Situações-Problema: Variação de Grandezas

# Exercícios [Sequence 6] Eu, Harry Potter, aprendi em Hogwarts que reconhecer padrões ocultos é a essência de qualquer boa investigação — e nas aulas anteriores você dominou exatamente isso com as grandezas proporcionais e não proporcionais. Em resumo, agora você vai reunir identificação, modelagem e representação gráfica para resolver situações-problema completas: a hora de provar o que você sabe chegou. Vamos investigar isso juntos? --- **[I1]** Uma pesquisadora registrou os valores de duas grandezas, $x$ e $y$, na tabela abaixo. | $x$ | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | |-----|---|---|---|---|----| | $y$ | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | Com base nos dados da tabela, identifique a relação entre $x$ e $y$. (A) As grandezas são inversamente proporcionais, pois o produto $x \cdot y$ é constante. (B) As grandezas são diretamente proporcionais, pois a razão $\dfrac{y}{x}$ é constante e igual a 3. (C) As grandezas são diretamente proporcionais, pois a diferença $y - x$ é constante. (D) As grandezas não são proporcionais, pois os valores de $y$ crescem mais rápido que os de $x$. (E) As grandezas são inversamente proporcionais, pois $y$ aumenta quando $x$ aumenta. **Gabarito:** B --- **[I2]** Um técnico de laboratório anotou os valores de duas grandezas, $x$ e $y$, conforme a tabela a seguir. | $x$ | 1 | 2 | 4 | 5 | 10 | |-----|---|---|---|---|----| | $y$ | 40 | 20 | 10 | 8 | 4 | Analise os dados e identifique a relação entre $x$ e $y$. (A) As grandezas são diretamente proporcionais, pois $\dfrac{y}{x}$ é constante. (B) As grandezas não são proporcionais, pois $y$ diminui enquanto $x$ aumenta. (C) As grandezas são inversamente proporcionais, pois o produto $x \cdot y$ é constante e igual a 40. (D) As grandezas são inversamente proporcionais, pois a soma $x + y$ é constante. (E) As grandezas são diretamente proporcionais, pois quando $x$ dobra, $y$ dobra também. **Gabarito:** C --- **[I3]** Uma estudante coletou dados sobre duas grandezas, $x$ e $y$, e organizou a tabela abaixo. | $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |-----|---|---|---|---|---| | $y$ | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | Classifique a relação entre $x$ e $y$. (A) Diretamente proporcionais, pois $y$ aumenta quando $x$ aumenta. (B) Inversamente proporcionais, pois o produto $x \cdot y$ se mantém constante. (C) Diretamente proporcionais, pois a razão $\dfrac{y}{x}$ é sempre igual a 1. (D) Não proporcionais, pois a razão $\dfrac{y}{x}$ não é constante e o produto $x \cdot y$ também não é constante. (E) Não proporcionais, pois os valores de $y$ são sempre maiores do que os de $x$. **Gabarito:** D --- **[I4]** Em um experimento escolar, a relação entre duas grandezas foi expressa pela sentença algébrica $y = 3x$. Classifique a relação entre $x$ e $y$ e indique o nome e o valor da constante de proporcionalidade. [LINES: 4] **Gabarito (esperado):** A relação $y = 3x$ representa uma grandeza **diretamente proporcional** a $x$. A constante de proporcionalidade é $k = 3$, pois a razão $\frac{y}{x} = 3$ permanece constante para qualquer valor de $x \neq 0$. --- **[I5]** Em um aplicativo de navegação, foram registrados os tempos de viagem de um carro que percorre sempre a mesma distância de 120 km, variando a velocidade média conforme a tabela abaixo. | Velocidade $v$ (km/h) | 40 | 60 | 80 | 120 | |------------------------|----|----|----|----| | Tempo $t$ (h) | 3 | 2 | 1,5 | 1 | Identifique a natureza da variação e escreva a sentença algébrica que relaciona $t$ e $v$. (A) Diretamente proporcionais; $t = 3v$. (B) Não