Banco de questões: Rotações no Plano Cartesiano

Considere um triângulo ABC no plano cartesiano, onde A = (1, 1), B = (3, 1) e C = (2, 4). Para realizar uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário em torno da origem, determine as novas coordenadas dos vértices A', B' e C' do triângulo rotacionado. Em seguida, identifique as transformações geométricas que preservam a forma, tamanho e orientação do triângulo ABC após a rotação, justificando sua resposta com base nos conceitos de geometria plana e transformações isométricas do plano cartesiano.

Durante uma aula interdisciplinar de Artes e Matemática, os alunos do 8º ano foram desafiados a criar um mosaico utilizando a técnica de tesselação com formas geométricas regulares. Uma das etapas do projeto envolveu a criação de um padrão de triângulos, onde um dos triângulos serviria de molde para a reprodução de muitos outros, mas em diferentes orientações. Para ilustrar o conceito de rotação e suas aplicações, o professor propôs que os alunos desenhassem um triângulo no plano cartesiano e frequentemente o rotacionassem em torno da origem (0,0) por um ângulo de 90° no sentido anti-horário. Se o triângulo original foi posicionado de forma que um de seus vértices coincidisse com as coordenadas (3,4), qual seria a nova localização desse vértice após uma rotação de 90° anti-horários?

João é um designer gráfico que está trabalhando na criação de uma imagem para uma campanha publicitária. Ele começa com um triângulo equilátero e aplica várias transformações geométricas para desenvolver sua arte. (a) Primeiro, ele decide rotacionar o triângulo 90 graus no sentido horário em relação ao ponto médio de um dos lados do triângulo equilátero. Descreva qual será a posição final do triângulo após a rotação. (b) Em seguida, ele aplica uma reflexão no eixo horizontal do plano cartesiano. Descreva como o triângulo equilátero será afetado por essa transformação. (c) Por fim, ele realiza uma translação horizontal para a esquerda em 4 unidades. Identifique a posição final do triângulo após todas as transformações realizadas e desenhe a figura resultante.

Um arquiteto está projetando um parque e decidiu incluir um triângulo ornamental no plano cartesiano como elemento principal do design. Para simular diferentes perspectivas, ele rotaciona o triângulo original com vértices em A(2, 3), B(-1, 4) e C(3, -2) em relação à origem por um ângulo de 90º no sentido anti-horário. Qual será a nova posição dos vértices do triângulo após a rotação?

Considere um triângulo no plano cartesiano com vértices A(2, 3), B(4, 1) e C(1, 1). Realize as seguintes ações: 1) Calcule as coordenadas do triâifngulo após uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário em torno da origem. 2) Explique, com base nos conceitos de seno e cosseno, como a rotação de 90 graus afeta as coordenadas dos pontos A, B e C do triângulo. Utilize os valores exatos de seno e cosseno para ângulos notáveis, se necessário (sen(90°) = 1, cos(90°) = 0, sen(180°) = 0, cos(180°) = -1, sen(270°) = -1 e cos(270°) = 0).