Banco de questões: Determinante: Matriz Inversa e Cofatores

Uma empresa de engenharia civil está projetando um novo edifício e precisa analisar a estabilidade de uma estrutura baseada em um sistema de forças aplicadas sobre os pilares. Para realizar essa análise, os engenheiros representam o sistema de forças como uma matriz quadrada A de ordem 4. Eles sabem que para garantir a estabilidade da estrutura, é necessário que o determinante da matriz A seja diferente de zero. No entanto, após realizar medições mais precisas, eles percebem que uma matriz B, que é uma pequena modificação da matriz A, tem determinante muito próximo de zero. A matriz B é obtida ao adicionar um valor 'x' à posição (3,2) da matriz A, onde 'x' é um número real. Eles precisam determinar o valor de 'x' que torna o determinante de B igual a zero, a fim de ajustar precisamente a distribuição de forças nos pilares. Considerando que o determinante de B é uma função linear de cada um de seus elementos, exceto o novo elemento adicionado, e que os cofatores de B podem ser expressos por meio da matriz dos cofatores de A e do determinante de A, responda: (1) Qual é a expressão para o determinante de B em termos de 'x'? (2) Usando a matriz dos cofatores de A, como os engenheiros podem determinar o valor de 'x' que leva o determinante de B a ser igual a zero, e qual seria o novo determinante de A após a modificação para garantir a estabilidade da estrutura?

Considere uma matriz A de ordem 3x3 definida por A = [[2, 0, 1], [3, 0, 0], [5, 1, 1]]. Calcule o determinante de A e, utilizando os cofatores, determine a matriz inversa de A. Explique o procedimento passo a passo, incluindo a definição e cálculo dos cofatores, e justifique por que a matriz inversa é ou não existente para a matriz dada.