Variação de Grandezas: Identificando o Tipo de Proporcionalidade

# Variação de Grandezas: Identificando o Tipo de Proporcionalidade [Sequence 1: (a) Contextualized Situation] Eu me lembro de uma vez que precisei ajudar Rony a calcular quantos ingredientes usar para fazer biscoitos para toda a turma de Hogwarts — a receita original era para 4 pessoas, mas precisávamos servir 40. Você já passou por algo assim, quando precisou ajustar uma quantidade por causa de outra? Essa situação esconde um padrão matemático: ao multiplicar o número de porções por 10, multiplicamos também cada ingrediente por 10. Agora pense em algo diferente: um ônibus faz um trajeto em 4 horas a 80 km/h, mas se acelerar, o tempo diminui — e se frear, aumenta. Isso também é um padrão, mas diferente do das receitas. A pergunta que vai guiar este capítulo é justamente essa: **quando uma grandeza muda, o que acontece com a outra?** Em resumo, nem toda relação entre grandezas é igual, e aprender a distingui-las é o que vamos fazer aqui. [Sequence 2] Antes de mergulhar no conteúdo novo, eu quero saber o que você já carrega na memória — pense nisso como um feitiço de revelação antes da aula começar. [D1] Pense em duas situações do dia a dia em que uma quantidade depende de outra — por exemplo, o preço total de uma compra e a quantidade de itens comprados. Descreva uma dessas situações e explique, com suas próprias palavras, como as duas quantidades se relacionam. [Sequence 4] ## O que é uma grandeza? Eu aprendi em Hogwarts que, antes de lançar qualquer feitiço, é preciso entender exatamente com o que se está trabalhando. No estudo da proporcionalidade não é diferente: o primeiro passo é compreender o que chamamos de **grandeza**. Uma grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou contado — tempo, distância, preço, quantidade de pessoas, volume de água. Sempre que você puder atribuir um número a algo, está diante de uma grandeza. Quando duas grandezas aparecem juntas em uma situação e uma delas varia conforme a outra muda, dizemos que elas se relacionam. O desafio — e o assunto central deste capítulo — é identificar *como* elas se relacionam. Esse comportamento assume três formas: proporcionalidade direta, proporcionalidade inversa ou ausência de proporcionalidade. Em resumo, reconhecer qual das três formas está em jogo é a habilidade que você vai desenvolver ao longo deste capítulo. ## Grandezas Diretamente Proporcionais Vamos investigar isso juntos — como se fosse um feitiço novo que eu preciso que você teste comigo. Imagine que você compra mangas na feira e cada manga custa R$ 3,00: | Quantidade de mangas | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | |----------------------|---|---|---|---|---| | Preço total (R$) | 3 | 6 | 9 | 12 | 18 | Quando a quantidade dobra, o preço também dobra. Quando triplica, o preço triplica. Você consegue ver o padrão? Divida o preço pela quantidade em cada coluna: 3 ÷ 1 = 3, 6 ÷ 2 = 3, 9 ÷ 3 = 3. O quociente é sempre o mesmo, e esse valor constante é chamado de **constante de proporcionalidade**, representada por **k**. Duas grandezas são **diretamente proporcionais** quando o quociente entre seus valores correspondentes é sempre igual a uma mesma constante positiva k — ao aumentar uma, a outra aumenta na mesma proporção. A sentença algébrica que modela essa relação é **y = k · x** (ou, equivalentemente, y/x = k). No exemplo das mangas, chamando de *q* a quantidade e *P* o preço: P = 3q. Em resumo, na proporcionalidade direta, o quociente y/x é sempre constante. **Images:** - [https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/0b190fec2994bcea1d7821740deca311e4385acf21699ddb61786201213b277c.png](https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/0b190fec2994bcea1d7821740deca311e4385acf21699ddb61786201213b277c.png) — Escala dupla de distância em km e milhas mostrando como as duas grandezas crescem juntas de forma proporcional | Attribution: Fonte: Anna Frodesiak - Wikimedia Commons ## Grandezas Inversamente Proporcionais Eu preciso que você observe agora um comportamento completamente diferente — como se as grandezas fossem dois pratos de uma balança mágica. Um grupo de estudantes precisa organizar 24 cadeiras para uma apresentação; quanto mais pessoas ajudam, menos tempo cada uma passa na tarefa: | Número de pessoas | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | |-------------------|---|---|---|---|---| | Tempo (minutos) | 24 | 12 | 8 | 6 | 4 | O que acontece quando o número de pessoas dobra? O tempo cai pela metade. Multiplique cada par: 1 × 24 = 24; 2 × 12 = 24; 3 × 8 = 24. O **produto** é sempre o mesmo, e isso é a marca da proporcionalidade inversa. Duas grandezas são **inversamente proporcionais** quando o produto entre seus valores correspondentes é sempre igual a uma mesma constante positiva k — ao aumentar uma, a outra diminui na mesma proporção. A sentença algébrica que modela essa relação é **y = k / x** (ou, equivalentemente, y · x = k). No exemplo das cadeiras, chamando de *p* o número de pessoas e *t* o tempo: t = 24/p. Em resumo, na proporcionalidade inversa, o produto y · x é sempre constante. **Images:** - PLOT: Diagrama de setas mostrando o comportamento inverso entre duas grandezas: coluna da esquerda com valores crescentes de x (1, 2, 3, 6) e coluna da direita com valores decrescentes de y (24, 12, 8, 4), com setas indicando crescimento em x e decrescimento em y, e anotação "x · y = 24 = k" ao centro | proporcionalidade-inversa-setas.png | 4:3 ## Grandezas Não Proporcionais Será que toda relação entre grandezas tem algum tipo de proporcionalidade? Eu precisei aprender isso da forma mais difícil em Hogwarts: nem sempre existe uma fórmula mágica. Observe a tabela com idades e notas de quatro estudantes: | Estudante | Idade (anos) | Nota (0–10) | |-----------|-------------|-------------| | Yasmin | 13 | 7 | | Pedro | 14 | 9 | | Keila | 14 | 5 | | Samuel | 15 | 8 | Calcule os quocientes nota/idade: 7/13 ≈ 0,54; 9/14 ≈ 0,64; 5/14 ≈ 0,36 — todos diferentes. Os produtos nota × idade também variam: 91; 126; 70; 120. Não há constância no quociente nem no produto, o que indica que as grandezas não guardam relação proporcional entre si. Duas grandezas são **não proporcionais** quando não existe nenhuma constante k que relacione seus valores por meio de y = kx ou y = k/x — a variação de uma não segue padrão fixo em relação à outra. Em resumo, se nem o quociente y/x nem o produto y · x for constante, as grandezas são não proporcionais. **Images:** - [https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/f5fbf293e29ca6aa13be8f405f58df3469eca12e04e51cfa731adcc5a47f26eb.jpg](https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/f5fbf293e29ca6aa13be8f405f58df3469eca12e04e51cfa731adcc5a47f26eb.jpg) — Mapa-múndi comparando as proporções reais dos continentes com a projeção convencional, ilustrando como certas representações não mantêm relação proporcional com as áreas reais | Attribution: Fonte: Alexander Reiswich - Wikimedia Commons [chapter-section: Comparando...] Para identificar o tipo de relação entre duas grandezas, eu uso três testes simples — como três feitiços de verificação que nunca me deixaram na mão: | Teste | Como aplicar | Resultado constante? | Conclusão | |-----------------|--------------------------------------|----------------------|--------------------------| | Quociente y/x | Divida cada valor de y pelo de x | Sim → k = y/x | Diretamente proporcional | | Produto y · x | Multiplique cada par (y, x) | Sim → k = y · x | Inversamente proporcional| | Nenhum dos dois | Quociente e produto variam | Não | Não proporcional | Em resumo, calcule o quociente primeiro; se não der constante, calcule o produto; se também não der constante, as grandezas não são proporcionais. ## Exemplos resolvidos **Exemplo 1:** Uma ciclista percorre distâncias variadas sempre na mesma velocidade: | Tempo (h) | 1 | 2 | 3 | 4 | |-----------------|----|----|----|----| | Distância (km) | 15 | 30 | 45 | 60 | Passo 1 — Quocientes: 15/1 = 15; 30/2 = 15; 45/3 = 15; 60/4 = 15. Constante! Passo 2 — Tipo: **diretamente proporcionais**, k = 15. Passo 3 — Sentença: **d = 15t**. **Exemplo 2:** Pintores trabalham juntos para pintar uma casa: | Pintores | 2 | 3 | 4 | 6 | |------------|----|----|----|----| | Tempo (h) | 18 | 12 | 9 | 6 | Passo 1 — Produtos: 2×18 = 36; 3×12 = 36; 4×9 = 36; 6×6 = 36. Constante! Passo 2 — Tipo: **inversamente proporcionais**, k = 36. Passo 3 — Sentença: **t = 36/p**. Em resumo, os três passos — testar quociente, testar produto, identificar o tipo e escrever a sentença — são o roteiro para qualquer situação que você encontrar. [INTERACTIVE: a1-mm | Explore o mapa mental interativo sobre os tipos de proporcionalidade na plataforma Teachy] ## Na prática Vamos praticar agora — pense nisso como treinar um feitiço antes de usá-lo em campo! Eu vou começar com questões mais diretas e aumentar o desafio gradualmente. [P1] (DOK 1) A tabela a seguir mostra o número de garrafas de água compradas e o preço total pago. | Garrafas | 1 | 2 | 3 | 4 | |----------|---|---|---|---| | Preço (R$) | 3 | 6 | 9 | 12 | Qual é a relação entre o número de garrafas e o preço total? Assinale a alternativa correta. (A) As grandezas são inversamente proporcionais, pois quando uma aumenta a outra diminui. (B) As grandezas são diretamente proporcionais, pois quando uma dobra a outra também dobra. (C) As grandezas não são proporcionais, pois os valores não seguem nenhum padrão. (D) As grandezas são diretamente proporcionais apenas quando o preço é maior que R$ 6. **Gabarito:** B [P2] (DOK 2) Uma torneira enche um reservatório em diferentes tempos dependendo de quantas torneiras idênticas estão abertas simultaneamente. | Torneiras abertas | 1 | 2 | 3 | 6 | |-------------------|---|---|---|---| | Tempo para encher (horas) | 12 | 6 | 4 | 2 | a) Identifique o tipo de proporcionalidade entre o número de torneiras e o tempo para encher o reservatório. b) Explique como você reconheceu esse tipo de proporcionalidade a partir dos dados da tabela. _Dica: Observe o que acontece com o tempo quando o número de torneiras dobra. Compare também o produto entre os valores correspondentes de cada par._ [P3] (DOK 2) A tabela a seguir mostra a idade de três estudantes e a quantidade de livros que cada um leu no último ano. | Estudante | Idade (anos) | Livros lidos | |-----------|-------------|--------------| | Ana | 12 | 8 | | Bruno | 14 | 5 | | Carla | 16 | 11 | Identifique o tipo de relação entre a idade e a quantidade de livros lidos e justifique sua resposta com base nos dados. _Dica: Verifique se existe uma razão constante entre os valores ou se o produto entre eles permanece constante. Se nenhuma das duas condições for satisfeita, o que isso indica sobre a relação?_ [P4] (DOK 2) Com base na tabela do exercício [P1], escreva a sentença algébrica que representa a relação entre o número de garrafas (*g*) e o preço total (*P*). Qual é o valor da constante de proporcionalidade k? O que esse valor representa nessa situação? [chapter-section: Zoom] Você identificaria o tipo de proporcionalidade olhando só para o comportamento das grandezas, sem calcular nada? Tente: se uma grandeza aumenta de 2 para 4 e a outra aumenta de 5 para 10, o que isso sugere? ## Exercícios Agora é sua vez de aplicar o que aprendeu em situações novas — como um aprendiz de feiticeiro testando o encantamento pela primeira vez sem ajuda! Eu confio que você já tem todas as ferramentas necessárias. [I1] (DOK 3) _Um agricultor precisa irrigar sua plantação. Ele observou que, utilizando 4 mangueiras simultaneamente, o campo é completamente irrigado em 6 horas. Com 8 mangueiras, o tempo cai para 3 horas. Com 12 mangueiras, o campo fica pronto em 2 horas._ Com base nessa situação, qual sentença algébrica representa corretamente a relação entre o número de mangueiras (m) e o tempo de irrigação (t), em horas? (A) t = 6m, pois o tempo aumenta proporcionalmente ao número de mangueiras. (B) t = 24/m, pois o produto entre o número de mangueiras e o tempo é sempre igual a 24. (C) t = m/6, pois o tempo é sempre uma fração do número de mangueiras. (D) t = m + 2, pois a cada mangueira adicionada o tempo diminui em 2 horas. (E) t = 24m, pois as grandezas variam de forma diretamente proporcional. **Gabarito:** B [I2] (DOK 2) _Uma loja de camisetas vende produtos a R$ 45,00 cada. A tabela abaixo registra o total gasto por clientes que compraram quantidades diferentes de camisetas:_ | Camisetas | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 | |-----------|---|---|---|---|----| | Total (R$) | 45 | 90 | 135 | 225 | 450 | Com base nos dados, identifique o tipo de proporcionalidade entre a quantidade de camisetas e o total gasto, e escreva a sentença algébrica que representa essa relação, usando as variáveis _q_ (quantidade) e _T_ (total). [LINES: 4] [I3] (DOK 3) _Três situações são descritas a seguir:_ _Situação 1:_ Uma ciclista pedalou por diferentes durações de tempo. A tabela mostra a distância percorrida a velocidade constante: | Tempo (h) | 1 | 2 | 3 | 4 | |-----------|---|---|---|---| | Distância (km) | 18 | 36 | 54 | 72 | _Situação 2:_ Um grupo de voluntários precisa distribuir 120 cestas básicas igualmente entre si. Quanto mais voluntários, menos cestas cada um carrega. | Voluntários | 4 | 6 | 8 | 12 | |-------------|---|---|---|----| | Cestas/pessoa | 30 | 20 | 15 | 10 | _Situação 3:_ O número de seguidores de um perfil nas redes sociais e a quantidade de postagens feitas em um mês: | Postagens | 3 | 7 | 10 | 15 | |-----------|----|---|----|----| | Seguidores (mil) | 12 | 8 | 20 | 5 | a) Classifique cada situação como grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais, justificando com base nos dados. b) Para as situações em que há proporcionalidade, escreva a sentença algébrica que representa a relação entre as grandezas. [LINES: 8] [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática]