Durante a construção de um parque temático, os engenheiros precisam posicionar várias esculturas de maneira simétrica ao redor de um ponto central. Uma das esculturas está localizada no ponto P(4, 1) no plano cartesiano. Para melhorar a estética, eles decidem rotacionar a escultura 120° no sentido anti-horário em relação ao centro do parque. Utilizando as propriedades das rotações no plano, qual será a nova posição da escultura após a rotação?

Como calcular as novas coordenadas de um ponto após uma rotação em um determinado ângulo no plano cartesiano?

A imagem apresentada na figura é uma cópia em preto e branco da tela quadrada intitulada "O peixe" de Marcos Pinto, que foi colocada em uma parede para exposição e fixada nos pontos A e B. Por um problema na fixação de um dos pontos, a tela se desprendeu, girando rente à parede. Após o giro, ela ficou posicionada como ilustrado na figura, formando um ângulo de 45° com a linha do horizonte. Para recolocar a tela na sua posição original, deve-se girá-la rente à parede no menor ângulo possível, inferior a 360°. A forma de recolocar a tela na posição original obedecendo ao que foi estabelecido é girando-a em um ângulo de.

Qual o menor ângulo de rotação necessário para retornar a tela à sua posição original, considerando que ela girou 45° e está inclinada em relação à horizontal?

Qual é a transformação aplicada em uma figura quando ela é girada em torno de um ponto fixo?

Como a rotação transforma uma figura geométrica em relação a um ponto fixo, e quais são os elementos necessários para definir uma rotação?

Um arquiteto está planejando a disposição de uma praça central e precisa posicionar um banco circular de forma precisa. Para alinhar o banco corretamente, ele decide aplicar uma rotação avançada na planta do projeto. Qual será a nova coordenada do ponto B(3, 2) após uma rotação de 90° no sentido horário em relação à origem?

Como as coordenadas de um ponto no plano cartesiano se alteram após uma rotação de 90 graus no sentido horário em relação à origem?

Um relógio tem um pêndulo de 35 cm de comprimento. Para regular seu funcionamento, ele possui uma porca de ajuste que encurta o comprimento do pêndulo de 1 mm a cada rotação completa à direita e alonga este comprimento de 1 mm a cada rotação completa à esquerda. Se o relógio atrasa um minuto por dia, indique o número aproximado de rotações da porca e sua direção necessários para que ele funcione corretamente.

Para resolver essa questão, precisamos entender a relação entre o comprimento do pêndulo e o período de oscilação do relógio. O período de um pêndulo simples é dado pela fórmula:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]

onde \( T \) é o período (o tempo para uma oscilação completa), \( L \) é o comprimento do pêndulo e \( g \) é a aceleração devido à gravidade, que é aproximadamente \( 9,81 \, m/s^2 \).

Se o relógio está atrasando, isso significa que o período de oscilação é muito longo. Para corrigir isso, precisamos diminuir o período de oscilação, o que pode ser feito encurtando o comprimento do pêndulo.

Vamos calcular o ajuste necessário em termos de rotações da porca. Primeiro, precisamos saber quanto tempo o relógio está atrasando por dia. Um minuto por dia é o mesmo que \( 1 \) minuto em \( 24 \) horas, ou \( 1/1440 \) da duração de um dia.

Agora, vamos considerar que o relógio faz \( 2 \) oscilações por período (uma ida e uma volta do pêndulo). Se o relógio está atrasando \( 1 \) minuto por dia, isso significa que cada oscilação está atrasando \( 1/2880 \) de um minuto. Como há \( 60 \times 24 = 1440 \) minutos em um dia, e o relógio oscila \( 2 \) vezes por período, temos \( 1440 \times 2 = 2880 \) oscilações por dia.

Para corrigir o atraso de \( 1/2880 \) de um minuto por oscilação, precisamos ajustar o período de modo que ele seja \( 1/2880 \) de um minuto mais curto. Como o período é proporcional à raiz quadrada do comprimento, uma pequena mudança no comprimento resultará em uma pequena mudança no período.

Agora, vamos calcular a mudança necessária no comprimento do pêndulo. Se \( \Delta L \) é a mudança no comprimento e \( \Delta T \) é a mudança no período, temos:

\[ \frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta L}{L} \]

Isso ocorre porque \( T \) é proporcional à raiz quadrada de \( L \), então uma pequena mudança em \( L \) resulta em uma mudança de \( 1/2 \) dessa proporção no \( T \).

Sabemos que \( L = 0,35 \) m (35 cm) e queremos encontrar \( \Delta L \) tal que \( \Delta T \) seja \( 1/2880 \) de um minuto. Como há \( 60 \) segundos em um minuto, \( \Delta T \) em segundos é:

\[ \Delta T = \frac{1}{2880} \times 60 \]

\[ \Delta T = \frac{1}{48} \]

Agora, vamos substituir \( \Delta T \) e \( L \) na relação que encontramos:

\[ \frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta L}{L} \]

\[ \frac{1/48}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta L}{0,35} \]

Como \( T \) é o período do pêndulo, que não conhecemos, precisamos encontrar uma maneira de cancelá-lo da equação. No entanto, sabemos que o relógio está atrasando, então qualquer mudança que fizermos será para diminuir \( T \). Portanto, podemos ignorar \( T \) e focar apenas na mudança proporcional em \( L \).

\[ \frac{1/48}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta L}{0,35} \]

\[ \Delta L = \frac{0,35}{2} \times \frac{1}{48} \]

\[ \Delta L = \frac{0,35}{96} \]

\[ \Delta L \approx 0,00365 \, m \]

Como \( \Delta L \) é a mudança necessária no comprimento do pêndulo e sabemos que cada rotação da porca muda o comprimento em \( 0,001 \) m (1 mm), o número de rotações necessárias é:

\[ \text{Número de rotações} = \frac{\Delta L}{0,001} \]

\[ \text{Número de rotações} \approx \frac{0,00365}{0,001} \]

\[ \text{Número de rotações} \approx 3,65 \]

Como precisamos diminuir o comprimento do pêndulo para acelerar o relógio, as rotações devem ser feitas à direita. No entanto, a questão pede o número aproximado de rotações, e a alternativa mais próxima a 3,65 é "1/2 rotação à direita", o que indica que houve um erro no cálculo. Vamos revisar o cálculo da mudança de comprimento.

\[ \Delta L = \frac{0,35}{2} \times \frac{1}{48} \]

\[ \Delta L = \frac{0,35}{96} \]

\[ \Delta L = 0,00364583333 \, m \]

Convertendo para milímetros:

\[ \Delta L = 3,64583333 \, mm \]

Agora, dividindo pela mudança por rotação (1 mm):

\[ \text{Número de rotações} = \frac{3,64583333}{1} \]

\[ \text{Número de rotações} \approx 3,65 \]

Portanto, o número de rotações necessárias é aproximadamente 3,65, o que não corresponde a nenhuma das alternativas fornecidas. Isso sugere que a questão pode ter um erro ou que houve um erro na interpretação da questão. Se assumirmos que a questão está correta e que o número de rotações deve ser pequeno, podemos considerar que o erro está no cálculo da mudança de período necessária.

Se o relógio atrasa 1 minuto por dia, isso significa que o período de oscilação é muito longo e precisa ser encurtado. No entanto, a quantidade exata de ajuste necessário para corrigir um atraso de 1 minuto por dia não é clara a partir da informação fornecida. A resposta correta, de acordo com a questão, é "1/2 rotação à direita", o que sugere que o ajuste necessário é muito pequeno. Portanto, a explicação detalhada acima não leva à resposta fornecida, e pode haver um erro na formulação da questão ou na interpretação dos dados fornecidos.

Banco de questões: Rotações: Avançado

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