Situações-problema: Bissetriz e Mediatriz

# Situações-problema: Bissetriz e Mediatriz [Sequence 6] Eu, Harry Potter, aprendi em Hogwarts que dominar um feitiço exige prática — e agora chegou sua vez de aplicar, de forma independente, tudo o que você estudou sobre lugar geométrico, bissetriz e mediatriz. Você está pronto para colocar esses conceitos em ação? ## Exercícios **Images:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/48c769a8dd145d388bc73bad50c570a422b1266547a580655922c699cfeb9685.jpg — Compasso de desenho técnico Teknor aberto, mostrando as duas hastes metálicas articuladas usadas em construções geométricas precisas | Attribution: Fonte: R. Henrik Nilsson - Wikimedia Commons Como eu mesmo descobri investigando os corredores de Hogwarts, cada problema de geometria esconde uma propriedade específica esperando para ser revelada. Em resumo, bissetriz e mediatriz são lugares geométricos que expressam equidistância — a primeira em relação aos lados de um ângulo, a segunda em relação aos extremos de um segmento. Analise cada situação com atenção antes de responder. --- **1.** [I1] *Considere o seguinte enunciado: "Um lugar geométrico é o conjunto de todos os pontos que satisfazem uma determinada propriedade."* Qual das afirmações abaixo justifica corretamente por que a mediatriz de um segmento $\overline{AB}$ é um lugar geométrico? (A) A mediatriz contém apenas os pontos que pertencem ao segmento $\overline{AB}$. (B) A mediatriz reúne todos os pontos do plano que são igualmente distantes dos pontos $A$ e $B$. (C) A mediatriz é a reta que passa pelos extremos do segmento $\overline{AB}$. (D) A mediatriz é a reta perpendicular ao segmento $\overline{AB}$ que passa pelo ponto $A$. (E) A mediatriz contém todos os pontos que estão a uma distância fixa do ponto médio de $\overline{AB}$. **Gabarito:** B --- **2.** [I2] *O diagrama abaixo representa um ponto $P$ e dois pontos $A$ e $B$ distintos em um plano. A distância de $P$ ao ponto $A$ é igual à distância de $P$ ao ponto $B$.* **Images:** - PLOT: Diagrama com dois pontos A e B em posições simétricas no eixo x (A=(-3,0), B=(3,0)), e um ponto P acima sobre o eixo y (P=(0,2)). Mostrar segmentos PA e PB com marcas de mesma medida indicando PA = PB. Eixos cartesianos visíveis, escala simples. | bissetriz-mediatriz-I2.png | 4:3 Sobre a posição do ponto $P$ nesse diagrama, é correto afirmar que $P$ pertence: (A) ao segmento $\overline{AB}$. (B) à bissetriz do ângulo formado por $A$, $P$ e $B$. (C) à mediatriz do segmento $\overline{AB}$. (D) à circunferência de centro $A$ e raio $AB$. (E) ao ponto médio do segmento $\overline{AB}$. **Gabarito:** C --- **3.** [I3] *Na figura abaixo, o ângulo $\widehat{AOB}$ é formado pelos semiretos $\overrightarrow{OA}$ e $\overrightarrow{OB}$. O ponto $P$ é interior ao ângulo e as distâncias de $P$ aos lados $\overrightarrow{OA}$ e $\overrightarrow{OB}$ são iguais.* **Images:** - PLOT: Ângulo AOB com vértice O na origem. Semireto OA inclinado para cima-direita e semireto OB inclinado para baixo-direita, formando ângulo de 60°. Ponto P no interior do ângulo, com segmentos perpendiculares tracejados até cada lado, marcados com traços de mesma medida indicando distâncias iguais. Labels claros: O, A, B, P. | bissetriz-angulo-I3.png | 4:3 O ponto $P$ pertence a qual lugar geométrico? (A) À mediatriz do segmento $\overline{AB}$. (B) À circunferência de centro $O$ e raio $OP$. (C) À bissetriz do ângulo $\widehat{AOB}$. (D) Ao segmento $\overline{AB}$. (E) À reta que passa por $O$ e é perpendicular a $\overrightarrow{OA}$. **Gabarito:** C --- **4.** [I4] *Uma construtora precisa instalar uma placa de sinalização em uma obra. A placa deve ser posicionada de modo que fique à mesma distância de duas paredes que formam um ângulo de 90° em um corredor.* Determine a localização ideal para a placa, justificando a resposta com base no conceito de lugar geométrico. [LINES: 5] --- **5.** [I5] *Um conjunto de pontos de um plano é chamado de lugar geométrico quando todos os seus pontos satisfazem uma mesma condição geométrica e apenas esses pontos satisfazem tal condição.