Banco de questões: Produtos Notáveis

Em uma competição de matemática, um estudante precisa calcular a área de um quadrado que é a soma de dois termos quadrados. O primeiro termo quadrado é a área de um quadrado com lado 'x' e o segundo termo quadrado é a área de um quadrado com lado 'y'. O estudante lembra que 'a² + 2ab + b²' é o resultado de um produto notável e suspeita que a expressão que ele precisa simplificar siga esse padrão. Considerando que 'x' e 'y' são números reais e que a área do quadrado total é 169, resolva a seguinte situação: Determine o valor do lado 'x' do quadrado em função de 'y' a partir da expressão dada pelo estudante e, em seguida, substitua o valor de 'x' na expressão para encontrar o valor do lado 'y' do quadrado. Após encontrar os valores de 'x' e 'y', verifique se a expressão simplificada de 'x' e 'y' atende ao padrão de um produto notável, explicando os passos seguidos para a resolução.

Em um projeto de engenharia, um engenheiro está projetando uma placa retangular que inclui um recorte central para passagem de cabos. As dimensões externas da placa são dadas por (2x + 3) metros de comprimento e (x + 5) metros de largura. O recorte central possui dimensões (x + 1) metros de cada lado. Para calcular a área efetiva da placa disponível para instalação de equipamentos, o engenheiro decide utilizar identidades de produtos notáveis. Qual expressão, simplificada utilizando produtos notáveis, representa a área disponível em função de x?

Em uma aula de Física, um aluno do 1° ano do ensino médio está analisando o movimento de um corpo em queda livre. Ele observa que a altura h de um objeto em queda livre após t segundos pode ser calculada pela fórmula h = (1/2) * g * t^2, onde g é a aceleração da gravidade local, que para simplificação do problema, consideraremos como 10 m/s^2. O aluno quer agora determinar a altura que um objeto atinge após 2 segundos de queda. Aplicando os conhecimentos de produtos notáveis, ele reconhece que pode reescrever t^2 como (t + 0)^2 e, assim, aplicar a fórmula de um produto notável (a + b)^2. Qual a expressão algébrica resultante da aplicação do produto notável e, consequentemente, qual a altura em metros que o objeto atingirá após 2 segundos de queda?

Um arquiteto está projetando uma praça com um grande palco central. Para a iluminação cênica, ele precisa calcular a distribuição dos refletores, que serão dispostos de forma quadrada e igualmente espaçada. Cada lado do palco tem medida (4x + 3) metros. Para garantir a iluminação homogênea, o arquiteto decide colocar refletores a cada 5 metros. Utilizando os produtos notáveis, determine a quantidade mínima de refletores que o arquiteto deve instalar em um dos lados do palco. Além disso, justifique matematicamente por que o resultado obtido é o mínimo necessário para cobrir o lado do palco com a iluminação desejada.