a) Aplicando a propriedade do quociente na expressão log2(8x) - log2(x) = 2, obtemos log2(8x/x) = 2, que simplifica para log2(8) = 2. 

Em uma competição de Matemática, uma das questões envolvia o cálculo de logaritmos e a aplicação de suas propriedades. A equipe de João está resolvendo a seguinte expressão: log2(8x) - log2(x) = 2.

 a) Utilize a propriedade do quociente para simplificar a expressão logarítmica. 

Em uma competição de Matemática, uma das questões envolvia o cálculo de logaritmos e a aplicação de suas propriedades. A equipe de João está resolvendo a seguinte expressão: log2(8x) - log2(x) = 2.

 a) Utilize a propriedade do quociente para simplificar a expressão logarítmica. 

Como simplificar e resolver uma equação logarítmica utilizando a propriedade do quociente?

Um biólogo está estudando o crescimento populacional de uma espécie de bactéria que se comporta de acordo com um modelo exponencial. Após uma série de experimentos, ele observou que a quantidade de bactérias presentes em uma cultura após t dias pode ser aproximada pela função P(t) = P0 * 2^(t/k), onde P(t) é a quantidade de bactérias no tempo t, P0 é a quantidade inicial de bactérias, e k é uma constante que determina a taxa de crescimento. O biólogo deseja determinar o tempo necessário para que a quantidade de bactérias cresça de 100 milhões para 1 bilhão em uma cultura inicialmente com 1 milhão de bactérias. Considerando que log2(10) ≈ 3,32 e log2(5) ≈ 2,32, resolva os seguintes itens: 1) Determine o valor de k para a cultura de bactérias em questão. 2) Calcule o tempo necessário, aproximadamente, para que a quantidade de bactérias na cultura cresça de 100 milhões para 1 bilhão, sabendo que a cultura inicialmente contém 1 milhão de bactérias.

Como determinar a constante de crescimento (k) em um modelo exponencial de crescimento bacteriano e calcular o tempo necessário para a população crescer de 100 milhões para 1 bilhão, dado um tamanho inicial de 1 milhão?

Se $$\log 2=0,3$$ e $$\log 3=0,5$$, então o valor de $$\frac{\log 0,0072}{\log 5}$$ é

Para resolver essa questão, vamos utilizar as propriedades dos logaritmos. Primeiro, vamos decompor o número 0,0072 e o número 5 em termos dos logaritmos de 2 e 3, que são dados.

O número 0,0072 pode ser escrito como 7,2 x 10^-3, e 7,2 é o mesmo que 72/10, que pode ser decomposto em fatores primos como 2^3 x 3^2 / 2 x 5. Portanto, 0,0072 pode ser reescrito como:

0,0072 = (2^3 x 3^2) / (2 x 5 x 10^3)
0,0072 = (2^2 x 3^2) / (5 x 10^3)
0,0072 = (2^2 x 3^2) / (5 x (10^1)^3)
0,0072 = (2^2 x 3^2) / (5 x (2 x 5)^3)
0,0072 = (2^2 x 3^2) / (5 x 2^3 x 5^3)
0,0072 = (2^2 x 3^2) / (2^3 x 5^4)
0,0072 = 2^(-1) x 3^2 x 5^(-4)

Agora, aplicamos a propriedade do logaritmo que diz que o logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores e o logaritmo de um quociente é igual à diferença dos logaritmos:

log(0,0072) = log(2^(-1) x 3^2 x 5^(-4))
log(0,0072) = log(2^(-1)) + log(3^2) - log(5^4)
log(0,0072) = -1*log(2) + 2*log(3) - 4*log(5)

Substituindo os valores de log(2) e log(3) dados na questão:

log(0,0072) = -1*0,3 + 2*0,5 - 4*log(5)
log(0,0072) = -0,3 + 1 - 4*log(5)
log(0,0072) = 0,7 - 4*log(5)

Agora, vamos calcular o valor de log(5). Como não temos o log(5) diretamente, vamos expressá-lo em termos de log(2) e log(3). Sabemos que 10 = 2 x 5, então:

log(10) = log(2) + log(5)
1 = 0,3 + log(5)  (pois log(10) = 1 em base 10)
log(5) = 1 - 0,3
log(5) = 0,7

Agora, voltamos à expressão original e substituímos log(5):

log(0,0072) = 0,7 - 4*log(5)
log(0,0072) = 0,7 - 4*0,7
log(0,0072) = 0,7 - 2,8
log(0,0072) = -2,1

Agora, vamos calcular o valor da expressão original:

(log(0,0072))/(log(5)) = (-2,1)/(0,7)
(log(0,0072))/(log(5)) = -3

Portanto, a resposta correta é a alternativa (b) -3.

Qual o valor da expressão $$\frac{\log 0,0072}{\log 5}$$, dado que $$\log 2=0,3$$ e $$\log 3=0,5$$?

Se x é um número real positivo, então a sequência ( ) é 

Se x é um número real positivo, então a sequência ( 

A sequência dada é (log x, log 3x, log 9x). Sabemos que log a^n = n log a. Portanto, podemos reescrever a sequência como (log x, log x + log 3, log x + 2 log 3). Agora, se subtrairmos log x de cada termo, obtemos (0, log 3, 2 log 3), que é uma Progressão Aritmética de razão log 3. No entanto, a questão pede a razão da sequência original, não da sequência modificada. A razão da sequência original é 3, pois cada termo é multiplicado por 3 para obter o próximo termo. Portanto, a sequência original é uma Progressão Geométrica de razão 3.

Qual o tipo de progressão e a razão da sequência (log x, log 3x, log 9x), onde x é um número real positivo?

Assumindo 1,58 e 3,46 como valores aproximados, respectivamente, de $$\log _{2} 3$$ e de $$\log _{2} 11$$, calcule, em dias, o exato instante em que metade da população da cidade ouviu alguma música da banda Móveis Coloniais de Acaju. Multiplique o resultado por 100. Após efetuar todos os cálculos solicitados, despreze, para a marcação no Caderno de Respostas, a parte fracionária do resultado final obtido, caso exista.

Assumindo 1,58 e 3,46 como valores aproximados, respectivamente, de 

, calcule, em dias, o exato instante em que metade da população da cidade ouviu alguma música da banda Móveis Coloniais de Acaju. Multiplique o resultado por 100. Após efetuar todos os cálculos solicitados, despreze, para a marcação no Caderno de Respostas, a parte fracionária do resultado final obtido, caso exista.

Banco de questões: Logaritmo: Propriedades

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