Banco de questões: Potenciação: Expoentes Racionais

Durante uma aula de química, a professora explicou a relação entre a concentração de uma substância e o tempo necessário para que ela se dissolva totalmente em uma solução. Ela mencionou que a quantidade de tempo t, em minutos, para dissolver uma substância é dada pela fórmula t = k * n^(1/3), onde k é uma constante e n é a quantidade da substância, em gramas. Um aluno percebeu que isso poderia ser representado matematicamente usando expoentes racionais. a) Considerando k = 2, determine o tempo necessário para dissolver 8 gramas dessa substância. b) Mostre como a fórmula da professora de química pode ser representada em termos de potenciação e radiciação. c) Determine a quantidade de substância que leva 16 minutos para ser totalmente dissolvida, ainda considerando k = 2.

Em uma competição de matemática, os participantes são desafiados a resolver um problema que envolve expoentes racionais. O problema proposto é o seguinte: Um prisma reto de base quadrada tem altura igual à aresta de sua base. Se o volume do prisma pode ser expresso como a quarta potência da medida de sua aresta de base, determine a expressão que representa a área total do prisma em função do volume V. Em seguida, sabendo que a área total é o dobro da área da base mais quatro vezes a área de uma das faces laterais, calcule a medida da aresta da base do prisma. Considere que a área de uma face de um prisma reto de base quadrada é dada por A = a^2, onde a é a medida da aresta da base. Use a relação entre expoentes e radiciação para resolver o problema.

Em uma feira de ciências, João está construindo um modelo de ponte utilizando materiais com formatos geométricos. Ele deseja que cada segmento da ponte tenha um comprimento que seja a raiz cúbica de 27 metros para garantir a estabilidade estrutural. Para facilitar seus cálculos, João decide expressar esse comprimento como uma potência com expoente racional. Qual é a expressão adequada para representar o comprimento de cada segmento da ponte de João?

Uma torre de transmissão de comunicação móvel é composta por um mastro de 30 metros e uma antena que, ao ser estendida, atinge uma altura total igual a 50 metros. A antena pode ser representada matematicamente como uma potência de expoente fracionário, onde a altura da antena é dada por 30 elevado a um expoente p/q, e a altura total da torre pode ser expressa como a soma das alturas do mastro e da antena. Se p e q são números primos entre si e q é ímpar, calcule a altura da antena e, em seguida, determine a altura total da torre de transmissão.