Soluções no Plano Cartesiano

# Soluções no Plano Cartesiano [Section 4] Você já sabe que uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas possui infinitas soluções, cada uma representada por um par ordenado $(x, y)$. O próximo passo é levar essas soluções para o plano cartesiano e descobrir o que acontece quando todas elas são marcadas juntas. ## De ponto em ponto, uma reta Considere a equação $2x + y = 6$. Calculando algumas soluções: | $x$ | $y = 6 - 2x$ | Par ordenado | |-----|-------------|--------------| | 0 | 6 | $(0, 6)$ | | 1 | 4 | $(1, 4)$ | | 2 | 2 | $(2, 2)$ | | 3 | 0 | $(3, 0)$ | Ao marcar esses quatro pontos no plano cartesiano, algo notável aparece: eles estão perfeitamente alinhados. Ligando-os, obtém-se uma reta. Isso não é coincidência: toda equação linear de 1º grau com duas incógnitas tem suas soluções representadas por uma **reta** no plano cartesiano. **Imagens:** - PLOT: Plano cartesiano mostrando os quatro pontos (0,6), (1,4), (2,2) e (3,0) da equação 2x+y=6 marcados com destaque, e a reta que passa por todos eles traçada em continuidade além dos pontos | reta-2x-mais-y-6.png | 1:1 A reta representa **todas** as soluções da equação, incluindo aquelas com valores não inteiros, como $(1{,}5;\; 3)$ ou $(-1;\; 8)$. Cada ponto pertencente à reta corresponde exatamente a um par $(x, y)$ que satisfaz a equação, e cada par que satisfaz a equação corresponde a um ponto da reta. ## Como representar: passo a passo Para representar graficamente as soluções de uma equação linear, siga este procedimento: **Passo 1:** Isole $y$ na equação: escreva-a na forma $y = \ldots$ **Passo 2:** Escolha ao menos dois valores simples para $x$ (como $0$, $1$ ou $2$) e calcule o $y$ correspondente em cada caso. **Passo 3:** Registre os pares ordenados $(x, y)$ em uma tabela. **Passo 4:** Marque os pontos no plano cartesiano — sempre a coordenada $x$ primeiro (horizontal), depois a coordenada $y$ (vertical). **Passo 5:** Trace a reta que passa por todos os pontos. Um terceiro ponto serve para verificar se não houve erro de cálculo. [chapter-callout-label: Sabia?] **Dois pontos bastam.** Para traçar uma reta com precisão, basta determinar dois pares ordenados da equação. O terceiro ponto é uma ferramenta de verificação: se os três pontos não se alinharem, há algum erro de cálculo a ser corrigido. ### Exemplo resolvido Represente graficamente as soluções de $x + 2y = 8$. **Passo 1:** Isolando $y$: $2y = 8 - x$, portanto $y = \dfrac{8 - x}{2}$. **Passo 2 e 3:** | $x$ | $y = \dfrac{8 - x}{2}$ | Par ordenado | |-----|-----------------------|--------------| | 0 | 4 | $(0, 4)$ | | 2 | 3 | $(2, 3)$ | | 8 | 0 | $(8, 0)$ | **Passo 4 e 5:** Marcar os pontos $(0, 4)$, $(2, 3)$ e $(8, 0)$ no plano e traçar a reta que passa por todos eles. **Verificação:** O ponto $(4, 2)$ deve pertencer à reta, pois $4 + 2 \cdot 2 = 8$ ✓. **Imagens:** - PLOT: Plano cartesiano com a reta da equação x+2y=8, mostrando os pontos (0,4), (2,3) e (8,0) marcados e identificados, e a reta traçada passando pelos três pontos | reta-x-mais-2y-8.png | 1:1 [INTERACTIVE: A1 | mapa mental | Acesse o mapa mental interativo sobre representação de equações lineares no plano cartesiano na plataforma Teachy] [Section 5] Pratique [P1] A equação $x + y = 5$ possui infinitas soluções. Complete a tabela abaixo encontrando o valor de $y$ para cada valor de $x$ dado: | $x$ | $y$ | |-----|-----| | 0 | | | 1 | | | 2 | | | 5 | | | −1 | | Em seguida, escreva cada par ordenado $(x, y)$ obtido e marque os pontos no plano cartesiano abaixo. *Dica: Isole $y$ na equação antes de substituir os valores de $x$.* **Imagens:** - PLOT: Plano cartesiano em branco com eixos x e y rotulados, escala de -2 a 6 em ambos os eixos, grid em evidência — para uso como espaço de resposta do aluno | plano-branco-p1.png | 1:1 --- [chapter-callout-label: Zoom] **Atenção a um erro comum!