\begin{cases} 2x + y = 4 \\ 4x + 2y = 8 \end{cases}$ Sistema II: $\begin{cases} x - y = 3 \\ x - y = 5 \end{cases}$ Sistema III: $\begin{cases} x + 2y = 6 \\ 2x - y = 2 \end{cases}$ (A) I — indeterminado; II — determinado; III — impossível. (B) I — determinado; II — impossível; III — indeterminado. (C) I — indeterminado; II — impossível; III — determinado. (D) I — impossível; II — determinado; III — indeterminado. (E) I — determinado; II — determinado; III — determinado. **Gabarito:** C — No Sistema I, a segunda equação é o dobro da primeira (equações proporcionais), logo as retas são coincidentes: sistema indeterminado. No Sistema II, os coeficientes são iguais, mas os termos independentes diferem (3 ≠ 5), logo as retas são paralelas: sistema impossível. No Sistema III, os coeficientes não são proporcionais, logo as retas se cruzam em um único ponto: sistema determinado. --- [I4] Resolva o sistema a seguir pelo método da substituição e indique o valor de $x + y$. $$\begin{cases} x + 3y = 11 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$$ (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 9 **Gabarito:** B — Da 2ª equação: $y = 2x - 1$. Substituindo na 1ª: $x + 3(2x - 1) = 11 \Rightarrow x + 6x - 3 = 11 \Rightarrow 7x = 14 \Rightarrow x = 2$. Então $y = 2(2) - 1 = 3$. Portanto $x + y = 2 + 3 = 5$. --- [I5] Resolva o sistema a seguir pelo método da adição. $$\begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ -3x + 5y = 2 \end{cases}$$ Mostre os passos da resolução e apresente o par solução $(x, y)$. [LINES: 6] **Gabarito:** Somando membro a membro: $(3x - 2y) + (-3x + 5y) = 4 + 2 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2$. Substituindo $y = 2$ na 1ª equação: $3x - 2(2) = 4 \Rightarrow 3x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{3}$. Par solução: $\left(\frac{8}{3},\ 2\right)$. --- [I6] _A imagem a seguir mostra um plano cartesiano com duas retas traçadas. A reta $r$ passa pelos pontos $(0, 4)$ e $(2, 0)$. A reta $s$ passa pelos pontos $(0, -1)$ e $(2, 3)$._ **[PLOT: Plano cartesiano com reta r em azul, de inclinação negativa, passando por (0, 4) e (2, 0); e reta s em vermelho, de inclinação positiva, passando por (0, −1) e (2, 3). Eixos x e y com escala de −2 a 5. Ponto de intersecção aproximado em (1,25; 1,5) destacado com um ponto preenchido.]** a) Estime as coordenadas do ponto de intersecção das duas retas a partir do gráfico. b) Escreva o sistema de equações de 1º grau que representa as duas retas e verifique algebricamente se a estimativa do item (a) corresponde à solução exata. [LINES: 8] **Gabarito:** Reta $r$: inclinação $= \frac{0-4}{2-0} = -2$; equação $y = -2x + 4$. Reta $s$: inclinação $= \frac{3-(-1)}{2-0} = 2$; equação $y = 2x - 1$. Sistema: $\begin{cases} y = -2x + 4 \\ y = 2x - 1 \end{cases}$. Igualando: $-2x + 4 = 2x - 1 \Rightarrow 5 = 4x \Rightarrow x = 1{,}25$; $y = 2(1{,}25) - 1 = 1{,}5$. Solução exata: $(1{,}25;\ 1{,}5)$. --- [I7] Considere o sistema: $$\begin{cases} y = 2x - 1 \\ y = -x + 5 \end{cases}$$ Para representar esse sistema graficamente, um estudante montou a tabela abaixo para a primeira equação: | $x$ | $y = 2x - 1$ | |-----|-------------| | 0 | ? | | 1 | 1 | | 3 | ? | a) Complete a tabela. b) Determine a solução do sistema algebricamente. c) Indique qual seria a aparência do gráfico caso o sistema fosse impossível. [LINES: 8] **Gabarito:** a) Para $x = 0$: $y = -1$; para $x = 3$: $y = 5$. b) Igualando: $2x - 1 = -x + 5 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$; $y = 2(2) - 1 = 3$. Solução: $(2,\ 3)$. c) Se o sistema fosse impossível, as duas retas seriam paralelas — mesma inclinação (coeficiente angular), interceptos diferentes — e não se intersectariam em nenhum ponto. --- [I8] Analise o sistema genérico: $$\begin{cases} ax + by = c \\ ax + by = d \end{cases}$$ sendo $a$, $b$, $c$ e $d$ números reais, com $a \neq 0$ e $b \neq 0$. (A) Se $c = d$, o sistema é impossível. (B) Se $c \neq d$, o sistema é determinado. (C) Se $c = d$, o sistema é indeterminado. (D) Se $c \neq d$, o sistema é indeterminado. (E) Independentemente dos valores de $c$ e $d$, o sistema sempre é determinado. **Gabarito:** C — As duas equações têm exatamente os mesmos coeficientes. Se $c = d$, as equações são idênticas: retas coincidentes, infinitas soluções (sistema indeterminado). Se $c \neq d$, as equações são contraditórias: retas paralelas, nenhuma solução (sistema impossível). --- [I9] _Em uma escola, a cantina vende lanches simples e lanches completos. Em um dia, foram vendidos 30 lanches ao todo, arrecadando R$ 195,00. O lanche simples custa