Um arquiteto está planejando a disposição de uma praça central e precisa posicionar um banco circular de forma precisa. Para alinhar o banco corretamente, ele decide aplicar uma rotação avançada na planta do projeto. Qual será a nova coordenada do ponto B(3, 2) após uma rotação de 90° no sentido horário em relação à origem?

Como as coordenadas de um ponto no plano cartesiano se alteram após uma rotação de 90 graus no sentido horário em relação à origem?

Um relógio tem um pêndulo de 35 cm de comprimento. Para regular seu funcionamento, ele possui uma porca de ajuste que encurta o comprimento do pêndulo de 1 mm a cada rotação completa à direita e alonga este comprimento de 1 mm a cada rotação completa à esquerda. Se o relógio atrasa um minuto por dia, indique o número aproximado de rotações da porca e sua direção necessários para que ele funcione corretamente.

Para resolver essa questão, precisamos entender a relação entre o comprimento do pêndulo e o período de oscilação do relógio. O período de um pêndulo simples é dado pela fórmula:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]

onde \( T \) é o período (o tempo para uma oscilação completa), \( L \) é o comprimento do pêndulo e \( g \) é a aceleração devido à gravidade, que é aproximadamente \( 9,81 \, m/s^2 \).

Se o relógio está atrasando, isso significa que o período de oscilação é muito longo. Para corrigir isso, precisamos diminuir o período de oscilação, o que pode ser feito encurtando o comprimento do pêndulo.

Vamos calcular o ajuste necessário em termos de rotações da porca. Primeiro, precisamos saber quanto tempo o relógio está atrasando por dia. Um minuto por dia é o mesmo que \( 1 \) minuto em \( 24 \) horas, ou \( 1/1440 \) da duração de um dia.

Agora, vamos considerar que o relógio faz \( 2 \) oscilações por período (uma ida e uma volta do pêndulo). Se o relógio está atrasando \( 1 \) minuto por dia, isso significa que cada oscilação está atrasando \( 1/2880 \) de um minuto. Como há \( 60 \times 24 = 1440 \) minutos em um dia, e o relógio oscila \( 2 \) vezes por período, temos \( 1440 \times 2 = 2880 \) oscilações por dia.

Para corrigir o atraso de \( 1/2880 \) de um minuto por oscilação, precisamos ajustar o período de modo que ele seja \( 1/2880 \) de um minuto mais curto. Como o período é proporcional à raiz quadrada do comprimento, uma pequena mudança no comprimento resultará em uma pequena mudança no período.

Agora, vamos calcular a mudança necessária no comprimento do pêndulo. Se \( \Delta L \) é a mudança no comprimento e \( \Delta T \) é a mudança no período, temos:

\[ \frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta L}{L} \]

Isso ocorre porque \( T \) é proporcional à raiz quadrada de \( L \), então uma pequena mudança em \( L \) resulta em uma mudança de \( 1/2 \) dessa proporção no \( T \).

Sabemos que \( L = 0,35 \) m (35 cm) e queremos encontrar \( \Delta L \) tal que \( \Delta T \) seja \( 1/2880 \) de um minuto. Como há \( 60 \) segundos em um minuto, \( \Delta T \) em segundos é:

\[ \Delta T = \frac{1}{2880} \times 60 \]

\[ \Delta T = \frac{1}{48} \]

Agora, vamos substituir \( \Delta T \) e \( L \) na relação que encontramos:

\[ \frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta L}{L} \]

\[ \frac{1/48}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta L}{0,35} \]

Como \( T \) é o período do pêndulo, que não conhecemos, precisamos encontrar uma maneira de cancelá-lo da equação. No entanto, sabemos que o relógio está atrasando, então qualquer mudança que fizermos será para diminuir \( T \). Portanto, podemos ignorar \( T \) e focar apenas na mudança proporcional em \( L \).

