Para resolver este problema, utilizaremos o efeito Doppler para fontes em movimento e o conceito de Movimento Harmônico Simples (MHS). **Análise do Efeito Doppler:** A fonte $F_{1}$ está em repouso e emite a frequência $f_{1}$. O observador está vizinho a $F_{1}$, portanto, também está em repouso. A fonte $F_{2}$ emite a frequência $f_{2}$ e se move com velocidade $v_s$ ao longo da linha que a une a $F_{1}$. A frequência $f_{obs,2}$ percebida pelo observador da fonte $F_{2}$ é dada por: $f_{obs,2} = f_2 \frac{v_0}{v_0 \mp v_s}$ onde $v_0$ é a velocidade do som. O sinal de $v_s$ depende da direção do movimento: * $v_s$ negativo (ou $v_0 - v_s$ no denominador) quando $F_2$ se aproxima do observador (frequência percebida é maior). * $v_s$ positivo (ou $v_0 + v_s$ no denominador) quando $F_2$ se afasta do observador (frequência percebida é menor). **Movimento Harmônico Simples (MHS) de $F_2$:** A fonte $F_2$ realiza um MHS com frequência $f_m$ e amplitude $A$. A velocidade instantânea de $F_2$ varia, e sua velocidade máxima ($v_{s,max}$) é dada por: $v_{s,max} = A \omega_m = A (2 \pi f_m)$ **Intervalo Acústico:** O intervalo acústico registrado pelo observador é a razão entre as frequências dos dois sons captados. Como $f_2 > f_1$ e os valores dos intervalos dados ($5/4$ e $3/2$) são maiores que 1, o intervalo é definido como a razão da frequência percebida de $F_2$ pela frequência de $F_1$: $I = \frac{f_{obs,2}}{f_1}$. Quando $F_2$ se aproxima de $F_1$, a frequência percebida é máxima ($f_{obs,2,max}$), resultando no maior intervalo acústico. Quando $F_2$ se afasta de $F_1$, a frequência percebida é mínima ($f_{obs,2,min}$), resultando no menor intervalo acústico. Desta forma, temos: $I_{max} = \frac{f_{obs,2,max}}{f_1} = \frac{3}{2}$ $I_{min} = \frac{f_{obs,2,min}}{f_1} = \frac{5}{4}$ Substituindo a fórmula do efeito Doppler: 1) $\frac{f_2}{f_1} \frac{v_0}{v_0 - v_{s,max}} = \frac{3}{2}$ 2) $\frac{f_2}{f_1} \frac{v_0}{v_0 + v_{s,max}} = \frac{5}{4}$ **a) O intervalo acústico entre $f_{1}$ e $f_{2}$:** O intervalo acústico entre as frequências próprias $f_1$ e $f_2$ é $I_0 = \frac{f_2}{f_1}$. Vamos reescrever as equações acima usando $I_0$ e definindo $\beta = \frac{v_{s,max}}{v_0}$: 1') $I_0 \frac{1}{1 - \beta} = \frac{3}{2} \implies I_0 = \frac{3}{2}(1 - \beta)$ 2') $I_0 \frac{1}{1 + \beta} = \frac{5}{4} \implies I_0 = \frac{5}{4}(1 + \beta)$ Agora, igualamos as duas expressões para $I_0$: $\frac{3}{2}(1 - \beta) = \frac{5}{4}(1 + \beta)$ Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar os denominadores: $6(1 - \beta) = 5(1 + \beta)$ $6 - 6\beta = 5 + 5\beta$ $1 = 11\beta$ $\beta = \frac{1}{11}$ Agora, substituímos o valor de $\beta$ em qualquer uma das equações para $I_0$. Usando a primeira: $I_0 = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{11}) = \frac{3}{2}(\frac{11 - 1}{11}) = \frac{3}{2}(\frac{10}{11})$ $I_0 = \frac{30}{22} = \frac{15}{11}$ Portanto, o intervalo acústico entre $f_1$ e $f_2$ é $\frac{15}{11}$. **b) A relação entre $f_{m}, A$ e a velocidade do som $v_{0}$:** Do item (a), encontramos que $\beta = \frac{v_{s,max}}{v_0} = \frac{1}{11}$. Sabemos que a velocidade máxima da fonte em MHS é $v_{s,max} = A (2 \pi f_m)$. Substituindo esta expressão para $v_{s,max}$ na definição de $\beta$: $\frac{A (2 \pi f_m)}{v_0} = \frac{1}{11}$ Multiplicando ambos os lados por $v_0$ e por 11: $11 \cdot A (2 \pi f_m) = v_0$ $22 \pi A f_m = v_0$ Esta é a relação entre $f_m$, $A$ e $v_0$. **Resumo das respostas:** (a) O intervalo acústico entre $f_1$ e $f_2$ é $\frac{f_2}{f_1} = \frac{15}{11}$. (b) A relação entre $f_m, A$ e a velocidade do som $v_0$ é $22 \pi A f_m = v_0$.