* Assinale a alternativa que apresenta um exemplo correto de lugar geométrico: (A) O conjunto de todos os pontos de um triângulo equilátero. (B) O conjunto de todos os pontos de um plano que distam 5 cm de um ponto fixo $O$ — ou seja, uma circunferência de centro $O$ e raio 5 cm. (C) O conjunto de todos os pontos que pertencem a um segmento de reta e ao seu prolongamento. (D) O conjunto de todos os pontos que estão acima de uma reta horizontal. (E) O conjunto de todos os pontos de um ângulo obtuso. **Gabarito:** B --- **6.** [I6] *Três alunos descreveram o que entendem por "lugar geométrico":* - *Aluno 1: "É qualquer conjunto de pontos em um plano."* - *Aluno 2: "É o conjunto de todos os pontos, e somente esses pontos, que satisfazem uma propriedade geométrica determinada."* - *Aluno 3: "É uma figura geométrica qualquer desenhada em um plano."* Indique qual aluno apresentou a definição correta de lugar geométrico. [LINES: 4] --- **7.** [I7] *Considere um segmento $\overline{CD}$ de 8 cm. Um ponto $P$ pertence à mediatriz de $\overline{CD}$.* Qual é a relação obrigatória entre as distâncias $PC$ e $PD$? (A) $PC > PD$ (B) $PC < PD$ (C) $PC = PD$ (D) $PC + PD = 8$ cm (E) $PC \cdot PD = 0$ **Gabarito:** C --- **8.** [I8] *O diagrama mostra um segmento $\overline{AB}$ e três pontos: $M$, $N$ e $Q$. As distâncias estão indicadas no diagrama: $MA = MB = 5$ cm, $NA = 4$ cm e $NB = 6$ cm, $QA = QB = 7$ cm.* **Images:** - PLOT: Segmento AB horizontal (representação esquemática, não em escala). Ponto A à esquerda, ponto B à direita. Ponto M posicionado acima do segmento, sobre a mediatriz. Ponto N posicionado levemente deslocado da mediatriz, à direita. Ponto Q posicionado abaixo do segmento, sobre a mediatriz. Cotas textuais indicando as distâncias em centímetros: MA=MB=5 cm, NA=4 cm, NB=6 cm, QA=QB=7 cm. Labels claros: A, B, M, N, Q. | mediatriz-pontos-I8.png | 4:3 Com base nas distâncias indicadas, determine quais dos pontos $M$, $N$ e $Q$ pertencem à mediatriz de $\overline{AB}$. [LINES: 4] --- **9.** [I9] *No diagrama abaixo, a bissetriz $\overrightarrow{OB}$ divide o ângulo $\widehat{AOC}$ em duas partes iguais. O ponto $P$ está sobre a bissetriz, e $d_1$ representa a distância de $P$ ao lado $\overrightarrow{OA}$, e $d_2$ representa a distância de $P$ ao lado $\overrightarrow{OC}$.* **Images:** - PLOT: Ângulo AOC com vértice O na origem. Semireto OA em direção ao quadrante superior-direito e semireto OC em direção ao quadrante inferior-direito, formando ângulo de 80°. Bissetriz OB no centro do ângulo. Ponto P sobre a bissetriz, com segmentos perpendiculares tracejados até OA e OC, rotulados d1 e d2. Labels: O, A, B, C, P, d1, d2. | bissetriz-distancias-I9.png | 4:3 Qual relação entre $d_1$ e $d_2$ caracteriza a posição de $P$ sobre a bissetriz? (A) $d_1 + d_2 = OP$ (B) $d_1 = 0$ e $d_2 > 0$ (C) $d_1 = d_2$ (D) $d_1 > d_2$ (E) $d_1 \cdot d_2 = 1$ **Gabarito:** C --- **10.** [I10] *Em uma competição de geometria, um estudante afirmou: "Se um ponto pertence à mediatriz de um segmento $\overline{PQ}$, então ele está obrigatoriamente sobre o segmento $\overline{PQ}$."* Essa afirmação está correta? Responda os itens a seguir: a) Classifique a afirmação como verdadeira ou falsa. b) Justifique sua resposta com base na definição de mediatriz como lugar geométrico. [LINES: 5] --- **11.** [I11] *Uma equipe de engenheiros está projetando uma ciclovia em um parque. A ciclovia deve passar por uma região que fique equidistante de dois canteiros de flores dispostos em ângulo, para evitar que as bicicletas se aproximem demais de um canteiro em detrimento do outro.* **Images:** - PLOT: Vista de cima (planta) mostrando dois canteiros representados por faixas retangulares formando um ângulo aberto de 70°. Uma linha tracejada representa a bissetriz do ângulo, indicando o traçado proposto para a ciclovia. Legenda indicando os canteiros (Canteiro 1, Canteiro 2) e a bissetriz (Traçado da ciclovia). Marcas de ângulos iguais em ambos os lados da bissetriz. | ciclovia-bissetriz-I11.png | 4:3 Represente, com base nos conceitos de lugar geométrico, qual é o traçado correto para a ciclovia. [LINES: 6] --- **12.