Banco de questões: Geometria Espacial: Área da Superfície do Cone

Uma empresa de tecnologia está planejando construir um novo datacenter com um design inovador que otimize tanto o espaço quanto a eficiência das operações de resfriamento, e decidiu que o datacenter terá o formato de um cone de revolução. O cone terá uma altura de 40 metros e o ângulo de abertura (em relação ao eixo vertical) será de 75 graus. Considerando que a base do cone será feita de um material que não permite a passagem de calor e que a eficiência do sistema de resfriamento depende da área da superfície do cone, qual será a área mínima da superfície lateral do cone que o projeto deverá especificar para garantir o resfriamento eficiente do datacenter? Considere π = 3,14 e arredonde o resultado para a centena mais próxima.

Um grande reservatório cilíndrico, com um diâmetro de 40 metros e uma altura de 20 metros, armazena água para uma pequena comunidade. Este reservatório está conectado a uma torneira que despeja água num pequeno cone. O cone tem um raio de 2 metros e uma altura de 4 metros. A água que sai da torneira forma uma 'saia' que segue o formato do cone. Se a torneira despeja água a uma taxa constante de 10 metros cúbicos por hora e o cone está posicionado no ponto mais alto do reservatório, determine quanto tempo levaria para que o nível da água no reservatório caia de 80% para 50% de sua capacidade total, considerando que não haja vazamentos ou outros influentes.

Um reservatório de formato cônico invertido, também conhecido como funil, é um dispositivo comum para derramar líquidos. Suponha que o funil possui um ângulo de abertura de 30 graus e que a sua altura é o dobro do raio da base. Se a capacidade do funil é de 500 cm³, determine a área total de sua superfície. Considere que a área da superfície lateral de um cone é dada por πrl, onde r é o raio da base e l é a geratriz, e que a área da base de um cone é πr².

Um cilindro de madeira maciça, utilizado para fabricação de instrumentos musicais, possui raio da base igual a 20 cm. De acordo com a necessidade do instrumento, a superfície lateral será cortada de maneira a formar um cone, mantendo a base do cone paralela à base do cilindro e com a mesma área. Após o corte, a parte superior do cilindro, que não foi utilizada, é descartada. Considerando que a área da superfície lateral do cone é dada por pi * r * L, onde r é o raio da base do cone e L é a geratriz do cone, e que a área da superfície lateral do cilindro é dada por 2 * pi * r * h, onde h é a altura do cilindro, calcule a diferença entre a área total da superfície lateral do cilindro antes do corte e a área total da superfície lateral do cone após o corte, sabendo que a altura do cilindro é 50 cm e que o cone é de revolução, ou seja, sua geratriz é a mesma que a altura do cilindro.

Uma fábrica de sorvetes está desenvolvendo novos recipientes em forma de cone para embalar seus produtos. Para determinar a quantidade de material necessário na fabricação, é preciso calcular a área total da superfície de cada cone. Sabendo que o raio da base do cone é de 4 cm e a geratriz mede 5 cm, qual é a área da superfície desse cone?