proporcionais; não é possível estabelecer uma relação entre $t$ e $v$. (C) Inversamente proporcionais; $t = \dfrac{120}{v}$. (D) Diretamente proporcionais; $t = \dfrac{v}{120}$. (E) Inversamente proporcionais; $t = \dfrac{v}{120}$. **Gabarito:** C --- **[I6]** Um motorista anotou o consumo de combustível de seu carro em diferentes percursos, mantendo o mesmo padrão de rodagem. Os dados estão na tabela abaixo. | Distância percorrida $d$ (km) | 50 | 100 | 150 | 200 | |-------------------------------|-----|-----|-----|-----| | Combustível consumido $c$ (L) | 4 | 8 | 12 | 16 | a) Verifique se as grandezas $d$ e $c$ são diretamente proporcionais, calculando a razão $\dfrac{c}{d}$ para cada par de valores. b) Determine o valor da constante de proporcionalidade $k$ e escreva a sentença algébrica completa que relaciona $c$ e $d$. [LINES: 6] **Gabarito (esperado):** a) Calculando as razões: $\dfrac{4}{50} = 0{,}08$; $\dfrac{8}{100} = 0{,}08$; $\dfrac{12}{150} = 0{,}08$; $\dfrac{16}{200} = 0{,}08$. Como a razão $\dfrac{c}{d}$ é constante e igual a $0{,}08$ para todos os pares, as grandezas **são diretamente proporcionais**. b) A constante de proporcionalidade é $k = 0{,}08$ L/km. A sentença algébrica é: $c = 0{,}08 \cdot d$. --- [chapter-section: Zoom] Eu uso este atalho como se fosse um feitiço de dois passos: calcule $y \div x$ para dois pares da tabela — se o resultado for sempre o mesmo, é proporcionalidade direta. Agora multiplique $x \cdot y$ nesses mesmos pares — se o produto for sempre igual, é proporcionalidade inversa. E se nenhum dos dois funcionar, as grandezas não são proporcionais. Você consegue aplicar esse teste mental antes mesmo de ler a pergunta? --- **[I7]** O gráfico abaixo representa a relação entre as grandezas $x$ e $y$. **[Gráfico: Hipérbole no primeiro quadrante do plano cartesiano. Os eixos $x$ e $y$ vão de 0 a 12. A curva passa pelos pontos $(2,\ 10)$ e $(5,\ 4)$, aproximando-se dos eixos sem tocá-los, com formato típico de $y = k/x$. Os dois pontos estão marcados e identificados no gráfico.]** **Images:** - PLOT: Hyperbola in the first quadrant. Axes x and y from 0 to 12. Curve passes through points (2, 10) and (5, 4), approaching both axes without touching them. Points (2,10) and (5,4) are marked and labeled. x-axis labeled "x", y-axis labeled "y". Title: none. | hiperbole-questao-I7.png | 4:3 Com base no gráfico, identifique o tipo de relação entre $x$ e $y$ e determine o valor de $k$. (A) Diretamente proporcional; $k = 5$. (B) Inversamente proporcional; $k = 20$. (C) Não proporcional; não há valor de $k$ definido. (D) Inversamente proporcional; $k = 12$. (E) Diretamente proporcional; $k = 2$. **Gabarito:** B --- **[I8]** Três estudantes fizeram experimentos distintos e registraram os seguintes pares de grandezas: **Experimento A:** | $x$ | 3 | 6 | 9 | 12 | |-----|---|---|---|----| | $y$ | 15 | 30 | 45 | 60 | **Experimento B:** | $x$ | 2 | 3 | 6 | 9 | |-----|---|---|---|---| | $y$ | 18 | 12 | 6 | 4 | **Experimento C:** | $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | |-----|---|---|---|---| | $y$ | 5 | 7 | 11 | 17 | Classifique a relação entre $x$ e $y$ em cada experimento, justificando sua resposta com um cálculo. [LINES: 9] **Gabarito (esperado):** **Experimento A:** Razão $\dfrac{y}{x}$: $\dfrac{15}{3} = 5$; $\dfrac{30}{6} = 5$; $\dfrac{45}{9} = 5$; $\dfrac{60}{12} = 5$. Razão constante → **diretamente proporcionais**, $k = 5$. **Experimento B:** Produto $x \cdot y$: $2 \times 18 = 36$; $3 \times 12 = 36$; $6 \times 6 = 36$; $9 \times 4 = 36$. Produto constante → **inversamente proporcionais**, $k = 36$. **Experimento C:** Razão $\dfrac{y}{x}$: $\dfrac{5}{1} = 5$; $\dfrac{7}{2} = 3{,}5$; $\dfrac{11}{3} \approx 3{,}67$; $\dfrac{17}{4} = 4{,}25$. Razão não constante. Produto $x \cdot y$: $1 \times 5 = 5$; $2 \times 7 = 14$. Produto não constante → **não proporcionais**. --- **[I9]** Um professor apresentou a três grupos de alunos as seguintes sentenças algébricas: - Sentença P: $y = 5x$ - Sentença Q: $y = \dfrac{7}{x}$ - Sentença R: $y = x^2 + 1$ Sobre a natureza da variação expressa em cada sentença, assinale a alternativa correta. (A) P e Q representam grandezas diretamente proporcionais; R representa grandezas inversamente proporcionais. (B) Somente P representa grandezas diretamente proporcionais; Q e R representam grandezas não proporcionais. (C) P representa grandezas diretamente proporcionais; Q representa grandezas inversamente proporcionais; R representa grandezas não proporcionais. (D) P e R representam grandezas diretamente proporcionais; Q representa grandezas inversamente proporcionais. (E) P, Q e R representam grandezas proporcionais, variando apenas a constante $k$. **Gabarito:** C --- **[I10]** Em uma festa de aniversário, uma confeiteira usa 3 xícaras de farinha para preparar um bolo que serve 6 pessoas. Ela precisa preparar bolos para 15 pessoas, mantendo a mesma receita. a) Escreva a sentença algébrica que relaciona o número de xícaras de farinha $f$ com o número de pessoas $p$ atendidas. b) Determine o valor de $f$ para $p = 15$ pessoas. [LINES: 6] **Gabarito (esperado):** a) A razão é $\dfrac{f}{p} = \dfrac{3}{6} = 0{,}5$. A sentença algébrica é: $f = 0{,}5 \cdot p$. b) Para $p = 15$: $f = 0{,}5 \times 15 = 7{,}5$ xícaras. --- **[I11]** Uma construtora estima que 8 operários conseguem construir um muro em 6 dias, trabalhando em ritmo constante. a) Determine a sentença algébrica que relaciona o número de operários $n$ com o número de dias $d$ necessários para concluir o serviço. b) Calcule quantos dias serão necessários se apenas 4 operários estiverem disponíveis. c) Calcule quantos operários serão necessários para concluir o muro em apenas 3 dias. [LINES: 8] **Gabarito (esperado):** a) Grandezas **inversamente proporcionais**. Produto constante: $8 \times 6 = 48$. Sentença algébrica: $d = \dfrac{48}{n}$. b) Para $n = 4$: $d = \dfrac{48}{4} = 12$ dias. c) Para $d = 3$: $n = \dfrac{48}{3} = 16$ operários. --- **[I12]** Uma família decidiu monitorar o consumo de energia elétrica de seu chuveiro. O equipamento tem potência de 5,5 kW, e a distribuidora cobra R$ 0,85 por quilowatt-hora (kWh) consumido. A tabela abaixo mostra o custo mensal gerado pelo chuveiro em função do tempo diário de uso, considerando um mês de 30 dias. | Tempo de uso diário $t$ (min) | 5 | 10 | 15 | 20 | 30 | |-------------------------------|---|----|----|----|----| | Custo mensal $C$ (R$) | 11,69 | 23,38 | 35,06 | 46,75 | 70,13 | A família quer reduzir o custo mensal de R$ 46,75 para R$ 23,38. Para isso, um dos filhos propõe determinar o modelo algébrico que relaciona custo e tempo e, a partir dele, calcular o novo tempo de banho necessário. Qual é o modelo algébrico correto e qual deve ser o novo tempo de uso diário, respectivamente? (A) $C = 4{,}675 \cdot t$; o tempo deve ser reduzido para 10 minutos por dia. (B) $C = \dfrac{46{,}75}{t}$; o tempo deve ser reduzido para 2 minutos por dia. (C) $C = 2{,}338 \cdot t$; o tempo deve ser reduzido para 10 minutos por dia. (D) $C = 4{,}675 \cdot t$; o tempo deve ser reduzido para 5 minutos por dia. (E) $C = 2{,}338 \cdot t$; o tempo deve ser reduzido para 5 minutos por dia. **Gabarito:** C *(Nota: o coeficiente exato é $k = 2{,}3375$ R\$/min, arredondado para $2{,}338$ no modelo — as pequenas diferenças de centavos na tabela decorrem desse arredondamento.)