Tipos de Soluções de Sistemas

# Tipos de Soluções de Sistemas [Section 4] Nos capítulos anteriores, você aprendeu a identificar sistemas de equações de 1º grau, a resolvê-los pelos métodos da substituição e da adição e a representá-los no plano cartesiano. Agora chegou o momento de entender o que acontece quando esses métodos produzem resultados inesperados — e o que cada resultado revela sobre o próprio sistema. ## Quantas soluções um sistema pode ter? Quando você resolve um sistema e encontra valores específicos para x e y, obtém exatamente uma solução: um único par ordenado que satisfaz ambas as equações ao mesmo tempo. Esse é o resultado mais comum, mas não é o único possível. Dependendo de como as equações se relacionam entre si, um sistema pode ter uma solução, nenhuma solução ou infinitas soluções. Essa característica define a **classificação do sistema**. Para entender por que isso acontece, é útil pensar graficamente. Cada equação de 1º grau com duas incógnitas representa uma reta no plano cartesiano. Um sistema com duas equações corresponde a duas retas, e a solução do sistema é o ponto em que elas se encontram. O número de soluções do sistema depende, portanto, da posição relativa dessas duas retas. **Para plotar:** | Descrição | Especificação | |---|---| | Três planos cartesianos lado a lado, cada um com um par de retas. Plano 1 (SPD): reta azul y = 2x − 1 e reta vermelha y = −x + 5, cruzando-se no ponto (2, 3), destacado com um ponto preenchido e o rótulo "(2, 3)". Plano 2 (SI): reta azul y = x + 2 e reta vermelha y = x − 1, paralelas, sem ponto de encontro. Plano 3 (SPI): uma única reta visível y = x + 2 desenhada com traço duplo (azul e vermelha sobrepostas) indicando coincidência. Cada plano tem eixos de −4 a 4, grade discreta, título acima: "Uma solução", "Nenhuma solução", "Infinitas soluções". Legendas indicando nome de cada reta em cada painel. | Formato 3:1 horizontal, fundo branco, fonte em português | ## Sistema Possível Determinado (SPD) Quando as duas retas de um sistema se cruzam em exatamente um ponto, o sistema tem **uma única solução**: o par ordenado que satisfaz as duas equações simultaneamente. Um sistema assim é chamado de **Sistema Possível Determinado**, abreviado como **SPD** — "possível" porque tem solução, "determinado" porque essa solução é única. **Exemplo resolvido:** $$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$$ Pelo método da adição, somando as duas equações: $$2x = 6 \Rightarrow x = 3$$ Substituindo em $x + y = 5$: $$3 + y = 5 \Rightarrow y = 2$$ **Solução:** $(3,\ 2)$ — as retas se cruzam nesse único ponto. ## Sistema Impossível (SI) Nem sempre um sistema tem solução. Considere o seguinte: $$\begin{cases} x + y = 3 \\ x + y = 5 \end{cases}$$ Se subtrairmos uma equação da outra pelo método da adição, multiplicando a segunda por $-1$ e somando, obtemos: $$0 = -2$$ Esse resultado é uma **contradição**: não existe nenhum par ordenado que torne zero igual a menos dois. Geometricamente, as duas equações representam retas com a mesma inclinação, mas interceptos diferentes — ou seja, **retas paralelas** que nunca se encontram. Um sistema nessa situação é chamado de **Sistema Impossível**, abreviado como **SI**. Ele não tem solução porque as condições impostas pelas duas equações são incompatíveis: nenhum valor de x e y pode satisfazê-las ao mesmo tempo. [chapter-callout-label: Comparando...] **Como identificar algebricamente:** no SI, os coeficientes de x e y nas duas equações são proporcionais, mas os termos independentes não são proporcionais. Por exemplo: em $x + y = 3$ e $x + y = 5$, os coeficientes de x (ambos 1) e os de y (ambos 1) têm a mesma razão — mas os termos independentes (3 e 5) têm razão diferente. Isso garante o paralelismo das retas. ## Sistema Possível Indeterminado (SPI) Há ainda uma terceira situação, que aparece quando as duas equações de um sistema descrevem, na verdade, a **mesma reta**. Isso ocorre quando uma equação é múltipla da outra — por exemplo, $x + y = 3$ e $2x + 2y = 6$, em que a segunda é simplesmente o dobro da primeira. Ao tentar resolver esse sistema pelo método da adição, o resultado é $0 = 0$: uma identidade sempre verdadeira, mas que não determina valores específicos para x e y. Esse tipo de sistema é chamado de **Sistema Possível Indeterminado**, abreviado como **SPI**. Como as duas equações representam a mesma reta, todo ponto dessa reta é uma solução — o que significa que existem **infinitas soluções**. Qualquer par $(x, y)$ que satisfaça $x + y = 3$ também satisfaz $2x + 2y = 6$. [chapter-callout-label: Zoom] Você consegue escrever três pares ordenados distintos que sejam soluções do sistema $\begin{cases} 2x + 2y = 6 \\ x + y = 3 \end{cases}$? Escolha valores para x e calcule y a partir de $x + y = 3$. O que você percebe? ## Os três tipos de sistema | Tipo | Resultado algébrico | Posição das retas | Número de soluções | |---|---|---|---| | **SPD** (Possível Determinado) | Valores únicos para x e y | Concorrentes (cruzam-se em 1 ponto) | Exatamente 1 | | **SI** (Impossível) | Contradição ($0 = k$, $k \neq 0$) | Paralelas (nunca se cruzam) | Nenhuma (0) | | **SPI** (Possível Indeterminado) | Identidade ($0 = 0$) | Coincidentes (sobrepostas) | Infinitas | [INTERACTIVE: A1 | mapa mental | Acesse o mapa mental interativo sobre os três tipos de soluções de sistemas de equações na plataforma Teachy] [Section 5] ## Na prática Com os três tipos de sistemas definidos, é hora de aplicar esses critérios. Nos exercícios a seguir, você vai classificar sistemas, interpretar resultados algébricos e trabalhar com as representações gráficas. [P1] (DOK 1) Classifique cada sistema abaixo quanto ao número de soluções, escrevendo **determinado**, **indeterminado** ou **impossível**: $$\text{(A)} \begin{cases} 2x + y = 6 \\ 4x + 2y = 12 \end{cases}$$ $$\text{(B)} \begin{cases} x - y = 3 \\ x - y = 7 \end{cases}$$ $$\text{(C)} \begin{cases} 3x + y = 9 \\ x - 2y = 1 \end{cases}$$ Para cada caso, indique o critério que você usou para chegar à sua resposta. > **Atenção:** Ao resolver um sistema e chegar a $0 = 0$, não significa que você errou — significa que as equações descrevem a mesma reta (SPI, infinitas soluções). Já um resultado como $0 = 5$ ou $0 = -2$ indica impossibilidade (SI, nenhuma solução). Confundir esses dois casos é um erro muito comum: lembre-se de que a diferença está em $0 = 0$ (verdade sempre) versus $0 = k$ com $k \neq 0$ (contradição). --- [P2] (DOK 2) Ao tentar resolver o sistema $\begin{cases} 6x - 3y = 12 \\ 2x - y = 4 \end{cases}$ pelo método da adição, uma estudante multiplicou a segunda equação por $-3$ e somou. O resultado foi $0 = 0$. a) O que esse resultado indica sobre o número de soluções do sistema? b) Escreva dois pares ordenados distintos que sejam soluções desse sistema. _Dica: Um resultado $0 = 0$ significa que as duas equações representam a mesma reta. Reescreva ambas na forma $y = mx + b$ e compare._ --- [P3] (DOK 2) O gráfico abaixo representa três sistemas diferentes no plano cartesiano. **Para plotar:** | Descrição | Especificação | |---|---| | Plano cartesiano com três pares de retas rotulados como Sistema I, Sistema II e Sistema III. Sistema I: duas retas se intersectam num único ponto visível (ex: ponto (1, 2)). Sistema II: duas retas paralelas com mesma inclinação positiva e interceptos distintos. Sistema III: duas retas coincidentes (sobrepostas, desenhadas com traço duplo). Eixos x e y numerados de −4 a 4. Cada par de retas em cores distintas; legenda lateral identificando os três sistemas. | Formato 16:9, fundo branco, rótulos em português | Com base no gráfico: a) Identifique o tipo de solução (determinado, indeterminado ou impossível) de cada sistema. b) Explique, usando o conceito de intersecção de retas, por que o Sistema III possui infinitas soluções. _Dica: Pense no que acontece com os pontos de intersecção quando duas retas são idênticas._ [Section 6] ## Exercícios [I2] (DOK 2) _Em uma competição de robótica escolar, duas equipes programam robôs