R$ 5,00 e o lanche completo custa R$ 8,00._ a) Represente a situação por meio de um sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas, definindo claramente o significado de cada incógnita. b) Resolva o sistema pelo método que preferir e determine quantos lanches de cada tipo foram vendidos. [LINES: 8] **Gabarito:** a) Seja $s$ o número de lanches simples e $c$ o número de lanches completos. Sistema: $\begin{cases} s + c = 30 \\ 5s + 8c = 195 \end{cases}$. b) Da 1ª equação: $s = 30 - c$. Substituindo na 2ª: $5(30 - c) + 8c = 195 \Rightarrow 150 - 5c + 8c = 195 \Rightarrow 3c = 45 \Rightarrow c = 15$; $s = 15$. Foram vendidos 15 lanches simples e 15 lanches completos. --- [I10] _Uma empresa de transporte cobra uma taxa fixa de R$ 20,00 mais R$ 3,00 por quilômetro rodado. Uma segunda empresa cobra uma taxa fixa de R$ 8,00 mais R$ 5,00 por quilômetro rodado. Para decidir qual empresa contratar, um gestor de logística quer saber a partir de qual distância a primeira empresa se torna mais econômica._ Representando a situação por um sistema de equações, o gestor concluiu corretamente que: (A) A primeira empresa é sempre mais barata, independentemente da distância. (B) As duas empresas cobram o mesmo valor para distâncias de 6 km, sendo a primeira mais econômica para distâncias maiores. (C) As duas empresas cobram o mesmo valor para distâncias de 6 km, sendo a segunda mais econômica para distâncias maiores. (D) Para qualquer distância acima de 4 km, a segunda empresa é mais barata. (E) O sistema que representa a situação não tem solução, pois os preços nunca se igualam. **Gabarito:** B — Sistema: $\begin{cases} C_1 = 20 + 3d \\ C_2 = 8 + 5d \end{cases}$. Igualando: $20 + 3d = 8 + 5d \Rightarrow 12 = 2d \Rightarrow d = 6\ \text{km}$. Para $d > 6$, por exemplo $d = 7$: $C_1 = 41$ e $C_2 = 43$, logo a primeira empresa é mais econômica. --- [I11] _Em uma competição de robótica, dois robôs partem simultaneamente de pontos diferentes em uma pista reta. As posições de cada robô após $t$ segundos são:_ $$\text{Robô A: } x = 2t - 4 \qquad \text{Robô B: } x = -t + 8$$ **[PLOT: Plano cartesiano com eixo horizontal t (tempo, de 0 a 6) e eixo vertical x (posição, de −5 a 10). Reta do Robô A em azul partindo de (0, −4) com inclinação 2. Reta do Robô B em vermelho partindo de (0, 8) com inclinação −1. Ponto de intersecção destacado com coordenadas visíveis. Legenda indicando Robô A e Robô B.]** a) Interprete o ponto de intersecção das duas retas no contexto do problema: o que significa a solução do sistema nesse contexto? b) Resolva o sistema e determine em que instante e em qual posição os robôs se encontram. c) Classifique o sistema e justifique o que aconteceria se as duas equações tivessem coeficientes angulares iguais (retas paralelas). [LINES: 10] **Gabarito:** a) O ponto de intersecção representa o instante e a posição em que os dois robôs se encontram na pista — o único par $(t, x)$ que satisfaz simultaneamente as duas equações. b) Igualando: $2t - 4 = -t + 8 \Rightarrow 3t = 12 \Rightarrow t = 4\ \text{s}$; $x = 2(4) - 4 = 4$. Os robôs se encontram em $t = 4$ segundos, na posição $x = 4$. c) O sistema é determinado (uma única solução). Se os coeficientes angulares fossem iguais, as retas seriam paralelas e nunca se cruzariam: o sistema seria impossível e os robôs jamais se encontrariam. --- [I12] _Leia a situação a seguir:_ _"Laís e Pedro têm juntos 48 figurinhas. Se Laís der 6 figurinhas para Pedro, eles ficarão com a mesma quantidade."_ a) Crie um sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas que modele essa situação, definindo cada incógnita. b) Resolva o sistema pelo método da substituição. c) Elabore uma situação-problema diferente, do cotidiano, que possa ser resolvida por um sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas. Escreva o sistema correspondente sem resolvê-lo. [LINES: 10] **Gabarito:** a) Seja $L$ o número de figurinhas de Laís e $P$ o número de figurinhas de Pedro. Sistema: $\begin{cases} L + P = 48 \\ L - 6 = P + 6 \end{cases}$, que simplifica para $\begin{cases} L + P = 48 \\ L - P = 12 \end{cases}$. b) Da 2ª equação: $L = P + 12$. Substituindo na 1ª: $(P + 12) + P = 48 \Rightarrow 2P = 36 \Rightarrow P = 18$; $L = 30$. Laís tem 30 figurinhas e Pedro tem 18. c) Resposta pessoal — exemplo aceitável: "Em uma padaria, pãezinhos custam R$ 1,00 e croissants custam R$ 3,00. Camila comprou 10 itens no total e pagou R$ 20,00. Quantos de cada tipo ela comprou?" Sistema: $\begin{cases} p + c = 10 \\ p + 3c = 20 \end{cases}$. [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática]