Situações-Problema: Potenciação e Radiciação

# Situações-Problema: Potenciação e Radiciação [Section 6] ## Exercícios [I1] (DOK 1) Uma calculadora científica exibe o resultado de uma operação como 5^(1/3). Qual das alternativas abaixo representa o mesmo valor de forma equivalente? (A) ∛5 (B) 5³ (C) √5 (D) ⁵√3 (E) 3^(1/5) **Gabarito:** A --- [I2] (DOK 1) Considere a igualdade a seguir: ∜81 = 81^(□/□) Qual par de valores completa corretamente o expoente fracionário da potência? (A) numerador 1, denominador 2 (B) numerador 4, denominador 1 (C) numerador 1, denominador 4 (D) numerador 2, denominador 1 (E) numerador 4, denominador 81 **Gabarito:** C --- [I3] (DOK 1) O valor de 64^(1/2) é igual a: (A) 32 (B) 6 (C) 4 (D) 8 (E) 12 **Gabarito:** D --- [I4] (DOK 2) Observe a expressão numérica a seguir: ( ∛27 )² + 8^(2/3) Para simplificar essa expressão, Beatriz reescreveu cada raiz como uma potência de expoente fracionário e depois aplicou as propriedades de potenciação. Qual é o valor final da expressão? (A) 9 (B) 13 (C) 18 (D) 11 (E) 27 **Gabarito:** B --- [I5] (DOK 1) A tabela abaixo apresenta quatro expressões matemáticas. Identifique a única que está escrita **incorretamente** como potência de expoente fracionário. | Expressão radical | Forma como potência | |---|---| | ∜x | x^(1/4) | | ⁵√x³ | x^(5/3) | | √x⁷ | x^(7/2) | | ∛x² | x^(2/3) | (A) √x⁷ (B) ∛x² (C) ⁵√x³ — a forma correta seria x^(3/5) (D) ∜x (E) Todas estão corretas **Gabarito:** C --- [I6] (DOK 2) Uma cientista está estudando o crescimento de uma colônia de bactérias. Ela descobriu que, em condições ideais, o número de bactérias após certo intervalo de tempo pode ser modelado pela expressão N = 2^(t/3), onde t é o tempo em horas. A cientista quer reescrever essa expressão usando notação de radical para facilitar a visualização em seu relatório. Qual é a forma equivalente correta? (A) N = ²√(3^t) (B) N = ∛(2^t) (C) N = 2^(3t) (D) N = ³√(2^t) (E) N = (∛2)^t · 3 **Gabarito:** D --- [I7] (DOK 2) Júlio simplificou a expressão ∛(x⁶) da seguinte forma: **Passo 1:** Reescreve como (x⁶)^(1/3) **Passo 2:** Aplica uma propriedade de potenciação: x^(6 · 1/3) **Passo 3:** Conclui que o resultado é x² a) Identifique a propriedade de potenciação que justifica a passagem do Passo 1 para o Passo 2. b) Explique por que a radiciação é a operação inversa da potenciação nesse caso — como o resultado x² confirma que a raiz cúbica desfaz a sexta potência? [LINES: 6] --- [I8] (DOK 3) Em engenharia de materiais, a resistência à tração de certos metais é estimada por modelos matemáticos que envolvem potências fracionárias. Um engenheiro utiliza a fórmula abaixo para estimar a resistência R (em MPa) de uma liga metálica em função de sua espessura e (em mm): R = 200 · e^(2/3) Para uma espessura de e = 27 mm, o valor de R, em MPa, é: (A) 200 (B) 900 (C) 1800 (D) 5400 (E) 400 **Gabarito:** C --- [I9] (DOK 2) Um professor de matemática escreveu no quadro a seguinte igualdade e pediu aos alunos que verificassem se ela é verdadeira ou falsa, justificando a resposta: **( √5 )⁴ = 5²** Lara afirmou que a igualdade é verdadeira. Ela reescreveu √5 como 5^(1/2) e depois aplicou a propriedade de potência de potência. Reproduza o raciocínio de Lara, mostrando cada etapa de sua simplificação, e confirme se a resposta dela está correta. [LINES: 5] --- [I10] (DOK 2) O gráfico abaixo representa curvas da função f(x) = x^(1/n), para diferentes valores inteiros positivos de n. **Para plotar:** | # | Descrição | Nome do arquivo | Proporção | |---|-----------|-----------------|-----------| | 1 | [PLOT] Plano cartesiano com cinco curvas partindo da origem (0,0) até o ponto (1,1), com curvatura decrescente para valores maiores de n. As curvas estão rotuladas como n = 2 (√x), n = 3 (∛x), n = 4 (∜x), n = 5 (⁵√x) e n = 6 (⁶√x). O eixo x vai de 0 a 4 e o eixo y de 0 a 2. Curvas em cores distintas com legenda. | grafico-raizes-x-1n.png | 4:3 | Com base nas curvas do gráfico e nas propriedades de radiciação e potenciação, responda: a) Para x = 64, ordene os valores f(x) = 64^(1/n) do maior para o menor, considerando n = 2, 3, 4 e 6. b) Justifique por que, para uma mesma base x > 1, o valor de x^(1/n) diminui à medida que n aumenta. [LINES: 6] --- [I11] (DOK 3) O esquema abaixo representa a área de três territórios indígenas no Brasil, cada um com formato quadrado e lados a₁, a₂ e a₃. As áreas (em km²) dos territórios são, respectivamente, 529, 4 096 e 15 625 km². **Para gerar:** | # | Descrição | Nome do arquivo | Proporção | |---|-----------|-----------------|-----------| | 1 | [GENERATE] Três quadrados lado a lado com rótulos "Território A", "Território B" e "Território C", cada um com sua área indicada internamente (529 km², 4 096 km² e 15 625 km²). Os quadrados têm tamanhos visivelmente diferentes, refletindo as diferenças de área. Visual limpo com fundo branco e bordas bem definidas. | territorios-indigenas-quadrados.png | 3:2 | Para determinar o comprimento de cada lado, é necessário calcular a raiz quadrada de cada área. a) Reescreva cada cálculo de lado (√529, √4096, √15625) na forma de potência de expoente fracionário. b) Calcule o comprimento de cada lado e determine qual é a diferença, em km, entre o maior e o menor lado entre os três territórios. [LINES: 8] --- [I12] (DOK 3) Em uma olimpíada escolar, os alunos receberam a seguinte afirmação para analisar: > *"Para qualquer número real positivo a e qualquer inteiro positivo n, a operação ⁿ√(aⁿ) sempre resulta em a, porque a radiciação é a operação inversa da potenciação."* Três estudantes apresentaram pontos de vista diferentes: - **Marina** disse que a afirmação é sempre verdadeira. - **Pedro** disse que é verdadeira apenas quando a ≥ 0 e n é par. - **Lucas** disse que é sempre verdadeira para a > 0 e qualquer n inteiro positivo. Analise os três argumentos e explique qual aluno está correto, utilizando a representação de raiz como potência de expoente fracionário para justificar sua resposta. [LINES: 8] --- [INTERACTIVE: D | responda na plataforma | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática com feedback detalhado]