Sistemas de Equações: Solução Algébrica e Gráfica

# Sistemas de Equações: Solução Algébrica e Gráfica [Section 4] Você já sabe que cada equação linear com duas incógnitas define uma reta no plano cartesiano e que seus coeficientes determinam a inclinação e a posição dessa reta. Agora surge uma pergunta nova: o que acontece quando duas equações precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo? Qual par (x, y) pertence simultaneamente a duas retas diferentes? É essa questão que define o estudo dos **sistemas de equações lineares**. ## Quando Duas Equações se Encontram Um **sistema de equações lineares de 1º grau com duas incógnitas** é formado por duas equações lineares que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo. A solução do sistema é o par ordenado (x, y) que torna as duas igualdades verdadeiras simultaneamente. Pense na seguinte situação: na cantina da escola, uma barra de cereal custa R$ 2,00 e um suco custa R$ 3,00. Rafaela gastou R$ 13,00 comprando, ao todo, 5 itens entre barras e sucos. Chamando de x o número de barras e y o número de sucos, essa situação gera duas condições ao mesmo tempo: x + y = 5 (total de itens) e 2x + 3y = 13 (total gasto). O par (x, y) que satisfaz as duas condições ao mesmo tempo é a solução do sistema. Algebricamente, um sistema de duas equações com duas incógnitas é representado assim: **Equação 1:** a₁x + b₁y = c₁ **Equação 2:** a₂x + b₂y = c₂ A solução é o único par (x, y) — quando ele existe — que satisfaz ambas as equações. ## Como Resolver: Método da Substituição O **método da substituição** consiste em isolar uma incógnita em uma das equações e substituir essa expressão na outra equação, transformando o problema em uma equação com uma só incógnita — que você já sabe resolver. **Exemplo resolvido:** Resolver o sistema: - Equação 1: x + y = 7 - Equação 2: x − y = 1 **Passo 1:** Isole x na Equação 1: x = 7 − y **Passo 2:** Substitua essa expressão na Equação 2: (7 − y) − y = 1 7 − 2y = 1 −2y = 1 − 7 −2y = −6 y = 3 **Passo 3:** Encontre x substituindo y = 3 na expressão isolada: x = 7 − 3 = 4 **Passo 4:** Verifique o par (4, 3) nas duas equações originais: Eq. 1: 4 + 3 = 7 ✓ Eq. 2: 4 − 3 = 1 ✓ A solução do sistema é o par ordenado **(4, 3)**. ## Como Resolver: Método da Adição O **método da adição** (ou eliminação) consiste em somar as duas equações de modo a eliminar uma das incógnitas. Quando os coeficientes de uma mesma incógnita são opostos nas duas equações, eles se cancelam ao somar. Se os coeficientes não forem opostos, basta multiplicar uma das equações por uma constante adequada antes de somar. **Exemplo resolvido:** Resolver o sistema: - Equação 1: 2x + y = 10 - Equação 2: 2x − y = 2 Os coeficientes de y já são opostos (+1 e −1). Somando as duas equações membro a membro: (2x + y) + (2x − y) = 10 + 2 4x = 12 x = 3 Substituindo x = 3 na Equação 1: 2(3) + y = 10 6 + y = 10 y = 4 **Verificação:** Eq. 1: 2(3) + 4 = 10 ✓ Eq. 2: 2(3) − 4 = 2 ✓ A solução é o par **(3, 4)**. Existe ainda o **método da comparação**, no qual se isola a mesma incógnita nas duas equações e se igualam as expressões obtidas. Os três métodos levam sempre ao mesmo resultado; escolha o que simplificar mais os cálculos em cada caso. ## O Que o Plano Cartesiano Revela Cada equação do sistema corresponde a uma reta no plano cartesiano. Quando essas duas retas são traçadas no mesmo plano, três situações distintas podem ocorrer, e cada uma revela um tipo diferente de sistema. **Images:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/af3953bd0aac2b4b32e17a468dc0e8b9.png — Os três tipos de sistemas lineares: retas concorrentes (solução única), retas paralelas (sem solução) e retas coincidentes (infinitas soluções). **Sistema possível e determinado** — as duas retas se cruzam em exatamente um ponto. Esse ponto de interseção é a única solução do sistema; algebricamente, existe um único par (x, y) que satisfaz as duas equações. **Sistema possível e indeterminado** — as duas retas são coincidentes, ou seja, são a mesma reta descrita por equações proporcionais. Qualquer ponto de uma reta pertence também à outra, de modo que o sistema tem infinitas soluções. **Sistema impossível** — as duas retas são paralelas e distintas. Como nunca se cruzam, nenhum par (x, y) satisfaz as duas equações ao mesmo tempo; ao tentar resolver algebricamente, chega-se a uma igualdade falsa, como 0 = 5. [chapter-callout-label: Comparando...] | Tipo de sistema | Posição das retas | Nº de soluções | Exemplo | |---|---|---|---| | Possível