* --- **[I13]** O gráfico abaixo exibe duas curvas no plano cartesiano, identificadas como Curva I e Curva II. **[Gráfico: Plano cartesiano com eixo $x$ horizontal (de 0 a 8) e eixo $y$ vertical (de 0 a 16). Curva I é uma reta que parte da origem $(0,\ 0)$ e passa pelos pontos $(2,\ 4)$, $(4,\ 8)$ e $(6,\ 12)$, crescendo linearmente. Curva II é uma hipérbole no primeiro quadrante, passando pelos pontos $(1,\ 12)$, $(2,\ 6)$, $(3,\ 4)$ e $(6,\ 2)$, aproximando-se dos eixos sem tocá-los. Ambas as curvas estão rotuladas. Os pontos mencionados estão marcados com pontos destacados.]** **Images:** - PLOT: Cartesian plane with x-axis (0 to 8) and y-axis (0 to 16). Curve I is a straight line through origin (0,0) and points (2,4), (4,8), (6,12). Curve II is a hyperbola through points (1,12), (2,6), (3,4), (6,2). Both curves labeled "Curva I" and "Curva II". Marked points highlighted with dots. x-axis labeled "x", y-axis labeled "y". | curvas-questao-I13.png | 4:3 a) Identifique o tipo de variação representado por cada curva, justificando com base nos pontos assinalados. b) Escreva a sentença algébrica correspondente a cada curva. c) Explique a diferença fundamental entre os dois tipos de variação representados. d) No plano cartesiano abaixo, marque ao menos três pontos e esboce o gráfico de uma função **diretamente proporcional** com $k = 3$ e, em seguida, de uma função **inversamente proporcional** com $k = 6$. Identifique cada curva. [LINES: 12] **Gabarito (esperado):** a) **Curva I** — reta pela origem: razão $\dfrac{y}{x}$ constante ($\dfrac{4}{2} = \dfrac{8}{4} = \dfrac{12}{6} = 2$) → **diretamente proporcional**, $k = 2$. **Curva II** — hipérbole: produto $x \cdot y$ constante ($1 \times 12 = 2 \times 6 = 3 \times 4 = 6 \times 2 = 12$) → **inversamente proporcional**, $k = 12$. b) Curva I: $y = 2x$. Curva II: $y = \dfrac{12}{x}$. c) Na proporcionalidade direta, quando $x$ aumenta, $y$ aumenta na mesma proporção (a razão $\dfrac{y}{x}$ é constante). Na proporcionalidade inversa, quando $x$ aumenta, $y$ diminui na mesma proporção (o produto $x \cdot y$ é constante). d) Para $y = 3x$ (direta, $k = 3$): pontos esperados, por exemplo, $(1, 3)$, $(2, 6)$, $(3, 9)$ — reta passando pela origem com inclinação positiva. Para $y = \dfrac{6}{x}$ (inversa, $k = 6$): pontos esperados $(1, 6)$, $(2, 3)$, $(3, 2)$, $(6, 1)$ — hipérbole no primeiro quadrante, aproximando-se dos eixos sem tocá-los. Cada curva deve estar identificada com seu rótulo. --- **[I14]** Durante uma aula, uma aluna chamada Bruna fez a seguinte afirmação: > *"Sempre que uma grandeza dobra e a outra também dobra, podemos concluir que as duas grandezas são diretamente proporcionais."* Avalie a afirmação de Bruna, apresentando um contraexemplo numérico que mostre que ela pode estar equivocada. [LINES: 8] **Gabarito (esperado):** A afirmação está **incompleta**. Para que duas grandezas sejam diretamente proporcionais, é necessário que a razão $\dfrac{y}{x}$ seja constante para **todos** os pares de valores — não apenas para um caso isolado. **Contraexemplo:** Considere $y = 2x + 4$. | $x$ | 1 | 2 | 4 | |-----|---|---|---| | $y$ | 6 | 8 | 12 | Quando $x$ passa de 1 para 2, $y$ passa de 6 para 8 (não dobrou). A razão $\dfrac{y}{x}$: $\dfrac{6}{1} = 6$; $\dfrac{8}{2} = 4$; $\dfrac{12}{4} = 3$ — não é constante. Portanto, a relação **não é diretamente proporcional**, mesmo que $y$ cresça quando $x$ cresce. A condição exige razão constante para todos os pares e que o gráfico passe pela origem. [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática com gabarito comentado]