Banco de questões: Fatoração: Agrupamento e Evidência

Uma empresa de tecnologia fabrica tablets e smartphones. A empresa desenvolveu um novo modelo de dispositivo que tem um custo de produção total de 5x^2 + 3xy + 2y^2 reais. O departamento de marketing da empresa está analisando o custo de produção para determinar quantos dispositivos precisam ser vendidos para cobrir um investimento de 500x^2 + 300xy + 200y^2 reais em uma nova linha de produção. Para calcular o ponto de equilíbrio, que é o ponto em que o custo de produção total se iguala ao investimento, o departamento de marketing precisa fatorar as expressões que representam o custo de produção e o investimento. Utilizando o método do agrupamento e colocando termos em evidência, fatorize as expressões 5x^2 + 3xy + 2y^2 e 500x^2 + 300xy + 200y^2. Em seguida, determine quantos dispositivos a empresa precisa vender para atingir o ponto de equilíbrio, considerando que o custo de produção de cada tablet ou smartphone é o mesmo e que a empresa não tem outras despesas a serem consideradas.

Durante a preparação de um relatório financeiro, um analista precisa simplificar a expressão 4x³ + 8x² + 6x + 12 para identificar padrões de custos. Utilizando técnicas de fatoração por agrupamento ou evidência, qual é a forma fatorada correta da expressão fornecida?