Soluções de uma Equação Linear

# Soluções de uma Equação Linear [Section 4] No capítulo anterior, você aprendeu a reconhecer equações lineares de 1º grau com duas incógnitas e a identificá-las pela forma geral **ax + by = c**. Agora o passo seguinte é descobrir quais pares de valores tornam essa equação verdadeira — e há infinitos deles. ## Encontrando os Pares Ordenados Uma **solução** de uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas é qualquer dupla de valores (x, y) que, ao ser substituída na equação, torna a igualdade verdadeira. Essa dupla é registrada como um **par ordenado**, escrito sempre na forma **(x, y)** — o primeiro número representa x e o segundo representa y. Para encontrar uma solução, basta escolher um valor qualquer para x, substituí-lo na equação e calcular o valor correspondente de y. Por exemplo, na equação **2x + y = 6**: - Se **x = 0**: 2·0 + y = 6, logo **y = 6**. O par ordenado é **(0, 6)**. - Se **x = 1**: 2·1 + y = 6, logo 2 + y = 6, e **y = 4**. O par ordenado é **(1, 4)**. Como é possível escolher infinitos valores para x, a equação possui **infinitas soluções**. Esses resultados podem ser organizados em uma tabela: | x | y | |----|---| | 0 | 6 | | 1 | 4 | | 3 | 0 | | −1 | 8 | **Images:** - [PLOT] Plano cartesiano com os quatro pontos isolados (0,6), (1,4), (3,0) e (−1,8) marcados com rótulos; sem reta conectando os pontos; eixos x e y com grade e escala | pontos-solucoes-2x-y-6.png | 4:3 [INTERACTIVE: A1 | mapa mental | Explore o mapa mental interativo sobre soluções de equações lineares na plataforma Teachy] ## Verificando se um Par é Solução Para verificar se um par ordenado é ou não solução de uma equação, basta substituir os valores de x e y e checar se a igualdade é verdadeira. Se o resultado for verdadeiro, o par é solução; se for falso, não é. Por exemplo, na equação **3x − 2y = 8**: - Par **(4, 2)**: 3·4 − 2·2 = 12 − 4 = **8** ✓ → é solução. - Par **(1, 3)**: 3·1 − 2·3 = 3 − 6 = **−3 ≠ 8** → não é solução. Esse método de substituição é a ferramenta principal para trabalhar com soluções de equações lineares. [chapter-callout-label: Zoom] **Zoom** Ao substituir **x = 0** em uma equação linear, o cálculo de y fica mais direto, pois o termo com x desaparece. Da mesma forma, substituir **y = 0** simplifica o cálculo de x. Por que acha que esses dois valores são os mais convenientes para começar? --- [chapter-callout-label: Sabia?] **Sabia?** A ordem dos números em um par ordenado importa. O par (2, 1) e o par (1, 2) representam pontos diferentes, pois o primeiro número é sempre x e o segundo é sempre y. Trocar a posição dos valores muda o ponto e pode transformar uma solução em um par que não satisfaz a equação. --- [Section 5] Com a definição e o método de verificação bem estabelecidos, vamos praticar. Os exercícios a seguir partem dos casos mais diretos e avançam gradualmente. **Pratique** [P1] Considere a equação linear $2x + y = 6$. Calcule o valor de $y$ para cada valor de $x$ indicado e complete a tabela de pares ordenados abaixo. | $x$ | $y$ | |-----|-----| | 0 | | | 1 | | | 3 | | | -1 | | Quais são os quatro pares ordenados $(x, y)$ que satisfazem a equação? --- [P2] Maria disse que o par ordenado $(4, 2)$ é uma solução da equação $3x - 2y = 8$. Já seu colega Pedro afirmou que $(2, -1)$ também satisfaz essa mesma equação. Verifique, substituindo os valores na equação, se cada um deles está certo ou errado. *Dica: substitua o valor de $x$ e o valor de $y$ na equação e verifique se a igualdade é satisfeita. Uma solução da equação sempre torna a sentença verdadeira.* --- [P3] A equação $x + 3y = 9$ possui infinitas soluções. a) Encontre três pares ordenados $(x, y)$ que satisfaçam essa equação, escolhendo livremente os valores de $x$. b) Um dos pares que você encontrou tem $x = 0$. Qual é o valor de $y$ nesse caso? Esse ponto está sobre qual eixo do plano cartesiano? *Dica: para encontrar cada par, escolha um valor para $x$, substitua na equação e calcule o valor correspondente de $y$. Para a parte b), lembre-se de que pontos com $x = 0$ estão sobre o eixo vertical.* --- [chapter-callout-label: Evidencias] **Atenção — Erros comuns** Dois enganos aparecem com frequência ao trabalhar com soluções de equações lineares. O primeiro é acreditar que uma equação com duas incógnitas tem apenas uma solução — na verdade, há infinitas. O segundo é inverter a ordem do par ordenado: se a equação exige **x = 3** e **y = 1**, escrever **(1, 3)** representa um ponto diferente, que pode não satisfazer a mesma equação. Sempre verifique: primeiro número é x, segundo é y. --- [Section 6] Com os conceitos e a prática orientada concluídos, chegou a hora de resolver os exercícios de forma independente, aplicando o que você aprendeu em contextos variados. ## Exercícios **Images:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/b9f3dbb5d71e963a7bac71b4b484498d.jpg — Estudante resolvendo equações no quadro verde [I1] *A tabela abaixo mostra a relação entre a quantidade de horas trabalhadas ($x$) e o salário diário em reais ($y$) de um entregador de aplicativo, expressa pela equação $y = 12x + 8$.* | $x$ (horas) | 0 | 2 | 4 | 6 | |-------------|---|---|---|---| | $y$ (reais) | ? | ? | ? | ? | Calcule os valores de $y$ para cada valor de $x$ da tabela e escreva os quatro pares ordenados obtidos. Em seguida, indique qual par ordenado representa o salário quando o entregador trabalha exatamente 4 horas. [LINES: 5] --- [I2] *Numa fábrica de camisetas, o custo total de produção ($y$, em reais) depende da quantidade de camisetas produzidas ($x$) segundo a equação $5x - y = -40$.* a) Isole $y$ na equação e reescreva-a na forma $y = \ldots$ b) Determine três pares ordenados $(x, y)$ que satisfaçam a equação, usando $x = 0$, $x = 10$ e $x = 20$. [LINES: 6] --- [I3] *Em um plano cartesiano, dois alunos marcaram pontos que, segundo eles, pertencem à reta representada pela equação $2x + y = 10$. O aluno Artur marcou os pontos $(1, 8)$ e $(3, 4)$. A aluna Beatriz marcou os pontos $(2, 5)$ e $(5, 0)$.* Verifique quais dos quatro pontos realmente satisfazem a equação $2x + y = 10$. Para cada ponto, mostre a substituição realizada e conclua se ele pertence ou não à reta. [LINES: 8] --- [I4] *Considere as duas equações lineares a seguir:* $$\text{Equação I: } x + y = 6 \qquad \text{Equação II: } 2x + 2y = 12$$ *Um estudante afirma que as duas equações possuem exatamente os mesmos pares ordenados como solução.* a) Encontre três pares ordenados que satisfaçam a Equação I. b) Verifique se esses mesmos pares satisfazem a Equação II. c) Encontre mais dois pares ordenados diferentes que satisfaçam a Equação I e verifique se eles também satisfazem a Equação II. [LINES: 8] [INTERACTIVE: D | responda na plataforma | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática]