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Questão sobre Trigonometria: Arco-Duplo/Triplo

Matemática

Originais Teachy

Trigonometria: Arco-Duplo/Triplo

Difícil

(Originais Teachy 2023) - Questão Difícil de Matemática

Um engenheiro civil está projetando um arco para uma nova ponte, e precisa calcular com precisão os ângulos de inclinação dos suportes do arco. Para isso, ele utiliza conceitos de trigonometria, especificamente a fórmula do cosseno do arco duplo e a identidade trigonométrica do seno do arco triplo. Dado que o seno de 15 graus é igual a 0,25882 e o cosseno de 15 graus é igual a 0,96593, calcule: 1) O valor exato do cosseno do arco duplo de 15 graus. 2) O valor exato do seno do arco triplo de 15 graus. Após os cálculos, justifique o porquê de não ser possível utilizar a fórmula do seno do arco duplo para encontrar o valor exato do seno de 30 graus, sabendo que o seno de 30 graus é 0,5 e o cosseno de 30 graus é 0,86603.

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No contexto da pintura de um vitral para uma igreja, um artista deseja criar um desenho que contenha um polígono regular de 10 lados. Este polígono será composto por triângulos isósceles idênticos, cada um deles tendo, como base, um lado do polígono e como lados congruentes os segmentos que ligam um vértice ao centro do polígono. Considerando que o artista pretende seguir um padrão de simetria radial, qual é o número de diagonais que passam pelo centro do polígono e qual é a medida de cada ângulo interno desse polígono? Além disso, se um observador estiver no centro da igreja e olhar para o vitral, qual a medida do ângulo sob o qual ele verá cada uma das bordas do polígono regular? Considere que o polígono e os triângulos formados são regulares e que a medida dos ângulos internos de um triângulo isósceles é dada por A = (n-2) * 180° / (2n), onde A é o ângulo procurado e n é o número de lados do polígono.

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