** Muitos estudantes invertem a ordem das coordenadas ao marcar pontos no plano. Lembre-se: o par ordenado é sempre $(x, y)$ — primeiro a abscissa (horizontal), depois a ordenada (vertical). Inverter a ordem leva o ponto a uma posição completamente diferente no plano. --- [P2] Os pares ordenados $(0, 4)$, $(2, 0)$ e $(1, 2)$ foram obtidos como soluções de uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas. Um estudante marcou esses três pontos no plano cartesiano e observou que eles estavam alinhados. a) Trace, no plano cartesiano abaixo, os três pontos e a reta que passa por todos eles. b) O ponto $(3, -2)$ pertence a essa reta? Justifique verificando se ele satisfaz a equação $2x + y = 4$. *Dica: Um ponto pertence à reta de uma equação se, ao substituir suas coordenadas na equação, a igualdade for verdadeira.* **Imagens:** - PLOT: Plano cartesiano em branco com eixos x e y rotulados, escala de -3 a 5 em ambos os eixos, grid destacado — para uso como espaço de resposta do aluno | plano-branco-p2.png | 1:1 --- [P3] Observe o plano cartesiano a seguir, que mostra uma reta passando pelos pontos $(0, 3)$ e $(2, 7)$. **Imagens:** - PLOT: Plano cartesiano com reta passando pelos pontos (0,3) e (2,7), ambos marcados e identificados, escala de -1 a 4 no eixo x e 0 a 9 no eixo y | reta-pontos-0-3-e-2-7.png | 1:1 a) Verifique se esses dois pontos satisfazem a equação $y = 2x + 3$. b) Encontre mais um par ordenado que pertença a essa reta e comprove que ele também é solução da equação. *Dica: Escolha qualquer valor inteiro para $x$, calcule o $y$ correspondente e verifique substituindo na equação.* [Section 6] ## Exercícios [I1] Em uma fábrica de camisetas, o custo total $C$ (em reais) para produzir $n$ camisetas é dado pela equação $C = 5n + 20$. A gerente Ana calculou pares ordenados $(n, C)$ para diferentes quantidades e os plotou num plano cartesiano, obtendo pontos alinhados. Quais dos pares ordenados abaixo são todos soluções da equação $C = 5n + 20$ e, portanto, pertencem à reta que representa essa relação? (A) $(0, 20)$ e $(4, 40)$, mas não $(2, 30)$ (B) $(0, 5)$, $(1, 20)$ e $(2, 25)$ (C) $(0, 20)$, $(2, 30)$ e $(4, 40)$ (D) $(1, 25)$, $(2, 30)$ e $(3, 40)$ (E) $(2, 20)$, $(3, 25)$ e $(4, 30)$ --- [I2] *Um pesquisador analisa a relação entre a temperatura $T$ (em graus Celsius) e a altitude $h$ (em centenas de metros) em uma região serrana, expressa pela equação linear $T = 25 - 2h$. Para comunicar seus resultados, ele decide representar graficamente todas as soluções dessa equação no plano cartesiano, com $h$ no eixo horizontal e $T$ no eixo vertical.* Com base na equação $T = 25 - 2h$ e em sua representação no plano cartesiano, é correto afirmar que: (A) O gráfico é uma curva que passa pela origem do plano cartesiano. (B) O conjunto das soluções da equação corresponde a infinitos pontos isolados no plano. (C) O gráfico é uma reta que passa pelo ponto $(0, 25)$. (D) A cada aumento de 1 unidade em $h$, o valor de $T$ aumenta 2 unidades. (E) Apenas os pares ordenados com valores inteiros de $h$ e $T$ pertencem ao gráfico. --- [I3] *Uma quadra de esportes cobra uma taxa de inscrição de R$ 30,00 mais R$ 10,00 por hora de uso. Essa situação pode ser representada pela equação linear $V = 10h + 30$, em que $V$ é o valor total pago (em reais) e $h$ é o número de horas utilizadas.* a) Calcule os pares ordenados $(h, V)$ para $h = 0$, $h = 1$, $h = 2$ e $h = 3$. b) Represente esses pontos no plano cartesiano abaixo e trace a reta que passa por todos eles. c) O ponto $(5, 80)$ pertence a essa reta? Justifique verificando se ele é solução da equação. [LINES: 8] **Imagens:** - PLOT: Plano cartesiano em branco com eixos h (horizontal, de 0 a 6) e V (vertical, de 0 a 90), grid em evidência — para uso como espaço de resposta do aluno | plano-branco-i3.png | 1:1 --- [I4] *Dois colegas, Bruno e Carla, estão discutindo sobre a equação $3x - y = 6$. Bruno afirma: "Essa equação tem apenas duas soluções: $(2, 0)$ e $(0, -6)$." Carla discorda e diz: "Na verdade, essa equação tem infinitas soluções, e todas elas formam uma reta no plano cartesiano."* Explique quem está certo, apresentando pelo menos três pares ordenados distintos que sejam soluções de $3x - y = 6$ e descrevendo o que acontece quando esses pontos são representados no plano cartesiano. Faça um esboço da reta para ilustrar sua resposta. [LINES: 8] [INTERACTIVE: D | responda na plataforma | Escaneie para responder os exercícios I3 e I4 na plataforma Teachy e receber correção com feedback automático]