Um agricultor está planejando cercar um terreno retangular de forma que o comprimento da cerca seja igual a um dos lados do terreno e a largura seja a metade do outro lado. Ele observa que a área total do terreno, que é representada por um polinômio quadrático, pode ser fatorada como (x+4)(x-3). Determine o polinômio que representa a área do terreno e explique como a fatoração do polinômio quadrático está relacionada com as medidas dos lados do terreno.

Qual é o polinômio que representa a área do terreno retangular, dadas as condições sobre o comprimento e a largura, e como a fatoração desse polinômio se relaciona com as dimensões do terreno?

Um polinômio P(x) de grau 3 tem as suas raízes -2, 3 e 5. Qual é a expressão fatorada desse polinômio? Lembrando que todos os coeficientes do polinômio são inteiros.

Para encontrar a expressão fatorada do polinômio P(x) de grau 3 com raízes -2, 3 e 5, utilizamos os fatores (x - raiz): (x + 2), (x - 3) e (x - 5). Multiplicamos esses fatores e incluímos um coeficiente k, já que todos os coeficientes são inteiros. Assim, a expressão fatorada é: P(x) = k(x + 2)(x - 3)(x - 5).

Como determinar a expressão fatorada de um polinômio de grau 3 conhecendo suas raízes?

Na fatoração do trinômio a^5-5a^3+4a aparecem os seguintes fatores:

Para fatorar o trinômio a^5 - 5a^3 + 4a, siga os passos abaixo:

1. Observe que todos os termos do trinômio têm 'a' como fator comum. Então, podemos fatorar 'a' do trinômio:

a(a^4 - 5a^2 + 4)

2. Agora, precisamos fatorar o polinômio dentro do parênteses, a^4 - 5a^2 + 4. Note que esse polinômio se assemelha a um trinômio quadrático da forma x^2 - 5x + 4, onde x = a^2.

3. Para fatorar o trinômio quadrático, procure dois números cuja soma seja igual ao coeficiente do termo médio (-5) e cujo produto seja igual ao termo constante (4). Os números -4 e -1 atendem a esses critérios, pois:

(-4) + (-1) = -5
(-4) × (-1) = 4

4. Escreva o trinômio quadrático como o produto de dois binômios com esses números como coeficientes das variáveis:

x^2 - 5x + 4 = (x - 4)(x - 1)

5. Como x = a^2, substitua 'x' de volta nos binômios:

(a^2 - 4)(a^2 - 1)

6. Observe que cada um desses binômios é uma diferença de quadrados, então podemos fatorar ainda mais:

(a^2 - 4) = (a + 2)(a - 2)
(a^2 - 1) = (a + 1)(a - 1)

7. Portanto, a fatoração completa do trinômio é:

a(a^5 - 5a^3 + 4a) = a(a + 2)(a - 2)(a + 1)(a - 1)

A resposta correta é "a + 2 e a - 1", juntamente com os outros fatores encontrados.

Quais são os fatores do polinômio a^5 - 5a^3 + 4a?

Uma empresa de tecnologia desenvolveu um modelo matemático para prever o lucro mensal L(x) em função do número de produtos x vendidos, dado pela expressão L(x) = x^2 - 5x + 6. Para identificar os pontos onde a empresa não tem lucro nem prejuízo, é necessário fatorar o polinômio que representa o lucro. Qual é a fatoração correta de L(x) que permite determinar esses pontos de equilíbrio?

Como encontrar os pontos de equilíbrio de uma função quadrática que representa o lucro de uma empresa através da fatoração do polinômio?

Durante uma competição de Matemática, você se depara com a tarefa de decifrar um polinômio cubico que, segundo os organizadores, possui duas raízes inteiras e uma raiz fracionária. O polinômio é  Seguindo as pistas fornecidas, qual é o fatorado do polinômio P(x)?

Durante uma competição de Matemática, você se depara com a tarefa de decifrar um polinômio cubico que, segundo os organizadores, possui duas raízes inteiras e uma raiz fracionária. O polinômio é 

 Seguindo as pistas fornecidas, qual é o fatorado do polinômio P(x)?

 

Para fatorar o polinômio P(x) = x^3 - 7x^2 + x + 105, precisamos encontrar suas raízes. Sabemos que duas delas são inteiras e uma é fracionária. 

Para encontrar as raízes inteiras, podemos usar o Teorema do Resto. Este teorema nos diz que se dividirmos o polinômio por (x - a), o resto será P(a). Portanto, se P(a) = 0, então a é uma raiz do polinômio. 

Testando alguns valores, encontramos que P(5) = 0 e P(-3) = 0. Portanto, x = 5 e x = -3 são raízes do polinômio. 

Agora, precisamos encontrar a raiz fracionária. Sabemos que o produto das raízes de um polinômio cúbico é igual ao termo independente dividido pelo coeficiente do termo de maior grau. Neste caso, o produto das raízes é 105/1 = 105. Como já temos duas raízes, 5 e -3, a terceira raiz será 105 / (5 * -3) = -7.

Portanto, o polinômio fatorado é P(x) = (x - 5)(x + 3)(x + 7).



Banco de questões: Polinômios: Fatoração

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