Para calcular a razão entre as densidades do sólido antes (cúbica de corpo centrado - BCC) e depois (cúbica de face centrada - FCC) da compressão, vamos utilizar a fórmula geral da densidade para sólidos cristalinos e as características de cada estrutura. A densidade ($\rho$) de um sólido cristalino é dada por: $\rho = \frac{Z \cdot M}{V_{célula} \cdot N_A}$ Onde: * $Z$ = número de átomos por célula unitária * $M$ = massa molar do elemento (constante, pois é o mesmo elemento) * $V_{célula}$ = volume da célula unitária * $N_A$ = número de Avogadro (constante) Considerando os átomos como esferas rígidas de raio $r$. **1. Estrutura Cúbica de Corpo Centrado (BCC - antes da compressão):** * **Número de átomos por célula unitária ($Z_{BCC}$):** * 1 átomo no centro da célula. * 8 átomos nos vértices, cada um contribuindo com 1/8 para a célula. * $Z_{BCC} = 1 + 8 \cdot \frac{1}{8} = 2$ átomos/célula. * **Relação entre o parâmetro de rede ($a_{BCC}$) e o raio atômico ($r$):** * Em uma estrutura BCC, os átomos se tocam ao longo da diagonal do corpo da célula. * A diagonal do corpo é igual a $4r$. * A diagonal do corpo também é $\sqrt{3} \cdot a_{BCC}$. * Portanto, $\sqrt{3} \cdot a_{BCC} = 4r \implies a_{BCC} = \frac{4r}{\sqrt{3}}$. * **Volume da célula unitária ($V_{BCC}$):** * $V_{BCC} = (a_{BCC})^3 = \left(\frac{4r}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{64r^3}{3\sqrt{3}}$. * **Densidade ($ρ_{BCC}$):** * $\rho_{BCC} = \frac{2 \cdot M}{\left(\frac{64r^3}{3\sqrt{3}}\right) \cdot N_A} = \frac{6\sqrt{3} \cdot M}{64r^3 \cdot N_A}$. **2. Estrutura Cúbica de Face Centrada (FCC - depois da compressão):** * **Número de átomos por célula unitária ($Z_{FCC}$):** * 6 átomos nas faces, cada um contribuindo com 1/2 para a célula. * 8 átomos nos vértices, cada um contribuindo com 1/8 para a célula. * $Z_{FCC} = 6 \cdot \frac{1}{2} + 8 \cdot \frac{1}{8} = 3 + 1 = 4$ átomos/célula. * **Relação entre o parâmetro de rede ($a_{FCC}$) e o raio atômico ($r$):** * Em uma estrutura FCC, os átomos se tocam ao longo da diagonal da face da célula. * A diagonal da face é igual a $4r$. * A diagonal da face também é $\sqrt{2} \cdot a_{FCC}$. * Portanto, $\sqrt{2} \cdot a_{FCC} = 4r \implies a_{FCC} = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}r$. * **Volume da célula unitária ($V_{FCC}$):** * $V_{FCC} = (a_{FCC})^3 = (2\sqrt{2}r)^3 = 8 \cdot (\sqrt{2})^3 \cdot r^3 = 8 \cdot 2\sqrt{2} \cdot r^3 = 16\sqrt{2}r^3$. * **Densidade ($ρ_{FCC}$):** * $\rho_{FCC} = \frac{4 \cdot M}{(16\sqrt{2}r^3) \cdot N_A} = \frac{M}{4\sqrt{2}r^3 \cdot N_A}$. **3. Razão entre as densidades ($\rho_{BCC} / \rho_{FCC}$):** Agora, calculamos a razão entre a densidade BCC e a densidade FCC: $\frac{\rho_{BCC}}{\rho_{FCC}} = \frac{\frac{6\sqrt{3} \cdot M}{64r^3 \cdot N_A}}{\frac{M}{4\sqrt{2}r^3 \cdot N_A}}$ Podemos cancelar os termos comuns ($M$, $r^3$, $N_A$): $\frac{\rho_{BCC}}{\rho_{FCC}} = \frac{6\sqrt{3}}{64} \cdot \frac{4\sqrt{2}}{1}$ $\frac{\rho_{BCC}}{\rho_{FCC}} = \frac{24\sqrt{6}}{64}$ Simplificando a fração: $\frac{\rho_{BCC}}{\rho_{FCC}} = \frac{3\sqrt{6}}{8}$ **Cálculo numérico (aproximado):** $\sqrt{6} \approx 2.449$ $\frac{\rho_{BCC}}{\rho_{FCC}} \approx \frac{3 \cdot 2.449}{8} \approx \frac{7.347}{8} \approx 0.918$ A densidade do sólido antes da compressão (BCC) é aproximadamente 0.918 vezes a densidade do sólido depois da compressão (FCC). Isso é consistente com o fato de que a estrutura FCC possui um empacotamento mais eficiente (74%) em comparação com a BCC (68%), tornando-a mais densa para o mesmo elemento. A razão exata entre as densidades é $\frac{3\sqrt{6}}{8}$.