\[ \frac{1/48}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta L}{0,35} \]

\[ \Delta L = \frac{0,35}{2} \times \frac{1}{48} \]

\[ \Delta L = \frac{0,35}{96} \]

\[ \Delta L \approx 0,00365 \, m \]

Como \( \Delta L \) é a mudança necessária no comprimento do pêndulo e sabemos que cada rotação da porca muda o comprimento em \( 0,001 \) m (1 mm), o número de rotações necessárias é:

\[ \text{Número de rotações} = \frac{\Delta L}{0,001} \]

\[ \text{Número de rotações} \approx \frac{0,00365}{0,001} \]

\[ \text{Número de rotações} \approx 3,65 \]

Como precisamos diminuir o comprimento do pêndulo para acelerar o relógio, as rotações devem ser feitas à direita. No entanto, a questão pede o número aproximado de rotações, e a alternativa mais próxima a 3,65 é "1/2 rotação à direita", o que indica que houve um erro no cálculo. Vamos revisar o cálculo da mudança de comprimento.

\[ \Delta L = \frac{0,35}{2} \times \frac{1}{48} \]

\[ \Delta L = \frac{0,35}{96} \]

\[ \Delta L = 0,00364583333 \, m \]

Convertendo para milímetros:

\[ \Delta L = 3,64583333 \, mm \]

Agora, dividindo pela mudança por rotação (1 mm):

\[ \text{Número de rotações} = \frac{3,64583333}{1} \]

\[ \text{Número de rotações} \approx 3,65 \]

Portanto, o número de rotações necessárias é aproximadamente 3,65, o que não corresponde a nenhuma das alternativas fornecidas. Isso sugere que a questão pode ter um erro ou que houve um erro na interpretação da questão. Se assumirmos que a questão está correta e que o número de rotações deve ser pequeno, podemos considerar que o erro está no cálculo da mudança de período necessária.

Se o relógio atrasa 1 minuto por dia, isso significa que o período de oscilação é muito longo e precisa ser encurtado. No entanto, a quantidade exata de ajuste necessário para corrigir um atraso de 1 minuto por dia não é clara a partir da informação fornecida. A resposta correta, de acordo com a questão, é "1/2 rotação à direita", o que sugere que o ajuste necessário é muito pequeno. Portanto, a explicação detalhada acima não leva à resposta fornecida, e pode haver um erro na formulação da questão ou na interpretação dos dados fornecidos.

Quantas rotações da porca de ajuste, e em qual direção, são necessárias para corrigir um atraso de um minuto por dia em um relógio de pêndulo?

O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de

Qual ângulo de rotação mantém a forma da calçada inalterada?

Uma empresa de design gráfico está desenvolvendo um logotipo que inclui um losango com vértices nos pontos A(3, 4), B(6, 4), C(6, 7) e D(3, 7). Para criar uma variação visual, os designers decidiram rotacionar o losango 90 graus no sentido horário em relação à origem do plano cartesiano. Qual será a nova coordenada do ponto C após essa rotação?

Como encontrar as novas coordenadas de um ponto após uma rotação de 90 graus no sentido horário em torno da origem no plano cartesiano?

A imagem apresentada na figura é uma cópia em preto e branco da tela quadrada intitulada "O peixe" de Marcos Pinto, que foi colocada em uma parede para exposição e fixada nos pontos A e B. Por um problema na fixação de um dos pontos, a tela se desprendeu, girando rente à parede. Após o giro, ela ficou posicionada como ilustrado na figura, formando um ângulo de 45° com a linha do horizonte. Para recolocar a tela na sua posição original, deve-se girá-la rente à parede no menor ângulo possível, inferior a 360°. A forma de recolocar a tela na posição original obedecendo ao que foi estabelecido é girando-a em um ângulo de.

Qual o menor ângulo de rotação necessário para retornar a tela à sua posição original, considerando que ela girou 45° e está inclinada em relação à horizontal?

Banco de questões: Rotações: Avançado

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