Banco de questões: Fatoração: Agrupamento e Evidência

Em uma fábrica, o gerente está organizando a produção mensal e precisa expressar o total de unidades produzidas pela fórmula 3x³ + 6x² + 9x + 18, onde x representa o número de turnos de trabalho. Para otimizar a análise dos custos, ele decide fatorar essa expressão utilizando o método do agrupamento. Qual é a forma fatorada correta dessa expressão?

Para decorar a festa junina da escola, os alunos estão enfeitando bandeirinhas com diferentes padrões de pintura. A quantidade de bandeirinhas com cada padrão segue uma sequência, na qual a quantidade de bandeirinhas com o padrão xn + 10n + 2x será igual às que terão o padrão xn + 6n. Determine o valor de x que faz com que esses dois padrões de bandeirinha tenham a mesma quantidade usando a técnica de fatoração por agrupamento e evidência.

Uma empresa de tecnologia fabrica tablets e smartphones. A empresa desenvolveu um novo modelo de dispositivo que tem um custo de produção total de 5x^2 + 3xy + 2y^2 reais. O departamento de marketing da empresa está analisando o custo de produção para determinar quantos dispositivos precisam ser vendidos para cobrir um investimento de 500x^2 + 300xy + 200y^2 reais em uma nova linha de produção. Para calcular o ponto de equilíbrio, que é o ponto em que o custo de produção total se iguala ao investimento, o departamento de marketing precisa fatorar as expressões que representam o custo de produção e o investimento. Utilizando o método do agrupamento e colocando termos em evidência, fatorize as expressões 5x^2 + 3xy + 2y^2 e 500x^2 + 300xy + 200y^2. Em seguida, determine quantos dispositivos a empresa precisa vender para atingir o ponto de equilíbrio, considerando que o custo de produção de cada tablet ou smartphone é o mesmo e que a empresa não tem outras despesas a serem consideradas.

Um fazendeiro deseja cercar um terreno retangular de forma que a largura do terreno seja o dobro do comprimento. Se o comprimento do terreno é representado por x metros, crie e resolva uma equação que represente a área do terreno em função de x e, em seguida, fatorize essa equação usando o método do agrupamento ou evidenciando um termo comum. Explique o processo passo a passo.

Em uma fábrica, a produção mensal de dois produtos é representada pela expressão 4x² + 8x + 6x² + 12x. Para otimizar o cálculo dos custos de produção, o gestor decidiu fatorar essa expressão utilizando o método de agrupamento. Qual é a forma fatorada correta da expressão?