Banco de questões: Trigonometria: seno, cos e tg: Revisão

Um engenheiro civil está projetando uma rampa para uma construção. A rampa deve ser inclinada em um ângulo de 10 graus em relação ao solo para permitir a acessibilidade de veículos. Para garantir a segurança e estabilidade dos veículos ao subir e descer a rampa, é necessário calcular o comprimento da rampa e a altura vertical que ela atinge. Considerando a altura vertical que a rampa deve alcançar como 3 metros, calcule o comprimento da rampa e justifique o uso das relações trigonométricas para encontrar a solução. Além disso, determine a altura vertical que a rampa atinge se o comprimento da rampa for 15 metros, explicando o processo de cálculo com as relações trigonométricas envolvidas.

Em um passeio ciclístico, João está descendo uma ladeira que forma um ângulo de 30° com a horizontal. Ele percebe que a visão do topo do prédio mais alto da cidade, que está a uma distância plana de 2km do ponto mais baixo da ladeira, forma um ângulo de 60° com a horizontal. Utilizando os conceitos de trigonometria, determine a altura do prédio em metros.

Em uma aula de Física, um professor descreve o movimento de um projétil lançado com um ângulo de 30 graus em relação ao solo. O projétil atinge o ponto mais alto de sua trajetória a uma altura 'h' do solo. Sabendo que a aceleração da gravidade é aproximadamente 10 m/s^2 e desprezando a resistência do ar, o professor propõe o seguinte exercício: 'Calcule a velocidade inicial 'v' do projétil e a altura máxima que ele atinge, considerando que a velocidade inicial é composta por duas componentes: uma na direção horizontal e outra na direção vertical, ambas iguais a 'v' e sendo o seno de 30 graus igual a 0,5 e o cosseno de 30 graus igual a 0,87.' Baseando-se nos conhecimentos de trigonometria e cinemática, responda: 1) Como o seno e cosseno do ângulo de lançamento do projétil podem ser usados para determinar a velocidade inicial 'v' nas direções horizontal e vertical? 2) Com base na altura 'h' que o projétil atinge, como é possível relacionar essa informação com a aceleração da gravidade para encontrar o valor de 'v'? Desenvolva os cálculos passo a passo.