(Originais Teachy 2024) - Questão Difícil de Matemática

Enunciado: Considere um sistema de equações lineares que modela um circuito elétrico complexo. Este sistema pode ser representado matricialmente por Ax = b, onde A é a matriz dos coeficientes, x é o vetor das incógnitas (correntes em cada ramo do circuito) e b é o vetor de resultados (fontes de corrente e diferenças de potencial). Para analisar o circuito, é crucial calcular o determinante da matriz A. Suponha que, ao tentar encontrar o determinante de A através da expansão por cofatores, você obtém um resultado que é impraticável devido ao tamanho e complexidade do circuito. No entanto, você percebe que uma das resistências no circuito é alterada, o que acarreta na substituição de uma linha inteira da matriz A por uma combinação linear de outras duas linhas. Com base nessa observação e considerando as propriedades dos determinantes, responda: (1) Como você poderia utilizar as propriedades dos determinantes para determinar o novo valor do determinante da matriz A sem a necessidade de repetir todo o processo de expansão por cofatores? (2) Explique como a troca de uma resistência no circuito, refletida na mudança de uma linha da matriz A, pode afetar geometricamente as soluções do sistema de equações lineares e relate isso ao valor do determinante.