determinado | Concorrentes (se cruzam) | Uma | x + y = 5 e x − y = 1 | | Possível indeterminado | Coincidentes (mesma reta) | Infinitas | x + y = 5 e 2x + 2y = 10 | | Impossível | Paralelas (nunca se cruzam) | Nenhuma | x + y = 5 e x + y = 3 | [chapter-callout-label: Zoom] Observe as equações x + y = 5 e 2x + 2y = 10. Se você dividir todos os termos da segunda equação por 2, o que obtém? O que isso revela sobre as duas retas e sobre o tipo de sistema? Quando você resolve um sistema algebricamente e encontra um par (x, y), esse par é exatamente as coordenadas do ponto onde as duas retas se intersectam no plano. E, inversamente, as coordenadas do ponto de interseção visível no gráfico são a solução algébrica do sistema. Esse duplo caminho — algébrico e gráfico — permite verificar os resultados pelos dois lados: a solução encontrada algebricamente deve coincidir precisamente com o ponto de cruzamento das retas. **Images:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/3382328c370a46e3f00212496e7137ef14956d6276e63e1888f1b4baf79d1a8f.png — As retas x + 2y = 4 e 3x − y = 5 se intersectam no ponto (2, 1): esse ponto é, ao mesmo tempo, a solução gráfica e a solução algébrica do sistema. [chapter-callout-label: Sabia?] A solução de um sistema de equações lineares é usada em situações reais como calcular o ponto de equilíbrio entre oferta e demanda: uma equação representa o preço que os vendedores aceitam e outra, o preço que os compradores topam pagar. O par (quantidade, preço) onde as duas retas se cruzam é o ponto de equilíbrio do mercado. [INTERACTIVE: A1 | mapa mental | Acesse o mapa mental interativo sobre sistemas de equações lineares na plataforma Teachy] [Section 5] Com os métodos de resolução e a visão gráfica em mãos, é hora de praticar os conceitos estudados ao longo deste capítulo. **Pratique** [P1] Observe as equações abaixo e identifique quais estão na forma geral de uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas (ax + by = c): I. 2x + 3y = 6 II. x² + y = 4 III. 5x − y = 0 IV. 3x · y = 9 Quais das equações acima são lineares de 1º grau com duas incógnitas? (A) Apenas I e II. (B) Apenas I e III. (C) I, III e IV. (D) Apenas III e IV. (E) I, II e III. **Gabarito:** (B) --- [P2] Complete a tabela de pares ordenados (x, y) que satisfazem a equação **x + 2y = 8**: | x | y | |----|----| | 0 | ? | | 2 | ? | | 8 | ? | Encontre os valores de y correspondentes a cada valor de x. *Dica: Substitua cada valor de x na equação e resolva para y. Por exemplo, quando x = 0, a equação fica 0 + 2y = 8.* --- [P3] O gráfico abaixo mostra duas retas no plano cartesiano, rotuladas como reta r e reta s. **[Plotter — gráfico cartesiano com duas retas paralelas: r: y = 2x + 1 e s: y = 2x − 3; eixos x e y de −4 a 6; as retas devem ter a mesma inclinação, claramente visível, com os labels "r" e "s" próximos a cada reta]** Um estudante afirma que as equações dessas duas retas possuem o mesmo coeficiente de x. Explique por que essa afirmação está correta, relacionando a inclinação visual das retas com os coeficientes das equações. *Dica: Retas paralelas têm a mesma inclinação. Pense em como a inclinação aparece na equação y = ax + b.* [LINES: 4] --- [P4] A equação **3x − y = 6** representa uma reta no plano cartesiano. a) Encontre as coordenadas do ponto onde a reta corta o eixo x (faça y = 0). b) Encontre as coordenadas do ponto onde a reta corta o eixo y (faça x = 0). Com esses dois pontos, seria possível traçar a reta? Justifique em uma frase. *Dica: Para encontrar o ponto no eixo x, substitua y = 0 e resolva para x. Para o ponto no eixo y, substitua x = 0 e resolva para y.* [LINES: 5] [Section 6] ## Exercícios [I1] Uma empresa de streaming cobra uma taxa fixa de R$ 20,00 por mês mais R$ 5,00 por cada filme avulso assistido fora do pacote. A relação entre o valor total pago (y, em reais) e a quantidade de filmes avulsos assistidos (x) pode ser expressa por uma equação linear. Qual das opções abaixo representa corretamente essa situação como uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas? (A) y = 5x (B) 5x + y = 20 (C) y − 5x = 20 (D) x + y = 25 (E) 5y − x = 20 **Gabarito:** (C) --- [I2] Na tabela abaixo, estão registrados pares ordenados obtidos a partir de duas equações lineares diferentes: **Equação P:** 2x + y = 10 | x | 0 | 1 | 5 | |---|---|---|---| | y | 10 | 8 | 0 | **Equação Q:** 2x + y = 4 | x | 0 | 1 | 2 | |---|---|---|---| | y | 4 | 2 | 0 | Com base nos dados da tabela, indique se as retas representadas