Banco de questões: Sistemas Lineares: Escrito por Matrizes

Uma empresa de tecnologia produz smartphones e laptops. A produção diária é composta de dois modelos de smartphones e três modelos de laptops. O custo e a receita diária com a venda de cada unidade são representados pelas equações 2x + 3y = 5000 e 3x + 2y = 4500, respectivamente, onde x é o número de smartphones e y é o número de laptops produzidos. Escreva o sistema linear que representa o custo e a receita diária da empresa e identifique a matriz dos coeficientes e os vetores de incógnitas e dos termos constantes.

Um engenheiro está projetando um sistema de irrigação para uma fazenda e precisa determinar quantos litros de água serão necessários em cada um dos três pontos de irrigação A, B e C. Ele sabe que a quantidade de água necessária em cada ponto é proporcional à área que será irrigada e que a área total a ser irrigada é de 3000 m². O ponto A deve receber o dobro da quantidade de água do ponto B, e o ponto C deve receber 500 litros a menos do que o ponto B. Se o ponto A necessita de 1000 litros a mais de água do que o ponto C, escreva um sistema de equações lineares que represente a situação. Em seguida, represente o sistema na forma matricial Ax = b, onde A é a matriz dos coeficientes das incógnitas, x é o vetor das incógnitas (quantidade de água necessária em cada ponto) e b é o vetor dos termos constantes. Determine a solução do sistema, ou seja, a quantidade de água necessária em cada ponto de irrigação.

Um produtor agrícola está planejando a distribuição de três tipos de grãos para três mercados locais. Ele sabe que o mercado A comprará três toneladas do tipo 1, o mercado B comprará duas toneladas do tipo 2 e o mercado C comprará quatro toneladas do tipo 3. No entanto, as restrições de produção limitam a disponibilidade dos grãos: ele tem no máximo sete toneladas do tipo 1, seis toneladas do tipo 2 e cinco toneladas do tipo 3. O produtor precisa decidir quantas toneladas de cada tipo de grão deveria vender a cada mercado para maximizar seu lucro, considerando que o lucro por tonelada é de R$ 500 para o tipo 1, R$ 400 para o tipo 2 e R$ 300 para o tipo 3. Qual deve ser a estratégia de distribuição para otimizar o lucro do produtor, supondo que ele possa vender frações de toneladas, e qual é o valor máximo de lucro que ele pode esperar obter? (Considere que a venda é garantida se a demanda do mercado for atendida e que os grãos não se depreciam ou sofrem perdas de qualidade ao longo do tempo.)