** [I12] *Dois postos de saúde, $A$ e $B$, atendem uma mesma região de uma cidade. A prefeitura deseja construir um novo posto de saúde que fique à mesma distância dos dois postos existentes, de modo a equilibrar o acesso dos moradores.* **Images:** - PLOT: Mapa esquemático com dois pontos A e B representando os postos existentes, unidos por um segmento de 8 unidades. A mediatriz do segmento AB é desenhada como uma linha tracejada perpendicular ao segmento, com o ponto médio indicado por um traço transversal. Três pontos candidatos sobre a mediatriz são marcados com círculos. Labels: A, B, ponto médio M, mediatriz. | postos-saude-mediatriz-I12.png | 4:3 Determine sobre qual reta o novo posto de saúde deve ser construído, justificando com base no conceito de lugar geométrico. [LINES: 5] --- **13.** [I13] *Em uma cidade, três torres de telecomunicações — $T_1$, $T_2$ e $T_3$ — estão posicionadas em vértices de um triângulo. A empresa responsável pela manutenção deseja instalar um centro de controle em um ponto que seja equidistante das três torres, minimizando o comprimento total dos cabos de conexão para esse ponto.* *Para determinar esse ponto, os engenheiros traçaram as mediatrizes dos três lados do triângulo formado pelas torres. As mediatrizes se intersectaram em um único ponto interno ao triângulo.* **Images:** - PLOT: Triângulo escaleno com vértices T1, T2 e T3 (posições distintas). As três mediatrizes de cada lado são traçadas como retas tracejadas, convergindo em um único ponto interno C (circuncentro). O ponto C é marcado com um ponto destacado e rotulado "Centro de controle". Segmentos de C até T1, T2 e T3 indicam equidistância com marcas iguais. | torres-circuncentro-I13.png | 4:3 Com base nessa situação e nos conceitos de mediatriz como lugar geométrico, qual é a propriedade que garante que o ponto de interseção das três mediatrizes está equidistante das três torres? (A) Todo ponto de uma mediatriz de um segmento é equidistante dos extremos desse segmento; como o ponto pertence às três mediatrizes simultaneamente, está equidistante dos três pares de vértices e, portanto, das três torres. (B) Todo ponto de uma bissetriz de um ângulo é equidistante dos lados do ângulo; como o triângulo possui três ângulos, o ponto central fica equidistante de todos os lados. (C) O ponto de interseção das mediatrizes é sempre o baricentro do triângulo, que divide cada mediana na razão 2:1. (D) As mediatrizes de um triângulo se encontram no incentro, que é equidistante dos três lados do triângulo. (E) O ponto médio do triângulo, obtido pela interseção das mediatrizes, minimiza a soma das distâncias aos três vértices por ser o centroide. **Gabarito:** A --- **14.** [I14] *Uma arquiteta está projetando o layout de uma praça triangular. Os três cantos da praça correspondem aos pontos $A$, $B$ e $C$. Ela quer posicionar um bebedouro no interior da praça de modo que ele fique à mesma distância dos três vértices. Para isso, traçou as mediatrizes de cada lado do triângulo e verificou que as três se encontram em um único ponto $O$.* *Separadamente, ela também quer posicionar um banco que fique à mesma distância dos três lados da praça. Para isso, traçou as bissetrizes dos três ângulos internos do triângulo, encontrando um segundo ponto especial $I$.* **Images:** - PLOT: Dois diagramas lado a lado. À esquerda: triângulo ABC com as três mediatrizes traçadas convergindo no circuncentro O (ponto destacado), segmentos OA=OB=OC marcados com traços de mesma medida. À direita: mesmo triângulo ABC com as três bissetrizes dos ângulos internos convergindo no incentro I (ponto destacado), com distâncias perpendiculares de I aos três lados marcadas como iguais. Labels claros em ambos os diagramas. | praca-incentro-circuncentro-I14.png | 16:9 Com base nessa situação: a) Justifique por que o ponto $O$ está equidistante dos três vértices $A$, $B$ e $C$. b) Justifique por que o ponto $I$ está equidistante dos três lados do triângulo. [LINES: 8] [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática com feedback detalhado]