por P e Q são paralelas, coincidentes ou secantes. Justifique sua resposta analisando os coeficientes das equações. [LINES: 5] --- [I3] Em um experimento escolar, uma turma de 8º ano mediu a distância percorrida (em metros) por um carrinho em função do tempo (em segundos). Os dados obtidos geraram a seguinte tabela: | Tempo (s) | 0 | 1 | 2 | 3 | |-----------|---|---|---|---| | Distância (m) | 2 | 5 | 8 | 11 | Ao registrar esses pontos no plano cartesiano e traçar a reta que passa por todos eles, os alunos perceberam que a equação dessa reta é da forma d = 3t + 2, onde d é a distância e t é o tempo. Com base nessa situação, qual afirmação descreve corretamente a relação entre a equação e sua representação gráfica? (A) A reta passa pela origem do plano cartesiano porque a equação não tem coeficiente independente. (B) O coeficiente 3 indica que, para cada segundo a mais, a distância aumenta 3 metros, determinando a inclinação da reta. (C) Como a equação tem dois termos, ela representa uma parábola, não uma reta. (D) O valor 2 representa a inclinação da reta e o valor 3 indica onde ela corta o eixo vertical. (E) A reta representada é horizontal, pois o carrinho parte de uma posição diferente de zero. **Gabarito:** (B) --- [I4] Observe o plano cartesiano a seguir, que mostra duas retas se cruzando em um único ponto. **[Plotter — plano cartesiano com duas retas: r₁: x + y = 4 (passa pelos pontos (0,4) e (4,0)) e r₂: x − y = 2 (passa pelos pontos (0,−2) e (2,0)); as retas se intersectam no ponto (3, 1), que deve ser destacado com um ponto preenchido e rotulado como A(3, 1); eixos de −3 a 6]** O ponto A marcado no gráfico é a interseção das duas retas. a) Verifique algebricamente, substituindo as coordenadas do ponto A nas duas equações, se ele é solução de ambas. b) O que a existência desse ponto em comum entre as duas retas representa em relação ao sistema formado pelas equações r₁ e r₂? [LINES: 6] --- [I5] Dois amigos, Carla e Davi, vendem artesanatos em uma feira. Carla cobra um preço fixo de R$ 10,00 por peça. Davi cobra R$ 6,00 por peça, mas há um custo de entrada na barraca dele de R$ 8,00. A situação de Carla é representada por y = 10x e a de Davi por y = 6x + 8, onde x é o número de peças compradas e y é o valor total pago. Considerando que essas equações representam retas no plano cartesiano: a) Determine o par ordenado (x, y) que representa o ponto de interseção das duas retas, resolvendo o sistema algebricamente. b) Explique o significado desse ponto de interseção no contexto da situação descrita: o que ele indica para um comprador que deseja gastar o mesmo valor nas duas barracas? [LINES: 8] [INTERACTIVE: D | responda na plataforma | Escaneie para responder os exercícios I4 e I5 na Teachy e receba correção automática com feedback personalizado] [Section 8] ## Dois Caminhos, Uma Resposta Você chegou ao final de um capítulo que percorreu toda a conexão entre equações lineares e o plano cartesiano. A pergunta que abriu essa jornada — como uma equação com duas incógnitas pode ser representada como uma reta? — encontra agora sua resposta mais completa: quando há duas equações, suas retas se encontram (ou não), e esse encontro revela exatamente a solução do sistema. O caminho algébrico oferece precisão: pelos métodos de substituição, adição ou comparação, você encontra os valores exatos de x e y. O caminho gráfico oferece visibilidade: as retas no plano revelam imediatamente se o sistema tem uma solução, infinitas ou nenhuma. Esses dois caminhos se complementam e levam sempre ao mesmo destino. Pense: se você tivesse apenas o gráfico de duas retas e precisasse da solução com muita precisão, qual seria a limitação do método gráfico? E se tivesse apenas as equações, o que o método algébrico não revelaria de imediato sobre o tipo de sistema? **Autoavaliação:** Antes de avançar, marque seu nível de confiança em cada habilidade deste capítulo: | Habilidade | Ainda preciso praticar | Já consigo fazer | Domino completamente | |:---|:---|:---|:---| | Resolver um sistema de equações lineares algebricamente (substituição ou adição) e verificar a solução | ( ) | ( ) | ( ) | | Identificar o tipo de sistema (determinado, indeterminado ou impossível) pela posição das retas | ( ) | ( ) | ( ) | | Justificar a solução de um sistema tanto algebricamente quanto graficamente | ( ) | ( ) | ( ) | Das habilidades acima, qual você considera mais desafiadora? Por quê? Em uma frase, complete: "Um sistema de equações lineares tem solução única quando..."