para percorrer uma pista reta. O robô da equipe Alfa parte do ponto de coordenada $y = 3$ com velocidade constante de 2 unidades por segundo; sua posição é descrita por $y = 2t + 3$. O robô da equipe Beta parte da origem com velocidade de 5 unidades por segundo; sua posição é descrita por $y = 5t$. Os técnicos querem saber em que instante e posição os dois robôs estarão no mesmo ponto da pista._ Resolva o sistema formado pelas duas equações e determine o instante $t$ e a posição $y$ em que os robôs se encontram. [LINES: 5] --- [I3] (DOK 2) _Uma loja de artigos esportivos vende camisetas e bonés. Em um dia, foram vendidos 50 itens ao total, arrecadando R$ 620,00. Sabe-se que cada camiseta custa R$ 15,00 e cada boné custa R$ 10,00._ a) Escreva um sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas que represente essa situação. b) Resolva o sistema pelo método que você considerar mais eficiente e interprete a solução no contexto do problema. [LINES: 6] --- [I1] (DOK 3) _Uma empresa de transporte oferece dois planos de frete para pequenas entregas na mesma cidade. O Plano A cobra uma taxa fixa de R$ 8,00 mais R$ 2,00 por quilômetro rodado. O Plano B não tem taxa fixa e cobra R$ 4,00 por quilômetro. Um gerente percebeu que, para uma certa distância, os dois planos têm o mesmo custo — e que, além dessa distância, o Plano A passa a ser mais barato._ Representando o custo de cada plano por uma equação linear em função da distância $d$ (em km) e formando um sistema, a distância a partir da qual os custos se igualam é: (A) 2 km (B) 4 km (C) 6 km (D) 8 km (E) 10 km **Gabarito:** B --- [I4] (DOK 3) _Dois amigos, Caio e Duda, resolvem o mesmo sistema de equações usando métodos diferentes. Caio usa o método da substituição e obtém o resultado $0 = 5$. Duda usa o método da adição e chega a $0 = 0$. Ambos concluem que cometeram erros e descartam os resultados._ Analise a situação descrita: a) Qual dos dois resultados indica necessariamente um erro de cálculo? Justifique sua resposta com base no que cada resultado revela sobre o sistema. b) Explique o que o resultado obtido pelo outro amigo indica sobre a classificação do sistema, sem precisar resolver novamente. [LINES: 8] [INTERACTIVE: D | responda na plataforma | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática, incluindo feedback para as questões discursivas] [Section 8] Ao longo deste capítulo, você percorreu um caminho completo: aprendeu a identificar sistemas de equações, a resolvê-los algebricamente por dois métodos e a representá-los no plano cartesiano. Nesta etapa final, você descobriu que o resultado de uma resolução diz muito mais do que simplesmente "a resposta": ele revela a natureza do próprio sistema. Por que dois caminhos matemáticos nem sempre se encontram num único ponto? Porque as equações que os definem podem ser incompatíveis — descrevendo condições que nunca se satisfazem ao mesmo tempo — ou podem ser, na verdade, o mesmo caminho descrito de formas diferentes. Reconhecer essa diferença é o que permite interpretar sistemas, não apenas calculá-los. Antes de avançar, verifique seu aprendizado: se classificou corretamente os três sistemas em [P1], consegue escrever pares ordenados para um SPI e sabe distinguir $0 = 0$ de $0 = k$, você demonstrou domínio dos conceitos centrais deste capítulo. **Auto-avaliação:** | Habilidade | Ainda preciso praticar | Já consigo fazer | Domino completamente | |:---|:---:|:---:|:---:| | Identificar a estrutura de um sistema de equações de 1º grau | ( ) | ( ) | ( ) | | Resolver sistemas pelos métodos da substituição e da adição | ( ) | ( ) | ( ) | | Representar um sistema graficamente no plano cartesiano | ( ) | ( ) | ( ) | | Classificar um sistema como SPD, SI ou SPI | ( ) | ( ) | ( ) | Em uma frase, complete: "Um sistema impossível é diferente de um sistema indeterminado porque..." [INTERACTIVE: A2 | tutor de revisao | Acesse o tutor de revisão interativo na Teachy para consolidar os conceitos de tipos de soluções de sistemas de equações]